浙江科技大学：《复变函数与积分变换》课程教学课件（PPT讲稿）第二章 解析函数

浙江科技学院Zhejiang University of Science and Technology第二章解析函数结运回、束

结 束 返回 Zhejiang University of Science and Technology 浙江科技学院 1 第二章 解析函数

第二章解析函数第2页82.1解析函数的概念1复变函数的导数定义：i函数w= f(z),z E D; zo,Zo +△z E D△wf(zo + △z) - f(zo)极限 limlimz-0△zAz->0z存在,则就说f(z)在 zo可导，此极限值就称为f ()在zo的dw导数，记作 '(zo)或dzZ=Z0应该注意：上述定义中△z>O的方式是任意的。结oooaoe2返回束

结 束 返回 第二章 解析函数 第2页 2 §2.1 解析函数的概念 函数w = f (z),z D; 1 复变函数的导数 定义： z0 ,z0 + z  D =    → z w z 0 极限 lim z f z z f z z  +  −  → ( ) ( ) lim 0 0 0 存在, 则就说f (z)在 z0可导, 此极限值就称为f (z)在 z0 的 导数，记作 0 0 ( ) . z z dw f z dz =  或 应该注意：上述定义中  →z 0 的方式是任意的

第二章解析函数第3页容易证明：可导可微；可导 连续。如果,f(z)在区域D内处处可导,就说f(z)在D内可导例1 求f(z)=z2的导数。(z+△z)2-z2f(z+△z)-f(2) = limlim解：因为△z△z>0△z△z0= lim (2z+△z)= 2z.△z>0所以f(z)=2z.（即f(z)=z2在复平面处处可导。）结3返回束

结 束 返回 第二章 解析函数 第3页 3 容易证明： 可导  可微 ；可导  连续。 如果 f (z) 在区域D内处处可导, 就说 f (z) 在Ｄ内可导. 例1 求 f (z) = z 2的导数。 解: 因为 Δ 0 ( Δ ) ( ) lim z Δ f z z f z → z + − 2 2 Δ 0 ( Δ ) lim z Δ z z z → z + − = Δ 0 lim (2 Δ ) 2 . z z z z → = + = 所以 f '(z) = 2z .（即f (z) = z 2在复平面处处可导。）

第二章解析函数第4页求导法则与实函数同样的办法可得1)(c)=0,其中c为复常数2)(zn)=nzn-1,其中n为正整数3) [f(z)±g(z)]'=f'(z)g (2)4) [f(z)g(z)1=f(z)g(z)+f(z)g(z)1f(2)5)g(z) f'(z) - f(z)g'(z)l, g(z) ± 0-g(2)g(z)6) ([g(z)])'=f'(w)g(2), 其中w=g(z),11其中w= f(z)与z=p(w)是两7).f'(2) :p'(w)个互为反函数的单值函数,且β(w)≠0结oogO0返回束

结 束 返回 第二章 解析函数 第4页 4 求导法则 与实函数同样的办法可得: 1) (c)'=0, 其中c为复常数. 2) (z n )'=nzn−1 , 其中n为正整数. 3) [f(z)g(z)]'=f '(z)g'(z). 4) [f(z)g(z)]'=f '(z)g(z)+f(z)g'(z). [ ( ) ( ) ( ) ( )], ( ) 0 ( ) 1 ( ) ( ) 5) 2 =  −          g z f z f z g z g z g z g z f z , ( ) 0. , ( ) ( ) ( ) 1 7) ( )   = =   = w w f z z w w f z    个互为反函数的单值函数 且 其中 与 是两 6) {f[g(z)]}'=f '(w)g'(z), 其中w=g(z)

第二章解析函数第5页例2问f(z)=x +2yi是否可导?f(z+△z)- f(z)解：这里limAz-0z(x +△x)+2(y+ △y)i - x - 2yi= lim△z->0Ax + AyiAx + 2Ayilim-Az>0Ax + AyiAxAx + 2△yi:lim=1取△z= △x →>0, limAz-0-0 △xAx + Ayi结5ooe返回束

结 束 返回 第二章 解析函数 第5页 5 例2 问 f (z) = x +2yi 是否可导? 解： 这里 0 ( ) ( ) lim z f z z f z z  → +  −  0 ( ) 2( ) 2 limz x x y y i x yi x yi  → +  + +  − − =  +  0 2 lim z x yi x yi  →  +  =  +  取 =  → z x 0 , 0 0 2 lim lim 1. z z x yi x  →  → x yi x  +   = =  +  

第二章解析函数第6页取z=y→02△yAx + 2△yi=2= limlim△z->0△z→>0AyAx + Ayi所以f(z)=x + 2yi的导数不存在。（即f(z)=x+2yi在整个复平面处处不可导.)结返回束

结 束 返回 第二章 解析函数 第6页 6 取 =  → z i y 0 , 0 0 2 2 lim lim 2. z z x yi y  →  → x yi y  +   = =  +   所以 f (z) = x + 2yi 的导数不存在. （即 f (z) = x + 2yi 在整个复平面处处不可导.）

第二章解析函数第7页例3 讨论 w= f(z)=z2的可导性。w _ f(z+z)- f(2) = [z+ z/2 -[2l解：△z△zzAz(z+ △z)(z+ z) - z z= +z+zAzAz△w0z=0:(△z → 0)Az= f'(0) = 0结poooe返回束

结 束 返回 第二章 解析函数 第7页 7 例3 讨论 2 w = f (z) = z 的可导性。 =  +  − =   z f z z f z z w ( ) ( ) 解： z z z z  +  − 2 2 z z z z z z z  +  +  − = ( )( ) z z z z z   = +  + z = 0 : =  → 0 ( → 0)   z z z w  f (0) = 0

第二章解析函数第8页z±0:△w取Az = △x → 0IZ+ZMAz△w取z=讼y→0>Z-Zz所以w= f(z) = z在复平面上除原点外处处不可导。结8He返回束

结 束 返回 第二章 解析函数 第8页 8 z  0 : 取z = x → 0 z z z w → +    取z = iy → 0 z z z w → −    所以 2 w = f (z) = z 在复平面上除原点外处处不可导

第二章解析函数第9页2.解析函数的概念定义f(z)在z.解析：f(z)在z,的某邻域内可导z称为解析点，否则称为奇点。f(z)在区域D内解析：_f(z)在D内处处解析,函数在一点解析二在该点可导。反之不一定成立。在区域内：解析台可导eoooe返回束

结 束 返回 第二章 解析函数 第9页 9 2. 解析函数的概念 函数在一点解析  在该点可导。 反之不一定成立。 在区域内： 解析 可导.  定义 f (z)在z0 解析： 0 f z z ( )在 的某邻域内可导. z0 称为解析点， 否则称为奇点 。 f (z)在区域D内解析：f z D ( )在 内处处解析

第二章解析函数第10页例如 _f(z)= z2 在整个复平面上解析;W= f(z)=z仅在原点可导，故在整个复平面上不解析f(z)=x +2yi 在整个复平面上不解析。结10返回束

结 束 返回 第二章 解析函数 第10页 10 例如 f (z) = z 2 在整个复平面上解析； 2 w = f (z) = z 仅在原点可导， f (z) = x +2yi 在整个复平面上不解析。 故在整个复平面上不解析；