浙江科技大学：《复变函数与积分变换》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 复变函数的积分 §3.3 柯西积分公式

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第三章复变函数的积分3.3柯西积分公式问题的提出柯西积分公式大三典型例题四、小结结回束

结 束 返回 第三章 复变函数的积分 2 2 一、 问 题 的 提 出 二、 柯 西 积 分 公 式 三、 典 型 例 题 四、 小 结 3.3 柯西积分公式

复变承数的和一第三章问题的提出回忆上节课的两个结果VSCi2z-12z-1z-1Zdz = 2元iz=2元ix0C2z-1JczCi,C,分别是以0,1为圆心的两个相互外离的正向圆周相同点：(1)均是沿围线的积分，且围线内只有一个奇点;(2)被积函数均为分式：(3)积分值均跟2元i有关。结回束

结 束 返回 第三章 复变函数的积分 33 一、问题的提出 1 2 C C, 0 1 分别是以 ，为圆心的两个相互外离的正向圆周. 1 2 1 1 2 C z z dz i z  − − =  2 2 1 2 C 1 z z dz i z  − = −  相同点： (1) 均是沿围线的积分，且围线内只有一个奇点； (2) 被积函数均为分式； (3) 积分值均跟 2i 有关 。 上节课的两个结果 C1 C2 1 x y o 回忆

第三章复变函数的积分积分值等于被积函数中的分子在使分母为零的点处的函数值与2元的乘积。设D-单连通,f(z)在D内D解析,zED,C是D内围绕z,的一条闭曲线,J(z)一般f(z)则在z.不解析..±0.dz.Z-Zoz.-Zof(z)dz=f(z)×2元iZ.-Zo结回束

结 束 返回 第三章 复变函数的积分 4 4 0 0 , ( ) , , , D f z D z D C D z −  设 单连通 在 内 解析 是 内围绕 的一条闭曲线 0 0 ( ) ( ) 2 C f z dz f z i z z =   −  0 0 ( ) . f z z z z − 则 在 不解析 0 ( ) 0. C f z dz z z   −  一般 z0  D C 2 i 积分值等于被积函数中的分子在使分母为零的点处 的函数值与 的乘积

第三章复变函数的积分C:I z - zo I= S由 f(z)的连续性SD0函数f(z)在 C 上 的值将随着S的缩小而逐渐接近于它在圆心Z处的值f(z)f(zo)d将接近于dz..dz(8 减小)Z-Zzo7..-Zof(zo)dz = f(z0)§e z-z)dz.N2元if（z0）D7 - z0结回束

结 束 返回 第三章 复变函数的积分 5 5  0 z D C 0 0 0 ( ) ( ) d d . ( ) C C f z f z z z z z z z  − −   将接近于 减小 0 0 ( ) d C f z z z z −  0 0 1 ( ) d C f z z z z = −   0 C z z ：| | − =  由 f (z)的连续性, 0 ( ) , f z C z  函数 在 上 的值将随 着 的缩小而逐渐接近于 它在圆心 处的值 0 = 2 ( ).  if z

恋彩数购租第三章柯西积分公式定理设f(z)在简单(或复合)闭曲线C上及所围区域D内解析,则对任意z。E D,皆有f(z)dz.f(zo)2元面7.-Z0证因为f(z)在z 连续D则 Vε>0,3S(ε) >0,当-zo<时，f(z)-f(z)<结回束

结 束 返回 第三章 复变函数的积分 6 6 二、柯西积分公式 z0  D C 证 ( ) , 因为 f z 在 z0 连续 则   0,  ( )  0, 0 ( ) , , f z C D z D  设 在简单(或复合)闭曲线 上及所围 区域 内解析 则对任意 定理 皆有 0 0 1 ( ) ( ) . 2 C f z f z dz  i z z = −  , 当 z − z0   时 ( ) ( ) . 0 f z − f z  

第三章复变函数的积分设以z为中心,半径为R(R<)的正向圆周K：z一zo=R全在C的内部f(z)f(z)则$d =ddzJk z- Zoz. zoDf(zo)f(z)-f(zo)Kdz+d=ddzKK7-Zzoz -Zof(z)-f(zo)= 2元if(z)+6dzKZ-Zof(z)-f(zo)f(z)- f(zo)?dz.ds = 2元8.<dsKZ-ZoKKRZ-Zo[证毕]结回束

结 束 返回 第三章 复变函数的积分 7 7 D C K , , ( ) : 0 0 全在 的内部 设以 为中心 半径为 的正向圆周 z z R C z R R K − =   0 R ( ) d C f z z z z − 则  0 ( ) d K f z z z z = −  0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) d d K K f z f z f z z z z z z z − = + − −   0 0 ( ) ( ) d K f z f z z z z − + −  0 0 ( ) ( ) d K f z f z s z z −  −  d 2π . K s R   =   0 0 ( ) ( ) d K f z f z z z z − −  [证毕] C1 C2 0 = 2 ( )  if z

第三章复变函数的积分关于柯西积分公式的说明：(1)函数f(z)在D内部任一点z的值f(z),可以由f(z)在D的边界C上的值通过积分来确定。(---这是解析函数的又一特征)结论：如果两个解析函数在区域的边界上处处相等，则它们在整个区域上也相等。(2)定理中要求z.在C内；若z.在C外，则f(z)dz = 0.2元;9c2-z,结运回束

结 束 返回 第三章 复变函数的积分 8 8 关于柯西积分公式的说明: (-这是解析函数的又一特征) 结论：如果两个解析函数在区域的边界上处处相 等，则它们在整个区域上也相等。 0 0 ( ) ( ), ( ) f z D z f z f z D C (1)函数 在 内部任一点 的值 可以由 在 的边界 上的值通过积分来确定。 0 1 ( ) 0. 2 C f z dz  i z z = − 

第三章复变函数的积分(3)解析函数可用复积分表示f()dsf(z)其中在C上，z在C内2元7(4)一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周CC : z = Zo +R.eio上的平均值。f(z)dz.f(zo + Rei)do.f(zo)2πi Jc z-Zo02元(5)通过柯西积分公式，可以得到dz =2元i f(z)结回束

结 束 返回 第三章 复变函数的积分 9 9 其中在C上，z在C内. 1 ( ) ( ) . 2 C f f z d i z     = −  (4) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周C 上的平均值. 0 : i C z z R e  = +  0 0 1 ( ) ( ) 2 C f z f z dz  i z z = −  2 0 0 1 ( ) . 2 i f z Re d     = +  (3) 解析函数可用复积分表示 0 0 ( ) 2 ( ). C f z dz i f z z z =  − 

第三章复变函数的积分三、典型例题e例1计算I=dz,其中C为元z+=2C(1) / z [=1; (2) / z[= 2.0x解：e在复平面上处处解析元A(1) 1 = 0 (?)(2) I = 2元ie 2= 2元i(-i) = 2元.结10回束

结 束 返回 第三章 复变函数的积分 1010 1 , 2 (1) | | 1; (2) | | 2. z C e I dz C z i z z  = + = = 例 计算  其中 为 (1) 0 (?). I = 2 (2) 2 i I i e   − = 三、典型例题 解： z e 在复平面上处处解析 C2 x y C1 O 2 i  − = − = 2 ( ) 2 .   i i