揭阳职业技术学院：《概率论与数理统计》课程授课教案

揭阳职业技术学院电子商务创业学院《概率论与数理统计》教案(2024-2025学年第1学期）教师姓名：梁庭欢电子商务所授专业：（专本协同）授课班级：231

电子商务创业学院 《概率论与数理统计》教案 (2024-2025 学年第 1 学期) 教师姓名: 梁庭欢 所授专业: 电子商务 （专本协同） 授课班级: 231

课程整体教学设计一、课程的性质和任务本课程是全日制电子商务（专本协同）专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量建设人才服务的通过本课程的学习，要使学生获得随机事件及其概率、随机变量及其分布、随机变量的数字特征、数理统计的基础知识、参数估计、假设检验、方差分析与回归分析等方面的基本概念、基本理论和基本运算能力。在课程的教学过程中，要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、数学建模与实践能力，注意培养学生的自学能力，注意理论联系实际，不断提高学生的综合素质以及运用所学知识解决实际问题的能力。二、教学目标与要求1、掌握随机事件、事件概率、独立性及条件概率等基本概念：2、掌握概率的性质，概率乘法公式，掌握古典概型及其解题方法，掌握伯努利概型；3、在掌握有关基本概念和方法的基础上能解答一些常见的、一般性的概率问题。4、正确理解和熟悉关于随机变量、随机变量概率分布，概率密度等基本概念；5、掌握一维随机变量常见的离散型和连续型分布，会计算随机变量某个值或在某个区间取值的概率；6、理解并基本掌握随机变量的函数的分布。7、正确理解和熟悉关于随机变量的数学期望方差、矩及多维随机变量的协方差、相关系数等基本概念；8、掌握数学期望及方差的性质，会求随机变量及随机变量的函数的数学期望和方差，会计算二维随机变量的协方差及相关系数：9、了解大数定理和中心极限定理。10、熟悉简单随机样本，统计量，样本均值，样本方差等基本概念；11、掌握正态总体的分布，会查x2-分布，T-分布，F-分布数值表12、掌握点估计的两种方法：矩法和极大似然法；1

1 课程整体教学设计 一、课程的性质和任务 本课程是全日制电子商务（专本协同）专业学生的一门必修的重要基础理论 课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量建设人才服务的。 通过本课程的学习，要使学生获得随机事件及其概率、随机变量及其分布、 随机变量的数字特征、数理统计的基础知识、参数估计、 假设检验、方差分析 与回归分析等方面的基本概念、基本理论和基本运算能力。 在课程的教学过程中，要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、 逻辑推理能力、数学建模与实践能力，注意培养学生的自学能力，注意理论联系 实际，不断提高学生的综合素质以及运用所学知识解决实际问题的能力。 二、教学目标与要求 1、掌握随机事件、事件概率、独立性及条件概率等基本概念； 2、掌握概率的性质，概率乘法公式，掌握古典概型及其解题方法，掌握伯 努利概型； 3、在掌握有关基本概念和方法的基础上能解答一些常见的、一般性的概率 问题。 4、正确理解和熟悉关于随机变量、随机变量概率分布，概率密度等基本概 念； 5、掌握一维随机变量常见的离散型和连续型分布，会计算随机变量某个值 或在某个区间取值的概率； 6、理解并基本掌握随机变量的函数的分布。 7、正确理解和熟悉关于随机变量的数学期望方差、矩及多维随机变量的协 方差、相关系数等基本概念； 8、掌握数学期望及方差的性质，会求随机变量及随机变量的函数的数学期 望和方差，会计算二维随机变量的协方差及相关系数； 9、了解大数定理和中心极限定理。 10、熟悉简单随机样本，统计量，样本均值，样本方差等基本概念； 11、掌握正态总体的分布，会查 X2-分布，T-分布，F-分布数值表 12、掌握点估计的两种方法：矩法和极大似然法；

13、掌握估计优良的三个标准：无偏性、有效性和相合性：14、掌握区间估计的基本方法。15、正确理解和熟悉假设检验的基本思想，掌握正态总体均值和方差的假设检验；16、了解非正态总体参数的假设检验；17、了解分布函数的拟合检验18、了解方差分析与回归分析三、教学方法与手段该课程以老师讲授与启发为主，辅以学生讨论、练习与自学。(1)精讲多练，注重学生基础知识的掌握；(2)激发学生兴趣，加强自主学习；(3)注意学习方法，指导培养自学能力。四、理论与实践课程内容与学时分配课程内容和学时分配表章节学时数内容（序号）理论实践、实验总学时第一章426概率论的基本概念426第二章随机变量及其分布第三章426多维随机变量及其分布426第四章随机变量的数字特征404第五章大数定律及中心极限定理426第六章样本及抽样分布426第七章参数估计2第八章46假设检验415第九章方差分析及回归分析213机动课习题课381654合计2

2 13、掌握估计优良的三个标准；无偏性、有效性和相合性； 14、掌握区间估计的基本方法。 15、正确理解和熟悉假设检验的基本思想，掌握正态总体均值和方差的假设 检验； 16、了解非正态总体参数的假设检验； 17、了解分布函数的拟合检验 18、了解方差分析与回归分析 三、教学方法与手段 该课程以老师讲授与启发为主，辅以学生讨论、练习与自学。 (1) 精讲多练，注重学生基础知识的掌握; (2) 激发学生兴趣，加强自主学习; (3) 注意学习方法，指导培养自学能力。 四、理论与实践课程内容与学时分配 课程内容和学时分配表 章节 （序号） 内 容 学时数 理论 实践、实验 总学时 第一章 概率论的基本概念 4 2 6 第二章 随机变量及其分布 4 2 6 第三章 多维随机变量及其分布 4 2 6 第四章 随机变量的数字特征 4 2 6 第五章 大数定律及中心极限定理 4 0 4 第六章 样本及抽样分布 4 2 6 第七章 参数估计 4 2 6 第八章 假设检验 4 2 6 第九章 方差分析及回归分析 4 1 5 机动课 习题课 2 1 3 合计 38 16 54

授课时间第1周课次第1次第一章概率论的基本概念81随机试验章节82样本空间、随机事件名称83频率和概率84等可能概型(古典概型)85条件概率授课教学理论课（√）、实践课（）、习题课（）其它（3方式时数1、了解随机试验、随机事件和样本空间的概念，掌握事件之间的关系及运算。2、理解概率的公理化定义，掌握概率的基本性质，掌握加法公式、减法公式的运用。教学目的3、掌握古典概型和几何概型的定义，掌握古典概型和几何概型问题的求解。要求4、理解条件概率的概念，理解全概率公式和贝叶斯公式的定义，掌握用全概率公式和贝叶斯公式进行概率计算。教学讲授、课堂提问、讨论、启发、自学方法重点：随机事件的概念，事件之间的关系及运算；概率的性质；古典概型的求解；条教学件概率的定义，乘法公式，全概率公式和贝叶斯公式。重点难点：样本空间、事件的关系及运算：公理化定义的理解：事件中样本点的计算：掌难点握用全概率公式和贝叶斯公式进行计算。教学步骤及内容：81随机试验82样本空间、随机事件一、基本概念：1、在一定条件下必然发生，称这类现象称为确定性现象。2、在这些现象中，结果都不止一个，并且事先无法预知会出现哪个结果，这类现象被称为随机现象。3、随机现象在一次试验中呈现不确定的结果，而在大量重复试验中结果呈现某种规律性，例如相对比较稳定的性别比例，这种规律性称为统计规律性。4、为了研究随机现象的统计规律性，就要对客观事物进行观察，观察的过程叫试验，5、随机试验的一切可能结果组成的集合称为样本空间，记为Q=，其中の表示试验的每一个可能结果，又称为样本点，即样本空间为全体样本点的集合。6、在一次试验中可能出现，也可能不出现的一类结果称为随机事件。二、定理与性质1、随机试验的三个特点：（1）在相同的条件下试验可以重复进行：3

3 授课时间 第 1 周 课 次 第 1 次 章 节 名 称 第一章 概率论的基本概念 §1 随机试验 §2 样本空间、随机事件 §3 频率和概率 §4 等可能概型(古典概型) §5 条件概率 授 课 方 式 理论课（√）、实践课（ ）、习题课（ ）、其它（ ） 教学 时数 3 教 学 目 的 要 求 1、了解随机试验、随机事件和样本空间的概念，掌握事件之间的关系及运算。 2、理解概率的公理化定义，掌握概率的基本性质，掌握加法公式、减法公式的运用。 3、掌握古典概型和几何概型的定义，掌握古典概型和几何概型问题的求解。 4、理解条件概率的概念，理解全概率公式和贝叶斯公式的定义，掌握用全概率公式 和贝叶斯公式进行概率计算。 教 学 方 法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教 学 重 点 难 点 重点：随机事件的概念，事件之间的关系及运算；概率的性质；古典概型的求解；条 件概率的定义，乘法公式，全概率公式和贝叶斯公式。 难点：样本空间、事件的关系及运算；公理化定义的理解；事件中样本点的计算；掌 握用全概率公式和贝叶斯公式进行计算。 教学步骤及内容： §1 随机试验 §2 样本空间、随机事件 一、基本概念： 1、在一定条件下必然发生，称这类现象称为确定性现象。 2、在这些现象中，结果都不止一个，并且事先无法预知会出现哪个结果，这类现象被称为随机现象。 3、随机现象在一次试验中呈现不确定的结果，而在大量重复试验中结果呈现某种规律性，例如相对 比较稳定的性别比例，这种规律性称为统计规律性。 4、为了研究随机现象的统计规律性，就要对客观事物进行观察，观察的过程叫试验。 5、随机试验的一切可能结果组成的集合称为样本空间，记为   ，其中 表示试验的每一个可 能结果，又称为样本点，即样本空间为全体样本点的集合。 6、在一次试验中可能出现，也可能不出现的一类结果称为随机事件。 二、定理与性质 1、随机试验的三个特点： （1） 在相同的条件下试验可以重复进行；

(2)每次试验的结果不止一个，但是试验之前可以明确试验的所有可能结果；(3）每次试验将要发生什么样的结果是事先无法预知的。2、事件的定义解析(1)任一随机事件A是样本空间Q的一个子集。（2）当试验的结果の属于该子集时，就说事件A发生了。相反地，如果试验结果の不属于该子集，就说事件A没有发生。例如，如果掷般子掷出了1，则事件A发生，如果掷出2，则事件A不发生。（3）仅含一个样本点的随机事件称为基本事件。（4）样本空间Q也是自己的一个子集，所以它也称为一个事件。由于Q包含所有可能试验结果，所以Q在每一次试验中一定发生，又称为必然事件。（5）空集Φ也是样本空间2的一个子集，所以它也称为一个事件。由于Φ中不包含任何元素，所以中在每一次试验中一定不发生，又称为不可能事件。3、随机事件间的关系（1）如果ACB（或B2A），则称事件A被包含在B中（或称B包含A)，见图1.1。从概率论的角度来说：事件A发生必导致事件B发生。（2）如果ACB,BCA同时成立，则称事件A与B相等，记为A=B。从概率论的角度来说：事件A发生必导致事件B发生，且B发生必导致A发生，即A与B是同一个事件。（3）如果A与B没有相同的样本点，则称事件A与B互不相容（或称为互斥），见图1.2。从概率论的角度来说：事件A与事件B不可能同时发生。4、随机事件间的运算（1）事件A与B的并，记为AUB，见图1.3，表示由事件A与B中所有样本点组成的新事件。从概率论的角度来说：事件A与B中至少有一个发生。（2）事件A与B的交，记为ANB（或AB），见图1.4，表示由事件A与B中公共的样本点组成的新事件。从概率论的角度来说：事件A与B同时发生。（3）事件A与B的差，记为A-B，见图1.5，表示由在事件A中且不在事件B中的样本点组成的新事件。从概率论的角度来说：事件A发生而B不发生。（4）事件A的对立事件（或称为逆事件、余事件），记为A，见图1.6，表示由Q中且不4

4 （2） 每次试验的结果不止一个，但是试验之前可以明确试验的所有可能结果； （3） 每次试验将要发生什么样的结果是事先无法预知的。 2、事件的定义解析 （1） 任一随机事件 A 是样本空间的一个子集。 （2） 当试验的结果 属于该子集时，就说事件 A 发生了。相反地，如果试验结果 不属于该 子集，就说事件 A 没有发生。例如，如果掷骰子掷出了 1，则事件 A 发生，如果掷出 2， 则事件 A 不发生。 （3） 仅含一个样本点的随机事件称为基本事件。 （4） 样本空间也是自己的一个子集，所以它也称为一个事件。由于包含所有可能试验结 果，所以在每一次试验中一定发生，又称为必然事件。 （5） 空集 也是样本空间的一个子集，所以它也称为一个事件。由于 中不包含任何元素， 所以 在每一次试验中一定不发生，又称为不可能事件。 3、随机事件间的关系 （1）如果 A  B （或 B  A ），则称事件 A 被包含在 B 中（或称 B 包含 A），见图 1.1。从 概率论的角度来说：事件 A 发生必导致事件 B 发生。 （2）如果 A  B, B  A 同时成立，则称事件 A 与 B 相等，记为 A=B 。从概率论的角度来 说：事件 A 发生必导致事件 B 发生，且 B 发生必导致 A 发生，即 A 与 B 是同一个事件。 （3）如果 A 与 B 没有相同的样本点，则称事件 A 与 B 互不相容（或称为互斥），见图 1.2。 从概率论的角度来说：事件 A 与事件 B 不可能同时发生。 4、随机事件间的运算 （1）事件 A 与 B 的并，记为 A  B ，见图 1.3，表示由事件 A 与 B 中所有样本点组成的 新事件。从概率论的角度来说：事件 A 与 B 中至少有一个发生。 （2）事件 A 与 B 的交，记为 A  B （或 AB ），见图 1.4，表示由事件 A 与 B 中公共的样 本点组成的新事件。从概率论的角度来说：事件 A 与 B 同时发生。 （3）事件 A 与 B 的差，记为 A B ，见图 1.5，表示由在事件 A 中且不在事件 B 中的样本 点组成的新事件。从概率论的角度来说：事件 A 发生而 B 不发生。 （4）事件 A 的对立事件（或称为逆事件、余事件），记为 A ，见图 1.6，表示由 中且不

在事件A中的所有样本点组成的新事件，即A=Q-A。从概率论的角度来说：事件A不发生。5、事件的运算性质定律：(1)交换律：AUB=BUA，ANB=BNA;(2)结合律：(AUB)UC=AU(BUC)(AB)C= A(BC) :(3)分配律：(AUB)NC=ACUBC,(ANB)UC=(AUC)N(BUC):（4）对偶律（德·）摩根公式）：AUB=ANB，并事件的对立等于对立事件的交，ANB=AUB，交事件的对立等于对立事件的并。三、主要例题：例1随机试验的例子：（1）抛掷一枚均匀的硬币，有可能正面朝上，也有可能反面朝上：（2）抛掷一枚均匀的殷子，出现的点数；（3）某快餐店一天内接到的订单量：（4）航班起飞延误的时间；（5）一支正常交易的A股股票每天的涨跌幅。例2下面给出例1中随机试验的样本空间：（1）抛掷一枚均匀硬币的样本空间为2，=H,T，其中H表示正面朝上，T表示反面朝上：（2）抛掷一枚均匀般子的样本空间为Q，={i,i=1,2,,6)（3）某快餐店一天内接到的订单量的样本空间为2，=0,1,2,.（4）航班起飞延误时间的样本空间为24=(t:1≥0)：（5）一支正常交易的A股股票每天涨跌幅的样本空间为Q，=(x：-10%≤x%≤10%)。5

5 在事件 A 中的所有样本点组成的新事件，即 A =  A。从概率论的角度来说：事件 A 不发 生。 5、事件的运算性质定律： (1)交换律： A  B = B  A， A B = B  A ； (2)结合律： (AB)C  A(BC) , (AB)C  A(BC) ； (3)分配律： (AB)C  ACBC, (A B)  C  (A C)  (B  C) ； (4) 对偶律（德•）摩根公式）： A B=A B ，并事件的对立等于对立事件的交， A B=A B ，交事件的对立等于对立事件的并。 三、主要例题： 例 1 随机试验的例子： （1）抛掷一枚均匀的硬币，有可能正面朝上，也有可能反面朝上； （2）抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数； （3）某快餐店一天内接到的订单量； （4）航班起飞延误的时间； （5）一支正常交易的 A 股股票每天的涨跌幅。 例 2 下面给出例 1 中随机试验的样本空间： （1）抛掷一枚均匀硬币的样本空间为1  H,T ，其中 H 表示正面朝上，T 表示反面朝上； （2）抛掷一枚均匀骰子的样本空间为2  i,i 1, 2,,6 ； （3）某快餐店一天内接到的订单量的样本空间为3  0,1, 2, ； （4）航班起飞延误时间的样本空间为4  t :t  0 ； （5）一支正常交易的 A 股股票每天涨跌幅的样本空间为5  x : 10%  x% 10%

例3抛掷一枚均匀的般子的样本空间为Q=(1,2,,6)随机事件A=“出现6点”={6)]；随机事件B=“出现偶数点”={2,4,6);随机事件C=“出现的点数不超过6”=(1,2,,6)=Q，即一定会发生的必然事件；随机事件D=“出现的点数超过6”=Φ，即一定不会发生的不可能事件。例4用事件A,B,C的运算关系式表示下列事件，则(1）A出现，B,C都不出现（记为E,)：(2）所有三个事件都出现（记为E,）；（3）三个事件都不出现（记为E，）；（4）三个事件中至少有一个出现（记为E）：（5）三个事件中至少有两个出现（记为E，）：(6）至多一个事件出现（记为E）；（7）至多二个事件出现（记为E，）83频率和概率、基本概念：1、概率的公理化定义设任一随机试验E，Q为相应的样本空间，若对任意事件A，有实数P（A)与之对应，且满足下面条件，则数P(A)称为事件A的概率：（1）非负性公理对于任意事件A，总有P(A)≥0；（2）规范性公理P(Q)=1；P(A)（3）可列可加性公理若A,A，,A,..为两两互不相容事件组，则有P二、定理与性质：性质1P(g)=0

6 例 3 抛掷一枚均匀的骰子的样本空间为  1,2,,6 随机事件 A=“出现 6 点”=6 ； 随机事件 B=“出现偶数点”=2, 4，6； 随机事件 C=“出现的点数不超过 6”  1, 2,,6= ，即一定会发生的必然事件； 随机事件 D=“出现的点数超过 6”= ，即一定不会发生的不可能事件。 例 4 用事件 A, B,C 的运算关系式表示下列事件，则： (1) A 出现， B,C 都不出现（记为 E1）； (2) 所有三个事件都出现（记为 E2 ）； (3) 三个事件都不出现（记为 E3）； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为 E4 ）； (5) 三个事件中至少有两个出现（记为 E5）； (6) 至多一个事件出现（记为 E6 ）； (7) 至多二个事件出现（记为 E7 ） §3 频率和概率 一、基本概念： 1、概率的公理化定义 设任一随机试验 E ， 为相应的样本空间，若对任意事件 A ，有实数 P A 与之对应，且满足下面 条件，则数 P A 称为事件 A 的概率： （1）非负性公理 对于任意事件 A ，总有 P A  0 ； （2）规范性公理 P =1； （3）可列可加性公理 若 1 2 , , , , A A  An 为两两互不相容事件组，则有   1 1 i i i i P A P A              . 二、定理与性质： 性质 1 P   0

设4,A"A,为两两互不相容的事件，则有P(4)-P(4)。性质2（有限可加性）性质3对任意事件A，有P(A)=1-P(4)。性质4 若事件AcB，则 P(B-A)=P(B)-P(A)。推论若事件 Ac B，则P(A)≤P(B)。性质5（减法公式）设A,B为任意事件，则 P(A-B)=P(A)-P(AB)。性质6(加法公式）设A,B为任意事件，则P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)。三、主要例题：例1（生日问题）n个人中至少有两个人的生日相同的概率是多少？例2已知事件A,B,AUB的概率依次为0.2，0.4，0.5，求概率P(AB)例3设事件A,B,C为三个随机事件，已知P(A)=0.2，P(B)=0.3，P(C)=0.4PAB)=0，P(BC)=P(AC)=0.1，则A,B,C至少发生一个的概率是多少？A,B,C都不发生的概率是多少？84等可能概型（古典概型）、基本概念：1、古典概型（1）随机试验的样本空间只有有限个样本点，不妨记作2={1,02，,0）(2)每个样本点发生的可能性相等，即P(o))==P(o,))=A中所含样本点的个数_nA若随机事件A中含有n,个样本点，则事件A的概率为P(A)=含Q中所有样本点的个数n2、几何概型（1）随机试验的样本空间是某个区域（可以是一维区间、二维平面区域或三维空间区域），（2）每个样本点发生的可能性相等，7

7 性质 2（有限可加性） 设 1 2 , , , A A  An 为两两互不相容的事件，则有   1 1 n n i i i i P A P A            。 性质 3 对任意事件 A ，有 P  A  1 P  A 。 性质 4 若事件 A  B ，则 PB  A  P B-P A。 推论 若事件 A  B ，则 P A  P B 。 性质 5（减法公式） 设 A, B 为任意事件，则 P A B  P A  P AB 。 性质 6（加法公式） 设 A, B 为任意事件，则 P A B  P A  PB  P AB 。 三、主要例题： 例 1（生日问题） n 个人中至少有两个人的生日相同的概率是多少？ 例 2 已知事件 A, B, A B 的概率依次为 0.2，0.4，0.5，求概率 P  AB . 例 3 设事件 A, B,C 为三个随机事件，已知 P(A)  0.2 ， P(B)  0.3， P(C)  0.4， P(AB)  0，P(BC)  P(AC)  0.1，则 A, B,C 至少发生一个的概率是多少？ A, B,C 都不发生的 概率是多少？ §4 等可能概型(古典概型) 一、基本概念： 1、古典概型 （1）随机试验的样本空间只有有限个样本点，不妨记作  1 ,2 ,,n ； （2）每个样本点发生的可能性相等，即  1   1 ( ) = ( ) P P n n     若随机事件 A 中含有 A n 个样本点，则事件 A 的概率为 ( ) = A A n P A n   中所含样本点的个数 中所有样本点的个数 2、几何概型 （1）随机试验的样本空间 是某个区域（可以是一维区间、二维平面区域或三维空间区域）， （2）每个样本点发生的可能性相等

则事件A的概率公式为：P(A)=m(A)m(2)其中m(）在一维情形下表示长度，在二维情形下表示面积，在三维情形下表示体积。二、主要例题：例1抛掷两颗均匀的般子，观察出现的点数，设事件A表示“两个般子的点数一样”，求P(A).例2（抽样模型）已知N件产品中有M件是不合格品，其余N-M是合格品。今从中随机地抽取n件。试求：（1）不放回抽样n件中恰有k件不合格品的概率；（2）有放回抽样n件中恰有k件不合格品的概率。例3（抽奖问题）今有某公司年会的抽奖活动，设共有n张券，其中只有一张有奖，每人只能抽一张，设事件A表示为“第k个人抽到有奖的券”，试在有放回、无放回两种抽样方式下，求P(A).例4在[0,1]区间内任取一个数，求（1）这个数落在区间(0,0.25)内的概率；（2）这个数落在区间中点的概率；（3）这个数落在区间（0,1)内的概率。例5（碰面问题）甲、乙两人约定在中午的12时到13时之间在学校咖啡屋碰面，并约定先到者等候另一人10分钟，过时即可离去。求两人能碰面的概率，例6（蒲丰投针问题）蒲丰投针试验是第一个用几何形式表达概率问题的例子。假设平面上画满间距为a的平行直线，向该平面随机投掷一枚长度为l(10，称P(BIA)=P(A)发生的条件下事件B发生的概率，称为条件概率，记为P(BIA)2、设E是随机试验，Q是相应的样本空间，A,A2",A,为事件组，若A,A2，",A,满足条件：①A,NA, =O(i+ J)②AUAU...UA,=Q则称事件组A,A，,A,为样本空间的一个完备事件组.完备事件组完成了对样本空间的一个分割。二、定理与性质：1，条件概率也满足概率的公理化定义的三条基本性质，即非负性、规范性和可列可加性，如下：（1）非负性公理对于任意事件A，总有P(AB)≥0；0

8 则事件 A 的概率公式为： (A) ( ) ( ) m P A m   其中 m() 在一维情形下表示长度，在二维情形下表示面积，在三维情形下表示体积。 二、主要例题： 例 1 抛掷两颗均匀的骰子，观察出现的点数，设事件 A 表示“两个骰子的点数一样”，求 P(A) ． 例 2（抽样模型）已知 N 件产品中有 M 件是不合格品，其余 N  M 是合格品。今从中随机地抽取 n 件。试求： （1）不放回抽样 n 件中恰有 k 件不合格品的概率； （2）有放回抽样 n 件中恰有 k 件不合格品的概率。 例 3 （抽奖问题）今有某公司年会的抽奖活动，设共有 n 张券，其中只有一张有奖，每人只能抽一 张，设事件 A 表示为“第 k 个人抽到有奖的券”，试在有放回、无放回两种抽样方式下，求 P(A) ． 例 4 在[0,1]区间内任取一个数，求 （1） 这个数落在区间(0,0.25) 内的概率； （2） 这个数落在区间中点的概率； （3） 这个数落在区间(0,1) 内的概率。 例 5（碰面问题）甲、乙两人约定在中午的 12 时到 13 时之间在学校咖啡屋碰面，并约定先到者等候 另一人 10 分钟，过时即可离去。求两人能碰面的概率. 例 6(蒲丰投针问题) 蒲丰投针试验是第一个用几何形式表达概率问题的例子。假设平面上画满间距 为 a 的平行直线，向该平面随机投掷一枚长度为l(l  a) 的针，求针与任一平行线相交的概率. §5 条件概率 一、基本概念： 1、设 E 是随机试验， 是样本空间， A, B 是事件且 P A  0，称       | P AB P B A P A  为在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率，称为条件概率，记为 PB | A . 2、设 E 是随机试验，  是相应的样本空间， 1 2 , , , A A  An 为事件组，若 1 2 , , , A A  An 满足条件： ① Ai  Aj  i  j ② A1  A2  An   则称事件组 1 2 , , , A A  An 为样本空间的一个完备事件组.完备事件组完成了对样本空间的一个分割. 二、定理与性质： 1，条件概率也满足概率的公理化定义的三条基本性质，即非负性、规范性和可列可加性，如下： （1）非负性公理 对于任意事件 A ，总有 P A B  0 ；

(2）规范性公理P(QB)=1;(3)可列可加性公理若A,A，",A,….为两两互不相容事件组，则有PO4,|BP(A (B)2，（概率的乘法定理）设A,B为试验E的事件，且P(A)>0，则有P(AB)=P(A)P(BIA).同理，若 P(B)>0,有 P(AB)= P(A|B)P(B)。3，设A,B,C为任意的三个事件，且P(AB)>0则P(ABC)=P(A)P(BIA)P(CIAB)。4，更一般的，有下面公式：设A,A,A,为事件组，且P(44A-)>0，则P(AA, .-A.)=P(A)P(A IA)P(A, IAA)...P(A, IAA -A.-)5，（全概率公式）设A,A2，",A,为完备事件组，且P(4)>0(i=1,2,",n)，B为任一事件，则P(B)=ZP(4,)P(BIA,)。（贝叶斯公式）设A,A2，"",A,为完备事件组，P(4)>0(i=1,2,,n)，B为任一事件，则P(4)P(BIA)P(4IB)=-ZP(4)P(B4)=1三、主要例题：例1假设抛掷一颗均匀的般子，已知掷出的点数是偶数，求点数超过3的概率？例2假设一批产品中一二三等品各有60个，30个和10个，从中任取一件，发现不是三等品，则取到的是一等品的概率是多少？例3设A,B为事件，且已知P(A)=0.7,P(B)=0.4，P(A-B)=0.5，求P(BA)。例4一批零件共100个，次品率为10%，从中不放回取三次（每次取一个），求第三次才取得正品的概率.例5某手机制造企业有二个生产基地，一个在S市，一个在T市，但都生产同型号手机。S市生产的手机占总数的60%，而T市的则占40%.二个基地生产的手机都送到二地之间的一个中心仓库，且产品混合放在一起.从质量检查可知S市生产的手机有5%不合格：T市生产的手机则有10%不合格.求：(1)）从中心仓库随机抽出一个手机，求它是不合格品的概率；9

9 （2）规范性公理 P B  1； （3）可列可加性公理 若 1 2 , , , , A A  An 为两两互不相容事件组，则有   1 1 i i i i P A B P A B              . 2，（概率的乘法定理）设 A, B 为试验 E 的事件，且 P A  0，则有 P AB  P A PB | A .同理， 若 P(B)  0 ，有 P(AB)  P(A | B)P(B) 。 3，设 A, B,C 为任意的三个事件，且 P AB  0则 P ABC  P A PB | A PC | AB 。 4，更一般的，有下面公式：设 1 2 , , , A A  An 为事件组，且  1 2 1  0 P A A An  ，则 P A1A2An   P A1  P A2 | A1  P A3 | A1A2 P An | A1A2An1  5，（全概率公式） 设 1 2 , , , A A  An 为完备事件组，且 P Ai  0i 1,2,,n， B 为任一事件，则       1 | n i i i P B P A P B A    。 （贝叶斯公式） 设 1 2 , , , A A  An 为完备事件组， P Ai  0i 1,2,,n， B 为任一事件，则           1 | | | i i i n i i i P A P B A P A B P A P B A    . 三、主要例题： 例 1 假设抛掷一颗均匀的骰子，已知掷出的点数是偶数，求点数超过 3 的概率？ 例 2 假设一批产品中一二三等品各有 60 个，30 个和 10 个，从中任取一件，发现不是三等品，则取 到的是一等品的概率是多少？ 例 3 设 A, B 为事件，且已知 P(A)  0.7, P(B)  0.4，P(A  B)  0.5，求 P(B A)。 例 4 一批零件共 100 个，次品率为 10%，从中不放回取三次（每次取一个），求第三次才取得正品 的概率． 例 5 某手机制造企业有二个生产基地，一个在 S 市，一个在 T 市，但都生产同型号手机. S 市生产 的手机占总数的 60％，而 T 市的则占 40％.二个基地生产的手机都送到二地之间的一个中心仓库， 且产品混合放在一起.从质量检查可知 S 市生产的手机有 5％不合格；T 市生产的手机则有 10％不合 格.求： （1） 从中心仓库随机抽出一个手机，求它是不合格品的概率；