浙江科技大学：《复变函数与积分变换》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 复变函数的积分（习题课）

第三章复变函数的积分复变函数第三章复变函数的积分一、重点与难点二、内容提要三、典型例题结束回D0

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第三章复变函数的积分一、重点与难点重点：1.复积分的基本定理；2.柯西积分公式与高阶导数公式难点：复合闭路定理与复积分的计算结回DO束

结 束 返回 第三章 复变函数的积分 一、重点与难点 重点： 难点： 1. 复积分的基本定理； 2. 柯西积分公式与高阶导数公式 复合闭路定理与复积分的计算

第三章复变函数的积分二、内容提要积分存在的有向曲线复积分条件及计算积分的性质柯西积分定理原函数柯西积分复合闭路公式定理的定义高阶导数公式结回束

结 束 返回 第三章 复变函数的积分 3 二、内容提要 有向曲线 复积分 积分存在的 条件及计算 积分的性质 柯西积分定理 原函数 的定义 复合闭路 定 理 柯西积分 公 式 高阶导数公式

第三章复变函数的积分1.有向曲线设C为平面上给定的一条光滑（或按段光滑）曲线，如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向（或正向），那未我们就把C理解为带有方向的曲线，称为有向曲线如果A到B作为曲线C的正向,B那么B到A就是曲线C的负向记为C-.+r0结回束

结 束 返回 第三章 复变函数的积分 4 设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑 )曲线, 如果选定C的两个可能方向中的一个作 为正方向(或正向), 那末我们就把C理解为带 有方向的曲线, 称为有向曲线. x y o A 如果A到B作为曲线C的正向 B , 那么B到A就是曲线C的负向, . − 记为C 1.有向曲线

第三章复变函数的积分2.积分的定义设函数w=f(z)定义在区域D内,C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线把曲线C任意分成n个弧段，设分点为A = Zo, Z1, *"",Zk-1, Zk,".", Zn = B,ByC在每个弧段k-1zkZn-1St(k = 1,2,..,n)ZkSZk-1上任意取一点5k12Ax0结回DO束

结 束 返回 第三章 复变函数的积分 5 2.积分的定义 , , , , , , , , , ( ) , A z0 z1 z 1 z z B C n D A B w f z D C = k k n = =  −  把曲线 任意分成 个弧段 设分点为 内起点为 终点为 的一条光滑的有向曲线 设函数 定义在区域 内 为区域 o x y A B n−1 z k z k−1 z 2 z 1 z k  C 1  2 , ( 1,2, , ) 1 k k k k n z z 上任意取一点 在每个弧段 =  −

第三章复变函数的积分1作和式 S, =f(S)(z-zk-1)=Zf(Sk)△zkk=1k=1这里△z= Zk-Zk-1, △sk= zZk-1z,的长度,记S=max[△s}，当n无限增加且S→0时,10k=1x0结回DO束

结 束 返回 第三章 复变函数的积分 6 ( ) ( ) ( ) , 1 1 1 k n k k n k n k k k S =  f  z − z =  f z = = 作和式  −  o x y A B n−1 z k z k−1 z 2 z 1 z k  C 1  2 max{ }, 1 k k n = s   记 , , 这里zk = zk − zk−1 sk = zk−1 zk的长度 当n无限增加且 → 0时, ( ) , , , 记 为 函 数 沿曲线 的积分 一极限 那么称这极限值为 如果不论对 的分法及 的取法如何 有 唯 f z C C  k Sn ( )d lim ( ) . 1 k n k k C n f z z =  f z  = → 

第三章复变函数的积分3.积分存在的条件及计算（1）化成线积分设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)沿逐段光滑的曲线C连续,则积分(f(z)dz 存在,且f(z)dz = (u(x, y)dx -v(x, y)dy +if v(x,y)dx + u(x, y)dy.（2）用参数方程将积分化成定积分设简单光滑曲线C的参数方程是(a≤t≤b)z = z(t) = x(t)+iy(t)则 Jc f(z)dz = f' f[z(t) z(t)dt.结运回H束

结 束 返回 第三章 复变函数的积分 7 3.积分存在的条件及计算 （1）化成线积分 连续 则积分 存在 且 设 沿逐段光滑的曲线 , ( )d , ( ) ( , ) ( , )  = + C f z z f z u x y iv x y C    = − + + C C C f (z)dz u(x, y)dx v(x, y)dy i v(x, y)dx u(x, y)dy. （2）用参数方程将积分化成定积分 设简单光滑曲线C 的参数方程是 z = z(t) = x(t) + iy(t) (a  t  b) f (z)dz f[z(t)] z (t)dt. C b a =   则  

第三章复变函数的积分4.积分的性质设 f(z),g(z)沿曲线C连续(1) J f(z)dz = -J f(z)dz;(2) Jkf(z)dz=kJ。f(z)dz; (k为常数)(3) J[f(z) ± g(z)]dz = Jc f(z)dz± Jμg(z)dz;(4)设C由Ci,C,连结而成,则Jef(z)dz = Jc. f(z)dz + Jc. f(z)dz;(5)设曲线C的长度为L,函数 f(z)在C上满足[c f(z)dz ≤ J./f(z)ds ≤ ML.f(z)≤ M,那末结束00运回

结 束 返回 第三章 复变函数的积分 8 4. 积分的性质 (1) ( )d ( )d ;  = − − C C f z z f z z (2) kf (z)dz k f (z)dz; (k为常数) C C = (3) [ ( ) ( )]d ( )d ( )d ;     =  C C C f z g z z f z z g z z 设 f (z), g(z)沿曲线C连续.    = + C C C f z z f z z f z z C C C 1 2 ( )d ( )d ( )d ; (4) , , 设 由 1 2连结而成 则      C C f z M f z z f z s ML C L f z C ( ) , ( )d ( )d . (5) , ( ) 那末 设曲线 的长度为 函数 在 上满足

第三章复变函数的积分5.柯西一古萨基本定理(柯西积分定理)如果函数,f(z)在单连通域B内处处解析那末函数f(z)沿B内的任何一条封闭曲线C的积分为零：f. f(z)dz = 0.定理1如果函数f(z)在单连通域B内处处解析，那末积分f(z)dz与连结起点及终点的路线C无关结回束

结 束 返回 第三章 复变函数的积分 9 5. 柯西－古萨基本定理(柯西积分定理) . , ( )d ( ) 线 无 关 析 那末积分 与连结起点及终点的路 定理1 如果函数 在单连通域 内处处解 C f z z f z B C : ( )d 0. ( ) ( ) ,  = c f z z f z B C f z B 的积分为零 那末函数 沿 内的任何一条封闭曲线 如果函数 在单连通域 内处处解析

第三章复变函数的积分由定理得f(z)dz = ( f(z)dz = [" f(z)dzC1BBZ110C2定理2如果函数 f(z)在单连通域B内处处解析，那末函数 F(z)=f(S)d必为B内的一个解析函数,并且 F'(z)= f(z)结回束

结 束 返回 第三章 复变函数的积分 10 , ( ) ( ). , ( ) ( )d ( ) 0 F z f z F z f B f z B z z  = =  解析函数 并且 析 那末函数 必为 内的一个 如果函数 在单连通域 内处处解   定理2 由定理得   = 1 2 ( )d ( )d C C f z z f z z  = 1 0 ( )d z z f z z B B  0 z 1 z  0 z 1 z C1 C2 C1 C2