广西大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（PPT课件）第四章 随机变量的数字特征 4.3 协方差及相关系数

第四章随机变量的数字特征第三节协方差及相关系数一、协方差与相关系数的概念及性质二、相关系数的意义三、小结概率论与数理统计（第4版）

一、协方差与相关系数的概念及性质 二、相关系数的意义 第三节 协方差及相关系数 三、小结

4.3协方差及相关系数一、协方差与相关系数的概念及性质1.问题的提出若随机变量X和Y相互独立，那么D(X + Y) = D(X) + D(Y)若随机变量X和Y不相互独立D(X + Y) = ?D(X +Y)= E(X +Y)? -[E(X +Y)}= D(X)+ D(Y)+ 2E{[X - E(X)IIY - E(Y)I协方差

1. 问题的提出 若随机变量X 和Y 相互独立, D(X + Y ) = D(X) + D(Y ). 若随机变量X 和Y 不相互独立 D(X + Y ) = ? D(X + Y ) = D(X) + D(Y ) + 2E{[X − E(X)][Y − E(Y )]}. 一、协方差与相关系数的概念及性质 协方差 那么 2 2 = E(X + Y ) − [E(X + Y )]

4.3协方差及相关系数2.定义量EIX-E(X)IY-E(Y)I称为随机变量X与Y的协方差.记为Cov(X,Y),即Cov(X,Y)= E{[X - E(X)I[Y - E(Y)]I)Cov(X,Y)而Pxy =/D(X) : D(Y)称为随机变量X与Y的相关系数

2.定义 量 E{[X − E(X)][Y − E(Y)]}称为随机变量 Cov(X,Y ) = E{[X − E(X)][Y − E(Y )]}. X 与Y 的协方差.记为Cov(X,Y ), ρXY 即 而 = ( ) ( ) Cov( , ) D X D Y X Y  称为随机变量 X 与 Y 的相关系数

4.3协方差及相关系数3.说明(1) X 和 Y的相关系数又称为标准协方差,它是一个无量纲的量(2）若随机变量X和Y相互独立=→ Cov(X,Y)= E{[X - E(X)I[Y - E(Y)])= E[X - E(X)]E[Y - E(Y)]= 0.(3)若随机变量X和Y相互独立= D(X + Y) = D(X)+ D(Y)+2E[X - E(X)I[Y - E(Y)])= D(X)+ D(Y)+ 2Cov(X,Y)= D(X)+ D(Y)

 Cov(X,Y ) = E[X − E(X)]E[Y − E(Y )] = 0. (3) 若随机变量X 和Y 相互独立  D(X + Y ) = D(X) + D(Y ). (2) 若随机变量 X 和Y 相互独立 = D(X) + D(Y ) + 2Cov(X,Y ) 3.说明 (1) X 和Y 的相关系数又称为标准协方差, + 2E{[X − E(X)][Y − E(Y )]} = D(X) + D(Y ) = E{[X − E(X)][Y − E(Y )]} 个无量纲的量. 它是一

4.3协方差及相关系数4.协方差的计算公式(1) Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y);(2) D(X + Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X,Y)证明 (1)Cov(X,Y)= E{[X - E(X)][Y - E(Y)})= E[XY - YE(X) - XE(Y)+ E(X)E(Y))= E(XY) - 2E(X)E(Y) + E(X)E(Y)= E(XY)- E(X)E(Y)

4. 协方差的计算公式 (1) Cov(X,Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ); (2) D(X + Y ) = D(X ) + D(Y ) + 2Cov( X ,Y ). 证明 (1)Cov(X,Y ) = E[XY −YE(X) − XE(Y ) + E(X)E(Y )] = E(XY ) − E(X)E(Y ). = E(XY ) − 2E(X)E(Y ) + E(X)E(Y ) = E{[X − E(X)][Y − E(Y )]}

4.3协方差及相关系数(2)D(X + Y) = E(I(X + Y) - E(X +Y)))= E{I(X - E(X)+(Y - E(Y)})= E([X - E(X)}}+ E([Y - E(Y)})+2E[X - E(X)IY-E(Y))= D(X) + D(Y)+ 2Cov(X,Y)

(2)D(X + Y ) {[( ( )) ( ( )] } 2 = E X − E X + Y − E Y + 2E{[X − E(X)][Y − E(Y )]} {[ ( )] } {[ ( )] } 2 2 = E X − E X + E Y − E Y = D(X) + D(Y ) + 2Cov(X,Y ). {[( ) ( )] } 2 = E X + Y − E X + Y

4.3协方差及相关系数5.性质1° Cov(X,Y)=Cov(Y,X);2° Cov(aX,bY)= abCov(X,Y),a, b为常数;3° Cov(X, + X2,Y) = Cov(Xi,Y)+ Cov(X2,Y)

5. 性质 Cov(X,Y ) = Cov(Y, X); Cov(aX,bY ) = abCov(X,Y ), Cov( , ) Cov( , ) Cov( , ). X1 + X2 Y = X1 Y + X2 Y 2 a, b 为常数; 3 1

4.3协方差及相关系数例1设（X，Y）的分布律为XP(Y=-i)2-2-11Y101/21/41/4001/41/201/44P(X=i 1/4 1/41/41/41易知E(X) = 0, E(Y) = 5/2, E(XY) = 0,PxY =0,X,Y不相关.即X,Y不存在线性关系由于 P[X = -2,Y =1}= 0 ± P[X = -2}P[Y = 1)所以XY不相互独立事实上，Y=X?,Y的值完全可由X的值所确定

例1 设（X，Y）的分布律为 易知E(X) = 0, E(Y ) = 5 2, E(XY ) = 0, = 0,  XY X,Y不相关.即X,Y不存在线性关系. 由于 P{X = −2,Y = 1}= 0  P{X = −2}P{Y = 1} 所以X,Y不相互独立. 事实上， , 2 Y = X Y 的值完全可由X的值所确定. X Y 4 1 PX = i PY = i 1 2 1 2 1 − 2 − 1 1 2 0 1 4 1 4 0 1 4 0 0 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4

4.3协方差及相关系数，它的概率密度例2设（X,Y服从二维正态分布，为(x-μ)2f(x,y) =exp2(1-p2)L2元0,02 /1- p2(x-ui)(y-μz), (y-μz)-2p020102求X与Y的相关系数K

例2 设(X,Y )服从二维正态分布, 它的概率密度 为 f ( x , y )  −  + − − − 22 2 2 1 2 1 2 ( )( ) ( ) 2 σ y μ σ σ x μ y μ ρ   − −− − = 21 2 1 2 2 1 2 ( ) 2(1 ) 1 exp 2π 1 1 σ x μ σ σ ρ ρ 求 X 与Y 的相关系数

4.3协方差及相关系数解（X,Y)的边缘概率密度为(x-u))1202fx(x) =118X+82元01(y-μ)220218Λ+8.f(y)= 2元02故知E(X) = μ1, E(Y)= μ2,D(X) = ci,D(Y) = c2Cov(X,Y)而" J" (x-μ)(y -μ2)f(x,y)dxd yK

e , 2π1 ( ) 21 2 1 2 ( ) 1 σ x μ X σ f x − − = e , 2π1 ( ) 22 2 2 2 ( ) 2 σ y μ Y σ f y − − = 解 (X,Y)的边缘概率密度为 −   x  +, −   y  +. ( ) , 故知E X = μ1 ( ) , E Y = μ2 ( ) . 2 D Y = σ2 ( ) , 2 D X = σ1 而 Cov( X , Y ) (x μ )( y μ )f (x, y)d xd y   1 2 − − = − −