广西大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（PPT课件）第七章 参数估计 7.6（0-1）分布参数的区间估计

第七章参数估计第六节(0－1)分布参数的区间估计一、置信区间公式二、典型例题概率论与数理统计（第4版）

第六节 分布参数的区间估计 一、置信区间公式 二、典型例题 (0 − 1)

7.6（0一1）分布参数的区向估针一、置信区间公式设有一容量n>50的大样本，它来自(0-1)分布的总体X,X的分布律为 f(x;p)=p*(1-p)l-xx=0,1,其中p为未知参数,现在来求p的置信水平为1-α的置信区间-b-/b2-4ac -b+b2-4ac2a2a其中a= n+ za/2, b=-(2nX +za/2), c = nX2

一、置信区间公式 设有一容量n  50的大样本,它来自(0 −1)分 布的总体X, f (x; p) = (1 ) , x 1 x p p − − x = 0, 1, 其中p为未知参数,现在来求p的置信水 平为1 −的置信区间. X的分布律为 , 2 4 , 2 4 2 2         − − − − + − a b b ac a b b ac , 2  / 2 其中a = n + z (2 ), 2  / 2 b = − nX + z . 2 c = nX

7.6（0一1）分布参数的区向估针推导过程因为(0-1)分布的均值和方差分别为μ= p, α’=p(1-p),设Xi,X2,,X,是一个样本,因为容量n较大，Zx,-npnX-npi=l由中心极限定理知/np(1 - p)/np(1 -p)近似地服从N(0,1)分布，于是有nX -npP-zα/2 ~1-α，Zα/2np(1 - p)K

推导过程 因为(0–1)分布的均值和方差分别为  = p, , , , , 设 X1 X2  Xn 是一个样本 因为容量n 较大, (1 ), 2  = p − p 由中心极限定理知 (1 ) 1 np p X np n i i −  − = 近似地服从 N(0,1)分布, np(1 p) nX np − − = 1 −,        − − − / 2  / 2 (1 )   z np p nX np P z  于是有

7.6（0-1）分布参数的区向估针nX - np而不等式 -zα/2 <<Zα/2<np(1-p)等价于 (n +za/2)p2 -(2nX+za/2)p+nX2<0,- b+ /b2 -4ac记 P, =-b-Vb-4acPz =2a2a其中 a= n+za/2, b =-(2nX+za/2), c = nX2于是p的近似置信水平为1-α的置信区间是(Pi, P2).K

/ 2 / 2 (1 )   z np p nX np z  − − −  ( ) (2 ) 0, 2 2 / 2 2 2 n + z / 2 p − nX + z p + nX  而不等式 等价于 , 2 4 2 a − b + b − ac , = 2 4 2 a − b − b − ac 记 = , 2  / 2 = n + z (2 ), 2  / 2 = − nX + z . 2 其中 a b c = nX 于 是 p的近似置信水平为1 −  的置信区间是 ( , ). p1 p2 1 p p2

7.6（0一1）分布参数的区向估针二、典型例题例1设从一大批产品的100个样品中，得一级品60个，求这批产品的一级品率p的置信水平为0.95的置信区间解一级品率p是(0-1)分布的参数，600.6,n =100,x=1001-α = 0.95,Zα/2= Z0.025=1.96,则a = n+ za/2= 103.84,K

例1 设从一大批产品的100个样品中, 得一级品 60个,求这批产品的一级品率 p 的置信水平为0.95 的置信区间. 解 一级品率p是(0–1)分布的参数, n = 100, 0.6, 1− = 0.95, 1.96, 103.84, x 100 60 = =  / 2 z 0.025 = z = 则 a 2  / 2 = n + z = 二、典型例题

7.6（0-1）分布参数的区向估计b = -(2nX + za/2) =-(2nx + za/2)= -123.84,c = nX2=nx°=36,于是店- b- ~/b?- 4ac= 0.50,Pi =2a正Z- b + /b2 - 4ac = 0.69,P2 =2a故p的置信水平为0.95的置信区间为（0.50,0.69)补充例题K

36, 2 c = nX = 2 nx = a b b ac p 2 4 2 2 − + − = 0.50, 0.69, 故p 的置信水平为0.95的置信区间为 (0.50, 0.69). a b b ac p 2 4 2 1 − − − = = = 于是 (2 ) 2  / 2 b = − nX + z (2 ) 2  / 2 = − nx + z = − 123.84, 补充例题