广西大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（PPT课件）第七章 参数估计 7.3 估计量的评选标准

第七章参数估计第三节估计量的评选标准一、问题的提出二、无偏性三、 有效性四、相合性五、小结概率论与数理统计（第4版）

第三节 估计量的评选标准 一、问题的提出 二、无偏性 三、有效性 四、相合性 五、小结

73信针量的评选标准一、问题的提出对于同一个参数，用不同的估计方法求出的估计量可能不相同问题（1）对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好？（2）评价估计量的标准是什么？本节介绍几个常用标准

一、问题的提出 问题 (1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好? 对于同一个参数, 用不同的估计方法求出的 估计量可能不相同. (2)评价估计量的标准是什么? 本节介绍几个常用标准

73估针量的评选标准二、无偏性若X,X2…,X,为总体X的一个样本,Qe④是包含在总体X的分布中的待估参数这里?是的取值范围若估计量é=(X,X,,,X,）的数学期望E() 存在, 且对于任意 ① 有 E()= θ, 则称是的无偏估计量无系统误差无偏估计的实际意义：中

二、无偏性 若X1 , X2 ,  , Xn为总体X的一个样本， 无偏估计的实际意义: 无系统误差.   是包含在总体X的分布中的待估参数, 这里 是的取值范围. 若估计量 ˆ = (X1 ,X2 ,  ,Xn ) 的数学期望 ) , ˆ E( 存在 ) , ˆ 且对于任意   有 E( =  则称 .  ˆ 是  的无偏估计量

7.3估针量的评选标准例1 设总体X的k阶矩 μ=E(X)(k≥1)存在,又设X,X2,,X,是X的一个样本,试证明不论总体服从什么分布，k阶样本矩A=-x 是k阶总体矩u的无偏估计证 因为Xi,X2,,X,与X同分布,故有E(X')=E(Xk) = μk, i=1,2,...,n.E(A.)--Z)即E(X,)=μk.ni=1K

证 因为X1 ,X2 ,  ,Xn与X同分布， ( ) k E Xi i = 1,2,  ,n. = n i k E Xi n 1 ( ) 1 .  k 例1 设总体X的k 阶矩 = E(X ) (k  1)存在, k k 又设X1 , X2 ,  , Xn 是 X的一个样本，试证明不论 总体服从什么分布, 阶样本矩  是 = = n i k k Xi n k A 1 1 阶总体矩 的无偏估计. k k 故有 ( ) k = E X = ,  k 即 ( ) E Ak = =

73信针量的评选标准故k阶样本矩A是k阶总体矩u的无偏估计特例：不论总体X服从什么分布，只要它的数学期望存在，X总是总体X的数学期望μ = E(X)的无偏估计量

故 阶样本矩 是 阶总体矩 的无偏估计. k Ak k k 特例: X 总是总体X 的数学期望1 = E(X)的 不论总体X 服从什么分布, 只要它的数学期 无偏估计量. 望存在

7.3估针量的评选标准例2设总体X服从指数分布，其概率密度-t/eR,x>0,0f(x;0)=其他.0其中参数>0,又设Xi,X2,X,是来自总体X的样本，试证 X 和nZ = n[min(X,X2,…,X,)]都是0的无偏估计证因为 E(X)=E(X)=0,补充例题所以X是θ的无偏估计量R

例2 设总体X 服从指数分布, 其概率密度 f (x; ) e , 1   − x x  0,  0, 其他 .   = 其中参数  0, 又设X1 , X2 ,  , Xn 是来自总体X 的样本, 都是的无偏估计. [min( , , , )] 试 证 X 和nZ = n X1 X2  Xn 证 E(X) 所 以 X 是 的无偏估计量. 因为 = E(X)= , 补充例题

73信针量的评选标准具有概率密度nxnx>00fmin (x;0)=其他.0.0故知E(Z)E(nZ)=0,n所以nz也是θ的无偏估计量由以上两例可知，一个参数可以有不同的无计量

   E(Z) = E(nZ) = fmin (x; ) e ,   nx n − x  0, 0, 其他. = 故知 , n   , 所 以nZ 也 是 的无偏估计量. 由以上两例可知, 一个参数可以有不同的无 偏 具有概率密度 估计量

73信针量的评选标准三、 有效性比较参数的两个无偏估计量和é，如果在样本容量n相同的情况下，的观测值较,更密集，则认为 较é，为理想.由于方差是随机变量取值与其数学期望的偏所以无偏估计以方差小者为好离程度的度量，设0, =0(X,X2,".,X,)与0, = 0,(X,X2,",X,)都是?的无偏估计量，若有D()≤D(é)，则称é较,有效

三、有效性 , ˆ ˆ 比较参数的两个无偏估计量 1 和 2 如果 在样本容量n相同的情况下, ˆ 1的观测值较 ˆ 2更 . ˆ ˆ 密集，则认为 1 较  2 为理想 由于方差是随机变量取值与其数学期望的偏 离程度的度量, 所以无偏估计以方差小者为好. ( , , , ) ˆ  2 X1 X2  Xn 都是的无偏估计量, 设 ˆ 1 = ( , , , ) ˆ 1 X1 X2  Xn 与 ˆ 2 = ), ˆ ) ( ˆ ( 若有D 1  D  2 . ˆ ˆ 则称1 较  2 有效

73信针量的评选标准四、相合性若=é(X,X,,…,X,)为参数e的估计量,若对于任意,当n→oo时,(Xi,X2,,X,)依概率收敛于0,则称为θ的相合估计量例如 由第六章第三节知,样本k(k≥1)阶矩是总体X的k阶矩μ=E(X)的相合估计量,进而若待估参数=g(μ,μz,,μn),其中g为连续函数,则e的矩估计量 =g(i,z,..., an)= g(A1,A2,...,An)是0的相合估计量

四、相合性 ( , , , ) , ˆ ˆ 若 =  X1 X2  Xn 为参数的估计量 若 对于任意  , 当n → 时, ˆ (X1 ,X2 ,  ,Xn )依 . 概率收敛于 , 则 称 ˆ 为 的相合估计量 例如 由第六章第三节知, 样本k(k  1)阶矩是总 体 的 阶矩 ( )的相合估计量, k X k k = E X 进而若待 ( , , , ), 估参数 = g 1 2  n 其中g为连续函数, 则 的矩估计量 是 的相合估计量. ( , , , )  g A1 A2  An ˆ = ( ˆ , ˆ , , ˆ ) g 1 2  n =

73信针量的评选标准五、小结无偏性有效性估计量的评选的三个标准相合性不具备相合性是对估计量的一个基本要求相合性的估计量是不予以考虑的在一定条由最大似然估计法得到的估计量，件下也具有相合性估计量的相合性只有当样本容量相当大时

五、小结 估计量的评选的三个标准      无偏性 有效性 相合性 相合性的估计量是不予以考虑的. 相合性是对估计量的一个基本要求, 不具备 由最大似然估计法得到的估计量, 件下也具有相合性. 在一定条 估计量的相合性只有当样本容量相当大时