广西大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（PPT课件）第四章 随机变量的数字特征 4.2 方差

第四童随机变量的数字特行第二节方差一、随机变量方差的概念及性质二、重要概率分布的方差三、例题讲解四、小结概率论与数理统计（第4版）

一、随机变量方差的概念及性质 三、例题讲解 二、重要概率分布的方差 第二节 方 差 四、小结

4.2方差一、随机变量方差的概念及性质1.概念的引入方差是一个常用来体现随机变量取值分散程度的量实例有两批灯泡，平均寿命都是E(X)=1000小时X1000010000

1. 概念的引入 方差是一个常用来体现随机变量取值分散程度 实例 • O x • • • • • • • • • O x • • • • • • • • • 1000 • 1000 一、随机变量方差的概念及性质 的量. 有两批灯泡, 平均寿命都是 E(X)=1000小时

4.2方差2.方差的定义定义 设 X 是一个随机变量 若([X-E(X))存在,记为D(X)或 Var(X),即D(X) = Var(X)= E([X - E(X)}"}.在应用上还引入量/D(X)，记为(X),称为标准差或均方差

2. 方差的定义 记为 σ ( X), 定义 设 X 是一个随机变量, {[ ( )] }2 若 X − E X 记为 D(X) 或 Var( X), D(X) 准差或均方差. 存在 , = Var( X ) {[ ( )] }. 2 = E X − E X 即 在应用上还引入量 D(X)， 称为标

4.2方差3.方差的意义按定义，随机变量X的方差表达了X的取值与其数学期望的偏离程度若D(X)较小意味着X的取值比较集中在E(X)的附近,反之，若D(X)较大则表示X的取值较分散.因此，D(X)是刻画X取值分散程度的一个量它是衡量X取值分散程度的一个尺度

3. 方差的意义 按定义, 随机变量X的方差表达了X的取值与 若D(X)较小意味着X的 则表示 X 的取值较分散. 因此, D(X )是刻画X 取 其数学期望的偏离程度. 取值比较集中在E(X)的附近,反之, 若D(X)较大 值分散程度的一个量, 它是衡量X 取值分散程度 的一个尺度

4.2方差4.随机变量方差的计算(1)利用定义计算对于离散型随机变量8D(X)= E[x - E(X)I'pk,k=1其中 P[X = x} = Pk,k =1,2,是 X的分布律对于连续型随机变量D(X) = (" [x - E(X)I'f(x)dx,其中f(x)为X的概率密度R

4. 随机变量方差的计算 (1) 利用定义计算 对于离散型随机变量 ( ) [ ( )] , 1 2 k k D X  xk E X p  = = − 对于连续型随机变量 ( ) [ ( )] ( )d , 2 D X x E X f x x   − = − 其中 f (x)为X的概率密度. { } , 其中P X = xk = pk k = 1,2, 是 X 的分布律

4.2方差(2）5利用公式计算D(X)= E(X)-[E(X)I证 D(X)= E{[X -E(X)}"}=E(X? -2XE(X)+[E(X)})= E(X)- 2E(X)E(X)+[E(X)]=E(X)-[E(X)}

(2) 利用公式计算 ( ) ( ) [ ( )] . 2 2 D X = E X − E X 证 D(X) { 2 ( ) [ ( )] } 2 2 E X − XE X + E X 2 2 E(X ) − 2E(X)E(X) + [E(X)] ( ) [ ( )] . 2 2 E X − E X = {[ ( )] } 2 = E X − E X = =

4.2方差(1)例如X21Y0.20.3010.40.1解: E(X) = 1 × 0.2 + 2 × 0.3 + 1 × 0. 4 + 2 × 0. 1= 1. 4E(x2) = 12 × 0. 2 + 22 × 0. 3 + 12 × 0. 4 + 22 × 0. 1= 2. 2D(X) = E(x2) - [E(X)]2 = 2. 2 - 1. 42 = 0.24.K

例如 (1) 解： 𝑬 𝑿 = 𝟏 × 𝟎. 𝟐 + 𝟐 × 𝟎. 𝟑 + 𝟏 × 𝟎. 𝟒 + 𝟐 × 𝟎. 𝟏 = 𝟏. 𝟒 X Y 𝟎 𝟏 𝟏 𝟐 𝟎. 𝟐 𝟎.𝟑 𝟎. 𝟒 𝟎.𝟏 𝑬 𝑿 𝟐 = 𝟏 𝟐 × 𝟎. 𝟐 + 𝟐 𝟐 × 𝟎. 𝟑 + 𝟏 𝟐 × 𝟎. 𝟒 + 𝟐 𝟐 × 𝟎. 𝟏 = 𝟐. 𝟐 𝑫 𝑿 = 𝑬 𝑿 𝟐 − 𝑬 𝑿 𝟐 = 𝟐. 𝟐 − 𝟏. 𝟒 𝟐 = 𝟎. 𝟐𝟒

4.2方差(2)例如[2, (x,y)eG=((x,y)/0≤y≤x≤1))f(x,y) :[0,etc.解: E(X)= [[ xf(x,y)dxdy = [ x · 2dxdy+ 0R2G2I'dxf"2xdy3三E(X°)= [[ x f(x, y)dxdy = J x2 . 2dxdy + 0GR1=J' dxJ’ 2xdy 2D(X) = E(X2) - [E(X)]2 ==- ()12K

例如 (2) 解： 2, ( , ) {( , ) | 0 1}, ( , ) 0, etc. x y G x y y x f x y   =    =   𝑫 𝑿 = 𝑬 𝑿 𝟐 − 𝑬 𝑿 𝟐 = 𝟐 𝟑 − 𝟏 𝟐 𝟐 = 𝟕 𝟏𝟐 . 2 ( ) ( , ) 2 0 R G E X xf x y dxdy x dxdy = =  +   1 0 0 2 2 3 x = = dx xdy   2 2 2 2 ( ) ( , ) 2 0 R G E X x f x y dxdy x dxdy = =  +   1 2 0 0 1 2 2 x = = dx x dy  

4.2方差5.方差的性质1°设C是常数，则D(C)=0证 D(C) = E{[C- E(C)}}= 02°设X是一个随机变量，C是常数，则有D(CX) = CD(X), D(X +C) = D(X)证 D(CX)= E{[CX - E(CX)})=C’E([X - E(X)}"}= C2D(X)

5. 方差的性质 1 设C 是常数，则D(C) = 0. 证 D(C) {[ ( )] } = 0. 2 = E C − E C 2 设 X 是一个随机变量，C是常数， 则有 D(CX) = C 2D(X)， D(X + C) = D(X). D(CX ) {[ ( )] } 2 证 = E CX − E CX {[ ( )] } 2 2 C E X − E X ( ). 2 C D X = =

4.2方差D(X +C) = E(IX +C- E(X +C)})= E([X - E(X)}"})= D(X).3°设X,Y是两个随机变量，则有D(X + Y)= D(X)+ D(Y)+ 2E{[X - E(X)I[Y - E(Y)I)若X，Y相互独立，则有D(X + Y)= D(X) + D(Y)

D(X + C) {[ ( )] } 2 = E X + C − E X + C {[ ( )] } 2 E X − E X D(X). = = 3 设X,Y 是两个随机变量， 则有 D(X + Y ) = D(X) + D(Y ). 若X,Y 相互独立, 则有 D(X + Y ) = D X D Y E X E X Y E Y ( ) ( ) 2 {[ ( )][ ( )]}. + + − −