浙江科技大学：《复变函数与积分变换》课程教学课件（PPT讲稿）第一章 复数与复变函数（主讲教师：薛有才）

第一章第2页复数与复变函数学习方法：高等数学有关的概念与方法来理解复变函数，但注意复变函数又有那些地方不同于实变函数的。要求：1、认真听课，不能无故缺课2、按时认真完成作业（不能抄袭）3、及时复习所学内容束00运回

结 束 返回 第一章 复数与复变函数 第2页 2 学习方法： 高等数学有关的概念与方法来理解复变函数，但 注意复变函数又有那些地方不同于实变函数的。 要求：1、认真听课，不能无故缺课 2、按时认真完成作业（不能抄袭） 3、及时复习所学内容

第一章复数与复变函数第3页参考书目1、高教出版社《复变函数与积分变换学习辅导与习题选解》苏变萍王一平等编2、浙江大学出版社《复变函数与拉普拉斯变换》金忆丹编3、高等教育出版社《西安交通大学高等数学教研室编》，复变函数（第四版）结束00运回

结 束 返回 第一章 复数与复变函数 第3页 3 参 考 书 目 1、高教出版社《复变函数与积分变换学习辅导与 习题选解》 苏变萍 王一平等编 2、 浙江大学出版社《复变函数与拉普拉斯变换》 金忆丹编 3 、高等教育出版社《西安交通大学高等数学 教研室编》 ，复变函数（第四版）

第一章复数与复变函数第4页引言在十六世纪中叶，G.Cardano（1501-1576）在研究一元二次方程 x(10一x)=40时引进了复数。他发现这个方程没有根，并把这个方程的两个根形式地表为 5+／-15与5--15。在当时，包括他自已在内，谁也弄不清这样表示有什磨好处。事实上，复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理踩，并被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于L.Euler的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的Euler公式 eio=cosθ+isin 揭示了复指数函数与三角函数之间的关系。然而一直到C.Wessel挪威.1745-1818)和R.Argand（法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及结束00送回

结 束 返回 第一章 复数与复变函数 第4页 4 在十六世纪中叶，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次 引 言 包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上， 复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并 被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪， 随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于 L.Euler 的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的 间的关系。然而一直到C.Wessel (挪威.1745-1818)和R.Argand (法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及 方程 x x (10 40 − =) 时引进了复数。他发现这个方程没有根，并 把这个方程的两个根形式地表为 5 15 5 15 + − − − 与 。在当时， Euler公式 cos sin 揭示了复指数函数与三角函数之 i e i  = +  

第一章复数与复变函数第5页K.F.Gauss（德国1777-1855)与W.R.Hamilton（爱尔兰1805-1865)定义复数α+ib 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立和发展。复变函数的理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着厂泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学热学弹性理论中平面问题的有力工具复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域的推厂和发展。结束00运回

结 束 返回 第一章 复数与复变函数 第5页 5 定义复数 为一对有序实数后，才消除 人们对复数真实性 复变函数的 理论和方法在数学，自然科学和工程 技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学， 热学弹性理论中平面问题的有力工具。 复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复 数领域的推广和发展 。 K.F.Gauss (德国1777-1855)与W.R.Hamilton (爱尔兰 1805-1865) 的长久疑虑，“复变函数”这一数 学分支到此才顺利地得到建立和发展。 a ib + K.F.Gauss (德国1777-1855)与W.R.Hamilton (爱尔兰 1805-1865) 的长久疑虑，“复变函数”这一数 学分支到此才顺利地得到建立和发展。 a ib +

第一章第6页复数与复变函数第一章复数与复变函数自变量为复数的函数就是复变函数，它是本课程的研究对象.由于在中学阶段已经学过复数的概念和复数的运算本章将在原有的基础上作简要的复习和补充：然后再介绍复平面上的区域以及复变函数的极限与连续性的概念，为进一步研究解析函数理论和方法奠定必要的基础结束0运回

结 束 返回 第一章 复数与复变函数 第6页 6 第一章 复数与复变函数 自变量为复数的函数就是复变函数, 它是本课程的研究 对象.由于在中学阶段已经学过复数的概念和复数的运算, 本章将在原有的基础上作简要的复习和补充; 然后再介绍 复平面上的区域以及复变函数的极限与连续性的概念, 为 进一步研究解析函数理论和方法奠定必要的基础

第一章第7页复数与复变函数福81.1 复数及其表示法一对有序实数（x,y）构成一个复数，记为 z=＋ix,y分别称为 Z的实部和虚部,x-Re(Z)，y-Im(Z)，i=-1Ｚ =x一iy 称为 Z 的共轭复数两个复数相等仁他们的实部和虚部都相等特别地，z=x+iv=0==0与实数不同，一般说来，任意两个复数不能比较大小结束00运回

结 束 返回 第一章 复数与复变函数 第7页 7 §1.1 复数及其表示法 一对有序实数（ ）构成一个复数，记为 . x, y 分别称为 Z 的实部和虚部, x=Re(Z) ，y=Im(Z), i = −1 称为 Z 的共轭复数。 与实数不同, 一般说来, 任意两个复数不能比较大小. 两个复数相等 他们的实部和虚部都相等 特别地，  z = x + iy = 0  x = y = 0

第一章第8页复数与复变函数复数的表示法1. 代数形式 ： z = x + iv1)点表示复数z=x+iy 平面XOY上的点z(x,)虚轴 yz(x, y)y复平面r0X0X实轴结束00返回

结 束 返回 第一章 复数与复变函数 第8页 8 1.代数形式 : z = x + iy 复数的表示法 1)点表示 复数z = x +iy 平面 上的点 XOY z x y ( , ) y z(x,y) x 0 x y r  复平面 实轴 虚轴

第一章第9页复数与复变函数2）向量表示复数z=x+iy<>矢径zyz-x+iyiN[x区z],,y[zx|+I],Z=1zz-- 00xx结束00返回

结 束 返回 第一章 复数与复变函数 第9页 9 2) 向量表示 复数z=x+iy 矢径z  0 x y x y  z=x+iy z | | | | | | | | | |, | | | |,| | | |, 2 2 zz z z z x y x z y z = =  +  

第一章复数与复变函数第10页==r= Vx2 +y2---复数z的模z与x轴正向的夹角---复数z的辐角(argument)记作Arg z=0任何一个复数z0有无穷多个幅角,将满足一元<0≤元的0。称为Arg z的主值,记作%=arg z.则Arg z+2k元=arg z+2k元(k为任意整数)结束1000运回

结 束 返回 第一章 复数与复变函数 第10页 10 -复数z的辐角(argument) 记作Arg z= . 任何一个复数z0有无穷多个幅角,将满足 −p <0p 的0 称为Arg z的主值, 记作0=arg z .则 Arg z=0+2kp =arg z +2kp (k为任意整数) 2 2 z z r x y = = = + -复数z的模 z x 与 轴正向的夹角

第一章复数与复变函数第11页当 z=0时，zl=0,而幅角不确定arg z可由下列关系确定arctan二,=在第一、四象限xarg==元+arctan ,z在第二象限x二，z在第三象限一 元 + arctanxy元元其中arctant-22x束1100运回

结 束 返回 第一章 复数与复变函数 第11页 11          − + = + 在第三象限 在第二象限 在第一、四象限 z x y z x y z x y z arctan , arctan , arctan , arg p p 当 z = 0 时, | z | = 0, 而幅角不确定. arctan 2 2 y x p p 其中−   arg z可由下列关系确定: