广西大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（PPT课件）第三章 多维变量及其分布 3.4 相互独立的随机变量

第三章多维随机变量及其分布第四节相互独立的随机变量一、随机变量的相互独立性二、二维随机变量的推广三、小结概率论与数理统计（第4版）

一、随机变量的相互独立性 二、二维随机变量的推广 第四节 相互独立的随机变量 三、小结

3.4相互独立的随机变量一、相互独立的随机变量1.定义设F(x,y)及Fx(x),F(y)分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数.若对于所有x,y有PIX≤x,Y≤y)= P(X≤x)P(Y≤y),即F(x,y) = Fx(x)Fy(y),则称随机变量X和Y是相互独立的

一、相互独立的随机变量 1.定义 设F(x, y)及FX (x),FY ( y)分别是二维随机变 量(X,Y)的分布函数及边缘分布 函数. 若对于所有 x, y 有 P{X  x,Y  y}= P{X  x}P{Y  y}, F(x, y) F (x)F ( y), = X Y 则称随机变量X 和Y 是相互独立的. 即

3.4相互独立的随机变量2.说明(1）若离散型随机变量（X,Y)的联合分布律为P{X =i,Y = j) = pi, i, j=1,2,...X和Y相互独立P(X =x,Y = y;} = P{X = x;}P(Y = y,},即 Pi, = Pi. P.j°

2.说明  { , } { } { } , i j i j P X = x Y = y = P X = x P Y = y X 和Y 相互独立 (1) 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为 P{X = i,Y = j} = p , i, j = 1,2,  . ij . pij pi• p• j 即 = 

3.4相互独立的随机变量(2)设连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y),边缘概率密度分别为fx(x),f,(y),则有X和Y相互独立台 f(x,y)=fx(x)fy(y)(3)X 和Y相互独立，则 f(X)和g(Y)也相互独立

 f ( x, y) f ( x) f ( y). X 和 Y 相互独立 = X Y 边缘概率密度分别为 则 有 设连续型随机变量 的联合概率密度为 ( , ), ( ), ( ), (2) ( , ) f x y f x f y X Y X Y (3)X 和Y 相互独立, 则 f (X) 和 g(Y)也相互独立

34相互独立的随机受量设随机变量X和Y的联合概率密度为F(x,y) =[g(x,y), (x,y) E D,0,(x,y) ± D.其中，g(x,y)为非负函数，且在单连通区域D内恒正（即：g(x,y）=0仅可能在D的边界上成立）.若D不是矩形或者D的边界不平行于任意坐标轴则X和Y必定不相互独立

设随机变量𝑿和𝒀的联合概率密度为 𝒇 𝒙, 𝒚 = ቊ 𝒈 𝒙, 𝒚 , 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑫, 𝟎, 𝒙, 𝒚 ∉ 𝑫. 其中，𝒈 𝒙, 𝒚 为非负函数，且在单连通区域𝑫内恒 正（即：𝒈 𝒙, 𝒚 = 𝟎仅可能在𝑫 的边界上成立）. 若𝑫不是矩形或者𝑫的边界不平行于任意坐标轴， 则𝑿和𝒀必定不相互独立

3.4相互独立的随机变量例1 对于第一节例2中的随机变量 X和Y,由于[2e-2xx>0,e-, y>ofx(x) =fr(y) =其他,其他，0,0,得f(x,y) = fx(x)fy(y),因而X和Y是相互独立的K

例1 对于第一节例2中的随机变量 X和Y， 由于 f (x) X    = 2 , 0, 2  − e x x 0, 其他， f ( y) Y    = ,  0, − e y y 0, 其他， f (x, y) f (x) f ( y), = X Y 因而X和Y是相互独立的. 得

3.4相互独立的随机变量例2若X,Y具有联合分布率XP(Y = j)01Y2/61/211/62/61/221/6Plx=i12/31/3则有 P(X = 0,Y =1)= 1/6 = P[X = 0)P[Y = 1),P(X = 0,Y = 2)= 1/6 =P(X = 0)P(Y = 2)}P(X =1,Y =1) = 2/6 = P[X = 1)P(Y = 1),P[X =1,Y = 2)= 2/6 = P(X =1)P(Y = 2},K

X Y 1 2 0 1 1 6 2 6 1 6 2 6 Px = i 1 3 2 3 PY = j 1 2 1 2 1 例2 若X,Y具有联合分布率 则有 P{X = 0,Y = 1} = 1 6 = P{X = 0}P{Y = 1}, P{X = 0,Y = 2}= 1 6 = P{X = 0}P{Y = 2}, P{X = 1,Y = 1} = 2 6 = P{X = 1}P{Y = 1}, P{X = 1,Y = 2}= 2 6 = P{X = 1}P{Y = 2}

3.4相互独立的随机变量考察二维正态随机变量（X,Y）1f(x,y)2元0,02 /1-p2[(x-μ.)~ -2 (x-μi)(y-μ) + (y-μ,)"exp[2(1-p2) Lga0,02(x-μ)(y-μ)fx(x) fy(x)expDo022元0,02结论：对于二维正态随机变量(X,Y)，X和Y相互独立的充要条件是参数p=0

, ( )( ) ( ) 2 ( ) 2(1 ) 1 exp 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2             − + − − − − − −  σ y μ σ σ x μ y μ ρ σ x μ ρ 考察二维正态随机变量(X,Y) . f (x, y) 2 1 2 2 1 1 σ σ − ρ =  f (x) f (x) X Y . ( ) ( ) 2 1 exp 2π 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2             − + −  − σ y μ σ x μ σ σ = 结论: 对于二维正态随机变量(X,Y)，X和Y 相互独立 的充要条件是参数 = 0

3.4相互独立的随机变量例3一负责人到达办公室的时间均匀分布在8~12时，他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7~9时设他们两人到达的时间相互独立，求他们到达办公室的时间相差不超过5分钟（1/12小时）的概率解设X和Y分别是负责人和他的秘书到达办公室的时间由假设X和Y的概率密度分别为

例3 一负责人到达办公室的时间均匀分布在8~12 时, 他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7~9时, 设他们两人到达的时间相互独立, 求他们到达办公 室的时间相差不超过 5 分钟 (1 12小时) 的概率. 解 设X 和Y 分别是负责人和 由假设X 和Y的概率密度分别为 他的秘书到达办公室的时间

3.4相互独立的随机变量8<x<12.7<x<9.2fr(y) = fx(x) =0，其他,【0，其他,因为X,Y相互独立，故(X,Y)的概率密度为f(x,y) = fx(x)fy(y)9B'B8<x<12,7<y<9,8=0,其他。0112 x8按题意需要求概率P/X-Y≤1/12.画出区域：

f (x) X f ( y) Y 因为 X,Y 相互独立, 故 (X,Y)的概率密度为    =    = , 8 12, 4 1  x  0, 其他 , , 7 9, 2 1  x  0, 其他 , f (x, y)    = , 8 12,7 9, 8 1  x   y  0, 其他 . f (x) f ( y) = X Y O x y • 8 • 12 7 9 A B B C C G 按题意需要求概率P{ X − Y  1 12}. 画出区域: