广西大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（PPT课件）第三章 多维变量及其分布 3.3 条件分布

第三章多维随机变量及其分布第三节条件分布一、离散型随机变量的条件分布二、连续型随机变量的条件分布三、小结概率论与数理统计（第4版）

一、离散型随机变量的条件分布 二、连续型随机变量的条件分布 第三节 条件分布 三、小结

3.3条件分布一、离散型随机变量的条件分布问题考虑一大群人从其中随机挑选一个人，分别用X和Y记此人的体重和身高，则X和Y都是随机变量，他们都有自己的分布现在如果限制Y取值从1.5米到1.6米在这个限制下求X的分布

问题 考虑一大群人, 现在如果限制Y 一、离散型随机变量的条件分布 机变量, 用 X 和Y 记此人的体重和身高, 则X 和Y 都是随 他们都有自己的分布. 从其中随机挑选一个人,分别 分布. 在这个限制下求X的 取值从1.5米到1.6米

3.3条伴分布设（X，Y）是二维离散型随机变量其分布律为P(X = x,Y = y,}= Pi, i, j= 1,2,...(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律为P(X = x,} = P.=Epj, i=1,2,..,j=1P(Y = yi} = P.,=EPij, j=1,2,...i=1设p.,>0,现在考虑在事件{Y=y;记发生的条件下事件(X=x发生的概率P(X=x;Y=y)

设 (X,Y) 是二维离散型随机变量, { } i j P X = x Y = y = 其分布律为 , Pij i, j = 1,2,  , (X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律为 { } P X = xi = Pi•  i = 1,2,  ,  =1 , j = pij { }i P Y = y = P• j  j = 1,2,  .  =1 , i = pij  0, 设p• j 现在考虑在事件 {Y = yi }已发生的条 件下事件{X = xi }发生的概率 { } i i P X = x Y = y

3.3条伴分布由条件概率公式，可得P(X = x,,Y = y,}P(X = x, IY = y;} =P[Y = y;}Pi, i=1,2,..D.即：在分布律表中，由Y=Y;所确定的行（或列）上pi的取值规律

由条件概率公式, 可得 = = , j ij p p • i = 1,2,  . 即：在分布律表中，由𝒀 = 𝒀𝒋所确定的行（或 列）上𝒑𝒊𝒋的取值规律. { , } { } i j j P X x Y y P Y y = = = { | } P X x Y y = = i j

3.3条件分布注意：已知条件分布律 P[X = x,IY = y;},i=1,2,L计算条件分布函数 Fxly（xly），与第二章中由分布律计算分布函数完全相同！即：Fxir(xly,)= E P(X = x,IY =y,i,Vxe RX;SxFyx(yIx,)= E P(Y = y, IX =x,i,Vye RJ;Sy

已知条件分布律 ， 计算条件分布函数 ，与第二章中由 分布律计算分布函数完全相同！即： { | }, 1,2, P X x Y y i = = = i j L 注意： | ( | ) F x y X Y j | ( | ) { | }, i X Y j i j x x F x y P X x Y y x R  = = =    | ( | ) { | }, j Y X i j i y y F y x P Y y X x y R  = = =   

3.3条件分布条件概率具有分布律的性质1° PX = x, IY = y,}≥ 0;822 Pix-x/Y=)-2L-,2P.i i=lj=1P.i =1.p.j

条件概率具有分布律的性质: 1 2 =   i=1 • j ij p p =   • =1 1 i ij j p p = j j p p • • = 1. { | } 0; P X x Y y = =  i j 1 { | } i j j P X x Y y  =  = =

3.3条伴分布定义 设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的j,若 P(Y=y;}>0,则称P(X = x,Y = yil_ Pi,i=1,2,..,P[X = x,Y = y;}=P(Y = y,}p.j为在Y=J条件下随机变量X的条件分布律同样, 对于固定的i,若 P[X = x,}>0, 则称P[X = x,Y = yji _ Pu,j = 1,2,..,P[Y = y,X = x,} =P(X = x;}Pi.为在X=x条件下随机变量Y的条件分布律K

定义 设 (X,Y) 是二维离散型随机变量, 固定的 j, 对于 { = }  0, j 若 P Y y 则称 { } i j P X = x Y = y { } { , } j i j P Y y P X x Y y = = = , j ij p p • = = i = 1,2,  , 为 在Y y 条件下随机变量X 的条件分布律. = j 同样, 对于固定的i, { = }  0, 若 P X xi 则称 { } j X xi P Y = y = { } { , } i i j P X x P X x Y y = = = , i• ij p p = = j = 1,2,  , 为 在 X x 条件下随机变量 Y 的条件分布律. = i

3.3条伴分布例1在一汽车工厂中，一辆汽车有两道工序是由机器人完成的．其一是紧固3只螺栓，其二是焊接2处焊点。以X表示螺栓紧固得不良的数目，以Y表示由机器人焊接的不良焊点的数目，据积累的资料知（X,Y）具有分布律：XP(Y = j)0321Y00.8400.9000.0300.0200.01010.0600.0100.0080.0020.0800.0050.0010.0200.0100.0042P(X =i)0.9100.0450.0320.0131.000K

X Y 0 1 2 3 0.840 0.030 0.020 0.010 0.060 0.010 0.008 0.002 2 0.010 0.005 0.004 0.001 1 0 0.900 0.080 0.020 P{X = i} 0.910 0.045 0.032 0.013 1.000 P{Y = j} 例1 器人完成的. 在一汽车工厂中, 其二是焊接2处 焊点. 以X表示螺栓紧固得不良的数目, 以Y 表 示由机器人焊接的不良焊点的数目. 据积累的资料 知(X,Y) 具有分布律 : 其一是紧固3只螺栓, 一辆汽车有两道工序是由机

3.3条伴分布(1)求在X=1的条件下,Y的条件分布律；(2)求在Y=0 的条件下,X的条件分布律解边缘分布已经求出列在上表中在X=1的条件下，Y的条件分布律为P(Y = 0 X =1) = P(X=1,Y = 0) _ 0.0300.045P(X = 1)P(X =1,Y =1)0.010P(Y =1X =1} =0.045P(X = 1)

(1)求在 X = 1的条件下, Y 的条件分布律; (2)求在Y = 0的条件下, X 的条件分布律. 解 边缘分布已经求出列在上表中. { 1} { 1, 0} = = = P X P X Y , 0.045 0.030 P{Y = 1X = 1} , 0.045 0.010 P{Y = 0 X = 1} { 1} { 1, 1} = = = P X P X Y = = = = 在X = 1的条件下，Y的条件分布律为

3.3条件分布P[X =1,Y = 2} 0.005P(Y = 2X =1) =0.045P(X = 1)或写成02Y = k1261P(Y = kX = 1)一999同样可得在Y=0的条件下X的条件分布律为023X=k184321PX =kY =0)90909090K

P{Y = 2 X = 1} , 0.045 0.005 { 1} { 1, 2} = = = P X P X Y = = 或写成 Y = k P{Y = k X = 1} 0 1 2 9 1 9 2 9 6 同样可得在Y = 0的条件下X 的条件分布律为 X = k P{X = kY = 0} 0 1 2 3 90 1 90 2 90 3 90 84