《高等代数与解析几何》课程教学资源（书籍教材）高等代数指导用书

基本概念章第一章基本概念内容提要及学习要求1.基本概念（1）有限集、无限集如果一个集合只含有有限个元素，则称这个集合为有限集；如果一个集合含有无穷多个元素，就称这个集合为无限集（2）子集A、B是两个集合，如果A的每一个元素都是B的元素，那么就称A是B的子集记作AcB.（3）集合的并设A、B是两个集合，由A的一切元素和B的一切元素组成的集合称为A、B的并.记为AUB.（4）集合的交由集合A、B的公共元素所组成的集合叫做A、B的交，记作ANB.（5）余集设A、B是两个集合，令A-B=xxEA，但xB），称为B在A中的余集，或者称为A与B的差（6）集合的积设A、B是两个集合，令AxB=((a,b)aeA,beB)，称为A与B的积（7）映射设A、B是两个集合，f是A到B的－个对应法则，如果对A中的每一个元素x，在对应法则f下都有B中唯一确定的元素y与之对应，则称f是A到B的一个映射；y叫做x在下的像，x叫做y在f下的一个原像；A的所有元素在f下的像组成的集合称为A在，下的像，或者叫做映射于的像，记为f(A)，即f(A)=(f(x)/VxEA)，显然f(A)B.（8）单射设f是A到B的一个映射，如果对于A中的任意两个不同的元素x和x2，都有f(x）f(x），那么称是一个单射.（9）满射设f是A到B的一个映射，如果f(A)=B，就称f是一个满射（10）双射（一一映射）f是A到B的一个映射，如果f既是单射，又是满射，就称于是一个双射（一一映射)（11）映射相等设和g都是A到B的一个映射，如果对VxEA，都有1

1 第 一 基本概念 章 基本概念 一、 内容提要及学习要求 1．基本概念 （1）有限集、无限集 如果一个集合只含有有限个元素，则称这个集合为有限 集；如果一个集合含有无穷多个元素，就称这个集合为无限集． （2）子集 A、B 是两个集合，如果 A 的每一个元素都是 B 的元素，那么就称 A 是 B 的子集．记作 A B Í ． （3）集合的并 设 A、B 是两个集合，由 A 的一切元素和 B 的一切元素组成的 集合称为 A、B 的并．记为 A B U ． （4）集合的交 由集合 A、B 的公共元素所组成的集合叫做 A、B 的交，记作 A B I ． （5）余集 设 A、B 是两个集合，令 A - B = Î {x x A, 但 x B Ï } ，称为 B 在 A 中的余集，或者称为 A 与 B 的差. （6） 集合的积 设 A、B 是两个集合，令 A´ B = {(a,b) , aÎ Î A b B} ，称为 A 与 B 的积. （7） 映射 设 A、B 是两个集合，f 是 A 到 B 的一个对应法则，如果对 A 中的 每一个元素 x，在对应法则 f 下都有 B 中唯一确定的元素 y 与之对应，则称 f 是 A 到 B 的一个映射；y 叫做 x 在 f 下的像，x 叫做 y 在 f 下的一个原像；A 的所有元素在 f 下的像组成的集合称为 A 在 f 下的像，或者叫做映射 f 的像，记为 f A( ) ，即 f (A) = { f ( ) x " Îx A} ，显然 f ( ) A B Í ． （8）单射 设 f 是 A 到 B 的一个映射，如果对于 A 中的任意两个不同的元素 x1和 x2，都有 1 2 f (x ) ¹ f x( ) ，那么称 f 是一个单射． （9）满射 设 f 是 A 到 B 的一个映射，如果 f (A)=B，就称 f 是一个满射． （10）双射（一一映射） f 是 A 到 B 的一个映射，如果 f 既是单射，又是满射， 就称 f 是一个双射（一一映射）． （11）映射相等 设 f 和 g 都是 A 到 B 的一个映射，如果对"x Î A ，都有 第 一 章

G高等代数学习指导书f(x)=g(x)，那么称映射f和g相等.（12）恒等映射设F是A到A的一个映射，如果对于VxEA，都有f(x)=x，那么就称了是集合A的恒等映射，记为jA（13）映射的合成设f是A到B的一个映射，g是B到C的一个映射，规定h是A到C的一个映射，使每一个xeA，有h(x)=g(f(x))，称h为与g的合成，记为gof.（14）逆映射设是A到B的一个映射，若存在B到A的映射g，使g°=j,。g=j，称映射g为f的逆映射（15）置换设A为有限集，A到A自身的双射叫做A的一个置换（16）代数运算设A是一个非空集合，把A×A到A的一个映射称为A的一个代数运算.（17）数域设K是复数集的一个非空子集，若K中含有不等于零的数，且K关于复数的加、减、乘、除法（除数不为零）封闭，即K中任意两个数的和、差、积、商都还在K中，则称K为数域，常见的数域有实数域、有理数域、复数域等，而全体整数的集合对除法不封闭，所以不是数域，2.主要结论（1）A到B的映射F是单射的充分必要条件是：对于Vx、xEA，如果f(x)=f(x2),就有x=x2（2）A到B的映射是满射的充分必要条件是：对VyeB，ExeA,使f(x)=y.（3）映射的乘法满足结合律，即若f：A→B，g:B→C，h:C→D是映射，则ho(goj)=(hog)of.（4）设f是A到B的映射，下列说法等价：（i）f有逆映射；（ii）f是双射：（i）存在映射g：B→A，使gof=j,fog=js.如果的逆映射存在，则逆映射唯一，记为f-"，且f。f-=jg，f-。f=jA（5）F是A到B的一个映射，则f。j=f，Jgf=.（6）最小数原理：自然数集的任意一个非空子集必含有一个最小数（7）数学归纳法原理：设有一个与自然数n有关的命题，如果（i）当n=1时，命题成立；2

G 高等代数学习指导书 2 f (x) = g x( ) ，那么称映射 f 和 g 相等． （12）恒等映射 设 f 是 A 到 A 的一个映射，如果对于"x Î A ，都有 f (x) = x， 那么就称 f 是集合 A 的恒等映射，记为 A j ． （13）映射的合成 设 f 是 A 到 B 的一个映射，g 是 B 到 C 的一个映射，规定 h 是 A 到 C 的一个映射，使每一个 x A Î ，有 h(x) = g( f x( )) ，称 h 为 f 与 g 的合成， 记为 g f o ． （14）逆映射 设 f 是 A 到 B 的一个映射，若存在 B 到 A 的映射 g，使 g f o , A B = = j f o g j ，则称映射 g 为 f 的逆映射． （15）置换 设 A 为有限集，A 到 A 自身的双射叫做 A 的一个置换． （16）代数运算 设 A 是一个非空集合，把 A A ´ 到 A 的一个映射称为 A 的一 个代数运算． （17）数域 设 K 是复数集的一个非空子集，若 K 中含有不等于零的数，且 K 关于复数的加、减、乘、除法（除数不为零）封闭，即 K 中任意两个数的和、差、 积、商都还在 K 中，则称 K 为数域．常见的数域有实数域、有理数域、复数域等， 而全体整数的集合对除法不封闭，所以不是数域． 2．主要结论 （1）A 到 B 的映射 f 是单射的充分必要条件是：对于 1 2 " Î x、 ， x A 如果 1 2 f (x ) = f x( )，就有 1 2 x x = ． （2）A 到 B 的映射 f 是满射的充分必要条件是：对"y Î B， ， $ Îx A 使 f ( ) x y = ． （3）映射的乘法满足结合律，即若 f：A ® B，g：B ® ® C， ：h C D 是映射， 则 h o(g o f ) = ( ) h o o g f ． （4）设 f 是 A 到 B 的映射，下列说法等价： （ⅰ）f 有逆映射； （ⅱ）f 是双射； （ⅲ）存在映射 g：B A ® ，使 A B g o o f = = j ，f g j ． 如果 f 的逆映射存在，则逆映射唯一，记为 1 f - ，且 1 1 B A f f j f f j - - o o = = ， ． （5）f 是 A 到 B 的一个映射，则 A B f o o j = = f，j f f ． （6）最小数原理：自然数集的任意一个非空子集必含有一个最小数． （7）数学归纳法原理：设有一个与自然数 n 有关的命题，如果 （ⅰ）当 n=1 时，命题成立；

第基本积念章（ii）假设n=k时命题成立，则n=k+1时命题也成立；那么这个命题对于一切自然数都成立（8）第二数学归纳法原理：设有一个与自然数n有关的命题，如果（i）当n-1时命题成立；（ii）假设命题对于一切小于k的自然数成立，则命题对于k也成立；那么命题对于一切自然数n来说都成立，（9）全体复数的集合，全体实数的集合，全体有理数的集合都是数域，分别叫复数域，实数域，有理数域.（10）任何数域都包含有理数域．即有理数域是最小的数域3.学习要求（1）集合是数学最基本的概念之一，应该理解集合、子集、集合的交、集合的并、集合的差、集合的积的含义：特别注意在A-B的定义里，并没有要求B是A的子集，AxB并不是新的东西，如取定一个坐标系后，平面上所有点的坐标的集合就是R与R的积：RxR=((x,y)x,yeR).（2）映射的概念必须理解好，要掌握好单射、满射、双射这三类重要的映射，还要能在具体问题中作出正确的判断，要注意并不是任意两个映射都是可以合成的，即使两个映射可以合成，也不满足交换律（3）数学归纳法是常用的一种证明方法，要熟练掌握（4）理解数域的概念，会判断一个数集是否是数域二、难点与重点1.重点：映射、单射、满射、双射的概念，数域的概念及数学归纳法，2.难点：单射、满射的判断，数学归纳法的应用三、例题与分析例1下列对应法则是否是映射，是单射还是满射？（1）设A是全体整数的集合，B是全体偶数的集合，规定：f:A→B,nH2n,VneA.（2）设A是全体复数的集合，B是非负实数的集合，规定：f:A-→B,xHx,VxEA.3

3 第 一 基本概念 章 （ⅱ）.假设n k = 时命题成立，则n k = +1时命题也成立；那么这个命题对于一 切自然数都成立． （8）第二数学归纳法原理：设有一个与自然数 n 有关的命题，如果 （ⅰ）当 n=1 时命题成立； （ⅱ）假设命题对于一切小于 k 的自然数成立，则命题对于 k 也成立；那么命 题对于一切自然数 n 来说都成立． （9）全体复数的集合，全体实数的集合，全体有理数的集合都是数域，分别叫 复数域，实数域，有理数域． （10）任何数域都包含有理数域．即有理数域是最小的数域． 3. 学习要求 （1）集合是数学最基本的概念之一，应该理解集合、子集、集合的交、集合的 并、集合的差、集合的积的含义．特别注意在 A-B 的定义里，并没有要求 B 是 A 的 子集．A×B 并不是新的东西，如取定一个坐标系后，平面上所有点的坐标的集合就 是 ¡ 与¡ 的积： ¡´ ¡ ¡ = Î {(x, y ) , x y } ． （2）映射的概念必须理解好，要掌握好单射、满射、双射这三类重要的映射， 还要能在具体问题中作出正确的判断．要注意并不是任意两个映射都是可以合成的， 即使两个映射可以合成，也不满足交换律． （3）数学归纳法是常用的一种证明方法，要熟练掌握． （4）理解数域的概念，会判断一个数集是否是数域． 二、 难点与重点 1. 重点： 映射、单射、满射、双射的概念，数域的概念及数学归纳法． 2. 难点： 单射、满射的判断，数学归纳法的应用． 三、 例题与分析 例 1 下列对应法则是否是映射，是单射还是满射？ （1）设 A 是全体整数的集合，B 是全体偶数的集合，规定： f：A ® B， ， n a 2n " În A ． （2）设 A 是全体复数的集合，B 是非负实数的集合，规定： f：A ® B，x a| | x ，" Îx A．

G高等代数学习指导书（3）设A是自然数的集合，规定：f：A→A，nH→n+l，VnEA.分析判断一个对应法则是否是映射，用映射的定义判断，集合A到B的对应法则f是否是映射关键看三条：（i）是否给A的每一个元素都规定了对应的像；（ii）f给A的每一个元素规定的像是否都在B中：（i）f给A的每一个元素的像是否唯一确定在（1）中，对每一个整数n，f都规定了对应的像2neB，每一个整数n的像是唯一确定的：所以（1）中的对应法则f是映射：同理可对（2）（3）作出判断：要判断一个映射是否是单射或满射，用单射或满射的定义或者充分必要条件判断。解（1）是一个映射，且对于不同的整数有不同的偶数与之对应，所以厂是单射；又对于每一个偶数总可以找到一个整数为原像，故也是满射.（2）f是映射，但对于A中的不同元素1和-1，在f下的像都是1，所以f不是单射；对于每一个非负实数，都可以我到原像，所以f是满射（3）f是映射，且是单射，非满射因为1eA没有原像例2设f：A→B，g:B→C是映射，证明：（1）如果gf是单射，那么f也是单射；（2）如果g°f是满射，那么g也是满射；（3）如果g、f都是双射，那么g也是双射，且（gf)-l=f-gl分析，用单射、满射的充分必要条件及双射的定义证明证明（1）任取x、xzEA,如果f(x)=f(x)，那么g(f(x)=g(f(）即(go)(x）=（gof)x），而gof是单射，所以x=x，因此，了是单射（2任取ceC，则由gf是满射知，存在aeA,使gf(a)=c，即g(f(a)=c，令f(a)=b,则g(b)=c，故g是A到B的满射.（3）先证g。f是单射．任取x、x,EA，若gf()=gf(xz)即g(f(x)=g(f(xz))，因g是双射，故g是单射，从而有f(x)=f(x)，而f也是单射，故有x=x，所以gof是单射；再证gof是满射．任取ceC，因g是满射，故存在beB，使g(b)=c，而f也是满射，故存在aeA，使f(a)=b，于是gf(a)=g(f(a))=g(b)=c，所以gof也是满射。因此gof是双射因(gof)o(f-log)=go(fof-")og=gojog=gog=jc,(f-lg")o(gof)=f-lo(g-"og)of=f-l。jsof=f-。f =ja,4

G 高等代数学习指导书 4 （3）设 A 是自然数的集合，规定： f：A ® A， ， n a n +1 " În A ． 分析 判断一个对应法则是否是映射，用映射的定义判断，集合 A 到 B 的对应 法则 f 是否是映射关键看三条： （ⅰ）f 是否给 A 的每一个元素都规定了对应的像； （ⅱ）f 给 A 的每一个元素规定的像是否都在 B 中； （ⅲ）f 给 A 的每一个元素的像是否唯一确定． 在（1）中，对每一个整数 n，f 都规定了对应的像2n B Î ，每一个整数 n 的像 是唯一确定的．所以（1）中的对应法则 f 是映射；同理可对（2）、（3）作出判断．要 判断一个映射是否是单射或满射，用单射或满射的定义或者充分必要条件判断． 解 （1）f 是一个映射，且对于不同的整数有不同的偶数与之对应，所以 f 是 单射；又对于每一个偶数总可以找到一个整数为原像，故 f 也是满射． （2）f 是映射，但对于 A 中的不同元素 1 和－1，在 f 下的像都是 1，所以 f 不 是单射；对于每一个非负实数，都可以找到原像，所以 f 是满射． （3）f 是映射，且是单射，非满射；因为 1Î A 没有原像． 例 2 设 f：A ® ® B， ：g B C 是映射，证明： （1）如果 g f o 是单射，那么 f 也是单射； （2）如果 g f o 是满射，那么 g 也是满射； （3）如果 g、f 都是双射，那么 g f o 也是双射，且 1 1 1 g f f g - - - （ ）o o = ． 分析 用单射、满射的充分必要条件及双射的定义证明． 证明 （1）任取 1 2 x、 ， x A Î 如果 1 2 f (x ) = f x( ) ，那么 1 2 g( f (x )) = g( f x( )) 即 1 (g o f x )( ) = 2 (g o f x )( ) ，而 g f o 是单射，所以 1 2 x x = ，因此，f 是单射． （2）任取c C Î ，则由 g f o 是满射知，存在a A Î ，使 g o f ( ) a c = ，即 g( f (a c )) = ， 令 f ( ) a b = ，则 g( ) b c = ，故 g 是 A 到 B 的满射． （3）先证 g f o 是单射．任取 1 2 1 2 x、x Î = A， ， 若g o o f (x ) g f x( ) 即 1 g( f x( )) = 2 g( f x( )) ，因 g 是双射，故 g 是单射，从而有 1 2 f (x ) = f x( ) ，而 f 也是单射，故有 1 2 x x = ，所以 g f o 是单射；再证 g f o 是满射．任取c C Î ，因 g 是满射，故存在 bÎ = B，使 g( ) b c ，而 f 也是满射，故存在 aÎ = A，使 f ( ) a b ，于是 g o f a( ) = g( f (a)) = = g( ) b c ，所以 g f o 也是满射．因此 g f o 是双射． 因 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) B C g f f g g f f g g j g g g j - - - - - o o o = o o o = o o o = = ， 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) B A f g g f f g g f f j f f f j - - - - - - o o o = o o o = o o o = =

基本概念所以(gof)- = f-l。g-l例3下列数集是否是数域？若是，则给出证明，若不是，则给出反例(1) 4=(a+bv3ia, beQ) ;(2) B=(a+bilaeQ,be R)解（1）A是数域，这是因为存在非零数1=1+0V3ieA，且对任意的a+bV3i,a,+b,V3ieA,其中a，a,,b,b,eQ，因Q对加、减、乘、除法均封闭，所以，(a +b /3i)±(a, +b, V3i)=(a, ±a,)+ (b, ±b,)3ie A ,(a+b,3i)(a,+bV3i)=(aa-3bb,)+(ab +a,b)/3ieA,当α+bV3i*0时，有a+3b0，+eQ，==Q，于是a,2 +3b,2a,+3b,a, +b3ii_aa+3bbab-ab3ieAaz +b,/3i-az +3ba+3b2所以A是数域，（2）B不是数域，例如，取i=0+lieB,2i=0+2ieB，但ix/2igB，即B对乘法不封闭所以B不是数域.例4证明Fibonacci序列α,=1,a,=2,a,=a-+an-2”n=3,4…的通项公式为-()-())证明直接验算，可知n=1时，( (F)(-)2结论成立：n=2时，1 (1+ V5_ 1- V5)(3+ V53-V5()-L2222结论成立假设n<k时结论成立．现证n=k时结论成立．此时，5

5 第 一 基本概念 章 所以 1 1 1 ( ) g f f g - - - o o = ． 例 3 下列数集是否是数域？若是，则给出证明，若不是，则给出反例． (1) A = {a + Î b 3 i a b , ¤} ； (2) B = {a + bi , a b Î Î ¤ ¡} ． 解（1）A 是数域．这是因为存在非零数1=1+ Î 0 3i A，且对任意的 1 1 2 2 a + b 3i， ， a + Î b A 3i 1 2 1 2 其中a ,a , , b b Τ ¤ ，因 对 加、减、乘、除法均封闭，所以， 1 1 2 2 1 2 1 2 (a + b 3i) ± (a + b 3i) = (a ± a ) + (b ± Î b A ) 3i ， 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 (a + b 3i)(a + b 3i) = (a a - 3b b ) + (a b + Î a b A ) 3i ， 当 a b 2 2 + ¹ 3i 0 时，有 2 2 2 2 a b + ¹ 3 0 ， 1 2 1 2 2 2 2 2 3 3 a a b b a b + Î + ¤， 2 1 1 2 2 2 2 2 3 a b a b a b - Î + ¤，于是 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3i 3 3i 3i 3 3 a b a a b b a b a b A a b a b a b + + - = + Î + + + ， 所以 A 是数域． （2）B 不是数域．例如，取i = +0 1iÎ B B , 2i = 0 + Î 2i ，但i ´ Ï 2i B ，即 B 对乘法不封闭．所以 B 不是数域． 例 4 证明 Fibonacci 序列 1 2 1 2 1 2 3 4 n n n a a a a a n - - = ， = ， = + = ， ，L的通项公式为 1 1 1 1 5 1 5 5 2 2 n n n a + + + - = - æ ö æ ö æ ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø . 证明 直接验算，可知n = 1时， 2 2 1 1 5 1 5 1 3 5 3 5 1 5 5 2 2 2 2 + - + - - = - = æ ö æ ö æ ö æ ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø è ø ， 结论成立； n = 2 时， 3 3 1 1 5 1 5 1 1 5 1 5 3 5 3 5 1 2 5 5 2 2 2 2 2 2 + - + - + - - = - - + = æ ö æ ö æ ö æ öæ ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ è ø è ø è øè ø è ø ， 结论成立． 假设n k < 时结论成立．现证n k = 时结论成立．此时

G高等代数学习指导书(）()--a, =ar-t()-() (+)215即结论成立，于是，结论对任意的自然数成立四、习题1. 设 A=(x|xeR,-1≤x≤1),B=(xxeR,x≥0). 写出AnB, AUB, A-B.2．规定：f：（-00,+0）→[0,+00），f：xHx|+1，间了是不是映射，是单射还是满射？3．规定：f:(-00,0]→[0,+00），f：xHx+1，间f是不是映射，是单射还是满射？4. 规定：f:(-0,0]→[1,+0），f：xHx|+1，间了是不是映射，是单射还是满射？5.设f:A→B，g:B→C是映射，试证：（i）如果f、g都是单射，则g°也是单射；（ii）如果f、g都是满射，则g。f也是满射6.判断下列数集是否是数域，并加以证明(i) A=(a+b/2]a, beQ);(ii) B=(a+b)/2]a, beQ)7.用数学归纳法证明：含有n个元素的一切子集的个数等于2”五、习题参考答案1. ANB=(xxeR,0≤x≤1), AUB=[x|xeR,-1≤x) A-B=(x|xe R,-1≤x<0)2.是映射，非单射非满射.3.是映射，是单射，非满射4.是映射，是单射，满射6

G 高等代数学习指导书 6 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 5 1 5 1 1 5 1 5 5 5 2 2 2 2 1 1 5 1 5 1 5 1 5 1 1 5 2 2 2 2 1 1 5 1 5 5 2 2 k k k k k k k k k k k a a a - - - - - - + + + - + - = + = - + - + + - - = + - + + - = - æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø è ø è ø è ø æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø è ø è ø æ ö æ ö æ ö çç ÷ ç ÷ ç è ø è ø è ø ÷, ÷ 即结论成立．于是，结论对任意的自然数成立． 四、 习题 1. 设 A = {x x x Ρ,-1 1 £ £ } ，B = {x x x Î ³ ¡, 0} ．写出 A I U B，A B，A B - ． 2. 规定： f：(-¥， ） + ¥ ®[0，+ ¥ + ）， ：f x x a| | 1，问 f 是不是映射，是单射 还是满射？ 3. 规定： f： ， (-¥ 0] ®[0，+ ¥ + ）， ：f x x a| | 1，问 f 是不是映射，是单射还是 满射？ 4. 规定： f： ， (-¥ 0] ®[1，+ ¥ + ）， ：f x x a| | 1，问 f 是不是映射，是单射还是 满射？ 5. 设 f：A ® ® B， ：g B C 是映射，试证： （ⅰ）如果 f g 、 都是单射，则 g f o 也是单射； （ⅱ）如果 f g 、 都是满射，则 g f o 也是满射． 6. 判断下列数集是否是数域，并加以证明． （ⅰ） A = {a + Î b 2 a b ， ¤} ; （ⅱ） { } 3 B = a + Î b 2 a b ， ¤ ． 7. 用数学归纳法证明：含有 n 个元素的一切子集的个数等于2 n ． 五、 习题参考答案 1. AI ¡ B = {x x x Î ,0 1 £ £ } ， AU ¡ B = {x x x Î , 1- £ } ， A - B = {x x x Ρ,-1 0 £ < } ． 2. 是映射，非单射非满射． 3. 是映射，是单射，非满射． 4. 是映射，是单射，满射．

基本积名章5.（i）对任意a,beA，如果gf(a)=gof(b)，即g(f(a))=g(f(b))，因g是单射，故f(a)=f(b)，又因f也是单射，所以a=b.从而g。f是单射（ii）因f是满射，所以f(A)=B，又因为g是满射，所以g(B)=g(f(A))=(gof(A)=C,所以g也是满射.6.A是数域，证明方法类似例题3，B不是数域例如,取/2B，但/2×/2gB，即B对乘法不封闭.7.对n进行归纳．设A,=（a，a"，a），当n=1时，它有两个子集，即空集和A，故结论成立.假设n=k时命题成立，下面证明n=k+1时命题也成立.A+={a，az"，aka+)，将A+的子集分为两类，一类为不含a的子集，此类子集的个数与A的子集个数相同，为2*个；另一类为含αk+的子集，这类子集的全体相当于将ak添加到A的子集中，故也为2*个，所以A+的所有子集的个数为2*+2°=2**，故命题成立.六、思考题参考答案S1.11.对于任意的xEAnB，依定义，xEA，即ANBCA、反之，对于任意的xEA，由于ACB，所以xEB，即xEA且xEB，从而xEANB，即ACANB所以AOB=A，同样地，可以证明AUB=B之下，由于×≥0时，0≤～<1，所2. （1)在对应法则于:A→Bx1+x1+x以对于A的一个非负数x，存在B中唯一的一个数一与之对应，所以于是A到B1 + x的一个映射,（2）首先，证明映射f：A→B是满射：事实上，对于B中任意的一个数y,0≤y<1,取y1-yx=，二，那么x≥0，即xEA，且f(x)==y，这就是说，1+x1-yy1+-1-yf:A→B是满射7

7 第 一 基本概念 章 5. （ⅰ）对任意a, b A Î ，如果 g o o f (a) = g f b( ) ，即 g( f (a)) = g( f b( )) ，因 g 是单射，故 f (a) = f b( )，又因 f 也是单射，所以a b = ．从而 g f o 是单射． （ⅱ）因 f 是满射，所以 f ( ) A B = ，又因为 g 是满射，所以 g(B) = g( f (A)) = = (g o f )( ) A C ， 所以 g f o 也是满射． 6. A 是数域，证明方法类似例题 3，B 不是数域.例如,取 3 3 3 2 Î B B ，但 2 2 ´ Ï ， 即 B 对乘法不封闭． 7. 对 n 进行归纳．设 An n = {a1 2 ，a a ， ，L } ，当n =1时，它有两个子集，即空集 和 A1，故结论成立． 假设n k = 时命题成立，下面证明n k = +1时命题也成立． Ak +1 = {a1，a2， ，L a a k k , +1}，将 Ak +1 的子集分为两类，一类为不含 k 1 a + 的子集，此 类子集的个数与 Ak 的子集个数相同，为2 k 个；另一类为含ak +1的子集，这类子集的 全体相当于将 ak +1添加到 Ak 的子集中，故也为 2 k 个，所以 Ak +1 的所有子集的个数为 1 2 2 2 k k k + + = ，故命题成立． 六、 思考题参考答案 §1.1 1. 对于任意的 xÎ A B I ，依定义， x A Î ，即 A I B A Í . 反之，对于任 意的 x A Î ，由于 A B Í ，所以 x B Î ，即 x A Î 且 x B Î ，从而 xÎ A B I ，即 A Í A B I . 所以 AI B A = . 同样地，可以证明 AU B B = . 2. （1）在对应法则 : ; 1 x f A B x x ® + a 之下，由于 x ³ 0时，0 1, 1 x x £ < + 所 以对于 A 的一个非负数 x，存在 B 中唯一的一个数 1 x + x 与之对应，所以 f 是 A 到 B 的一个映射. （2）首先，证明映射 f : A B ® 是满射. 事实上，对于 B 中任意的一个数 y y ，0 £ <1, 取 , 1 y x y = - 那么 x ³ 0 ，即 x A Î ，且 1 ( ) , 1 1 1 y x y f x y x y y - = = = + + - 这就是说， f : A B ® 是满射

G高等代数学习指导书其次，证明映射f：A→B是单射.事实上，设x、xEA，而f(x）=f(x），我们有—=～一，即x=x，这就是说，了：4→B是单射；1+x1+x（3）由于映射于:4→B是满射，我们可以令g:B→A，×，二从而，1-xxI+X-=x= ji(x), 即对于A中任意的一个数x，有g。f(x)=g(f(x）)=g1-xX1+ xgf=ja，另-方面，可以得到fog=jn.所以，g=f-l3.由于存在x=0，使f og(0)= f(g(0))= f(1)=e,g f(0)= g(f(0))= g(1)= 2,这说明，f。g与g。f在x=0时不相等，所以一般来说它们都是不相等的4.（1）不是，（2）是，（3）不是S1.21.用数学归纳法原理证明.当n=1时，结论显然成立，假设n=k时，结论成立，而当n=k+1时，有(1+ h)*+ = (1+h)(1+h)*≥ (1+h)(1 +kh)=1+(k+1)h+kh2 >1+(k+1)h可见，当n=k+1时，结论也成立根据数学归纳法原理，就有：对于正整数h和任意自然数n，（1+h)"≥1+nh成立.2.用第二数学归纳法原理.首先，直接计算，有α=α=1，即命题对n=0、1成立其次，假设命题对一切小于k(k≥2)的自然数成立，那么ak-1,ak-2均为整数考虑n=k的情形：设5则+=1,=-1.注意到元22+1-, +=(2 +2)(2"-2")-(22,(2"-1-"-)我们有：aa+=a,+a-1,n≥1.由归纳假设，我们有ak=ak-+ak-2也是整数根据第二数学归纳法原理知，对一切自然数n，a恒为整数8

G 高等代数学习指导书 8 其次，证明映射 f : A B ® 是单射. 事实上，设 1 2 x、x A Î ，而 1 2 f (x ) = f x( ) . 我 们有 1 2 1 2 1 1 x x x x = + + ，即 1 2 x x = ，这就是说， f : A B ® 是单射; （3）由于映射 f : A B ® 是满射，我们可以令 : , . 1 x g B A x x ® - a 从而， 对于A中任意的一个数x，有 1 ( ) ( ( )) ( ), 1 1 1 A x x x g f x g f x g x j x x x x æ ö + = = ç ÷ = = = è ø + - + o 即 A g o f j = . 另一方面，可以得到 B f o g j = . 所以， 1 g f - = . 3. 由于存在 x = 0 ，使 (0) ( (0)) (1) e, (0) ( (0)) (1) 2, f g f g f g f g f g = = = = = = o o 这说明， f go 与 g f o 在 x = 0时不相等，所以一般来说它们都是不相等的. 4.（1）不是，（2）是，（3）不是. §1.2 1. 用数学归纳法原理证明. 当 n = 1时，结论显然成立. 假设n k = 时，结论成立. 而当n k = +1时，有 1 2 (1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 1 ( 1) 1 ( 1) . k k h h h h kh k h kh k h + + = + + ³ + + = + + + > + + 可见，当n k = +1时，结论也成立. 根据数学归纳法原理，就有：对于正整数 h 和任意自然数 n，(1 ) 1 n + h ³ + nh 成立. 2. 用第二数学归纳法原理. 首先，直接计算，有 0 1 a a = = 1，即命题对n = 0 1 、 成立. 其次，假设命题对一切小于k k( ³ 2) 的自然数成立，那么 1 2 , k k a a - - 均为整数. 考虑n k = 的情形： 设 1 2 1 5 1 5 , 2 2 l l + - = = ，则 1 2 1 1 2 l + l = , l l = -1.注意到 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( )( ) ( )( ). n n n n n n l l l l l l l l l l + + - - - = + - - - 我们有： 1 1 , 1 n n n a aan + - = + ³ . 由归纳假设，我们有 k k k 1 2 a a a = + - - 也是整数. 根据第二数学归纳法原理知，对一切自然数 n， n a 恒为整数

第基本积名卓S1.31.是的。因为S是复数集的一个子集，其中包含一个不等于零的数（比如说x），那么1==eS,0=x-xeS依定义，S一定是一个数域x2.令Q(i)=(a+bi|a,b=Q)首先，0=0+0ieQ(i),1=1+0ieQ(i)其次，对于Q(i)中的任意两个数来说，(a+bi)±(c+di) =(a±c)+(b±d)i e Q(i),并且 (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,因为a、b、c、d都是有理数，所以ac-bd,ad+bc都是有理数，这就是说，(a+bi)(c+di)还在Q(i)内，又设a+bi±0，于是a-bi±0，因此，c+di_(c+di)(a-bi)_ac+bd,ad-bc;a+bi(a+bi)(abi)a2+ba+b2因为a、b、c、d是有理数，所以ac+bd,ad-bc也是有理数，这就证明了a2+b2α2 +b?c+diE Q(i)a+bi综上所述，Q(i)是一个数域3.（a)设W=（奇数）由于“奇数+奇数=偶数”，这就是说，W对加法不封闭，所以W不是数域(b）设W,=nV2nez)由于nV2.n,V2=2n,n，这就是说，W,对乘法不封闭，所以W，不是数域9

9 第 一 基本概念 章 §1.3 1. 是的. 因为 S 是复数集的一个子集，其中包含一个不等于零的数（比 如说 x），那么1 , 0 . x S x x S x = Î = - Î 依定义，S 一定是一个数域. 2．令¤ ¤ (i) ={a + Î bi | a b, } . 首先，0 = 0 + 0iΤ ¤ (i), 1=1+ Î 0i (i). 其次，对于¤(i) 中的任意两个数来说， (a + bi) ± + (c di) = (a ± c) + (b d ± Î)i ¤(i), 并且(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + + (ad bc)i， 因为 a b 、 、 、c d 都是有理数，所以 ac - + bd, ad bc 都是有理数，这就是说， (a + + bi)(c di) 还在¤(i) 内. 又设 a b + ¹i 0，于是a b - ¹i 0，因此， 2 2 2 2 i ( i)( i) i. i ( i)( i) c d c d a b ac bd ad bc a b a b a b a b a b + + - + - = = + + + - + + 因为 a b 、 、 、c d 是有理数，所以 2 2 2 2 , ac bd ad bc a b a b + - + + 也是有理数，这就证明了 i (i). i c d a b + Î + ¤ 综上所述，¤(i) 是一个数域. 3. (a) 设W1 = {奇数}. 由于“奇数+奇数=偶数”，这就是说，W1 对加法不封闭， 所以W1 不是数域. (b) 设W2 = Î {n n 2 ¢} . 由于 1 2 1 2 n 2 × = n 2 2n n ，这就是说，W2 对乘法不封闭， 所以W2 不是数域

G高等代数学习指导书第一章多项式、内容提要及学习要求1.基本概念（1）多项式设K是一个数域，x是一个文字，n是一个非负整数，a,",aeK，形如a,x"+a."-+…+a,x+a的表达式称为数域k上的一个关于文字x的一元多项式（简称多项式），通常用f(x),g(x)..表示.其中a,x称为i次项a称为i次项系数：如果a.￥0，则称a.x"为首项，a.称为首项系数，n称为多项式的次数，多项式f(x)的次数记为degf(x）或者degf；首项系数为1的多项式称为首一多项式；系数全为0的多项式称为零多项式，记为0，零多项式没有次数．数域K上的所有多项式的集合记为K[x]（2）多项式相等K[x)中的两个多项式f(x)、g(x)，如果它们各项的系数相等，则称f(x)与g(x)相等，记为f(x)=g(x)（3）多项式的运算设f(x)=a,x"+a-}- +.+ax+aog(x)=b,x"+b.}*"+.+bx+b是两个多项式，规定：加法f(x)+g(x)=(a+b,)x"+(an-+ +bu--)x*-+..+(a, +b)x+(a+b).数乘kf(x)=ka,x"+kau--x"-1+.+kax+kag，其中keK.乘法设f(x)=a,x"+a--+"- +.+x+ ao g(x)=a.*"+am-+""+..+ax+ao定义 f(x)g(x)=C+m+ +Ch+m-1+*m-1 +.*+C,x+Co,其中c.=a,b+ab+.+ab.+ab.,k=0,1,2,,n+m.(4)整除设f(x)、g(x)eK[x]，如果存在h(x)eK[x]，使g(x)=f(x)h(x),则称f(x)整除g(x)，记为f(x)g(x)，此时f(x)称为g(x)的因式.VceK,c￥0，cf(x)都是f(x)的因式，称为f(x)的平凡因式(5）公因式设f(x)、g(x)、d(x)eK[x)]，如果d(x)f(x)，d(x)g(x)，那么就称d(x)为f(x)和g(x)的一个公因式10

高等代数学习指导书 10 G 多项式 一、内容提要及学习要求 1．基本概念 （1）多项式 设 K 是一个数域，x 是一个文字，n 是一个非负整数， 0 1 , , a a，L a K n Î ，形如 1 1 1 0 n n n n a x a x a x a - + - +L+ + 的表达式称为数域 K 上的一个关于 文字 x 的一元多项式（简称多项式），通常用 f (x), g x( )，L表示．其中 i a xi 称为 i 次项， ai称为 i 次项系数；如果an ¹ 0，则称 n a xn 为首项，an 称为首项系数，n 称为多项式 的次数，多项式 f x( ) 的次数记为deg f x( ) 或者deg f ；首项系数为 1 的多项式称为 首一多项式；系数全为 0 的多项式称为零多项式，记为 0，零多项式没有次数．数 域 K 上的所有多项式的集合记为 K x[ ] ． （2）多项式相等 K x[ ] 中的两个多项式 f (x)、g x( ) ，如果它们各项的系数相 等，则称 f x( ) 与 g x( ) 相等，记为 f (x) = g x( ) ． （3）多项式的运算 设 1 1 1 0 ( ) n n n n f x a x a x a x a - = + - +L+ + ， 1 1 1 0 ( ) n n n n g x b x b x b x b - = + - +L+ + 是两个 多项式，规定： 加法 1 1 1 1 1 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n f x g x a b x a b x a b x a b - + = + + - - + +L+ + + + . 数乘 1 1 1 0 ( ) n n n n kf x ka x ka x ka x ka - = + - +L+ + ，其中k K Î ． 乘法 设 1 1 1 0 ( ) n n n n f x a x a x a x a - = + - +L+ + ， 1 1 1 0 ( ) m m m m g x a x a x a x a - = + - +L+ + ， 定义 1 1 1 0 ( ) ( ) n m n m n m n m f x g x c x c x c x c + + - = + + + - +L+ + ， 其中 k k 0 k 1 1 1 k k 1 0 c a b a b a b a b = + - - +L+ + ， k = + 0， ， 1, 2 L, n m ． （4）整除 设 f (x)、g(x)Î K x[ ] ，如果存在h(x)Î K x[ ]，使 g(x) = f ()() x h x ， 则称 f (x) 整除 g x( ) ，记为 f (x) g x( ) ，此时 f x( ) 称为 g x( ) 的因式．"c Î ¹ K c, 0 ， cf x( ) 都是 f x( ) 的因式，称为 f x( ) 的平凡因式． （5）公因式 设 f (x)、 、 g(x) d(x)Î K x[ ]，如果d(x) f (x)，d(x) g x( ) ，那么就 称 d(x)为 和 f (x) g x( ) 的一个公因式． 第 二 章