陕西师范大学：《复变函数论 Theory of Complex Variable Functions》课程PPT教学课件（复分析 Complex Analysis）3.3 基本定理的推广——复合闭路定理

陕品师乾大学乐数学与信息科学学院2SHAANXLNORMALUNIVERSI基本定理的推广第三节一复合闭路定理一、问题的提出二、复合闭路定理三、典型例题四、小结与思考

第三节 基本定理的推广 一、问题的提出 二、复合闭路定理 三、典型例题 复合闭路定理 四、小结与思考

陕西师乾大學乐数学与信息科学学院SHAANXNORMA1N一、问题的提出实例，计算z=2 z - 1因为z=2是包含 z=1在内的闭曲线，根据本章第一节例4可知。dz=2元i.z=2-1由此希望将基本定理推广到多连域中

一、问题的提出  2  d . 1 1 , z z z 实例 计算 因为 z  2是包含 z  1在内的闭曲线, 根据本章第一节例4可知,     2  d 2 . 1 1 z z i z 由此希望将基本定理推广到多连域中

陕品师聚大學乐数学与信息科学学院SHAANXLNORMA1N二、复合闭路定理1.闭路变形原理设函数 f(z)在多连通域内解析，C 及C,为D内的任意两条简单闭曲线(正向为逆时针方向),BCBC及C,为边界的区域DDD全含于D.作两段不相交的弧段AA和BB

二、复合闭路定理 1. 闭路变形原理 设函数 f (z)在多连通域内解析 , ( ), 1 单闭曲线 正向为逆时针方向 C 及C 为 D内的任意两条简 . 1 1 D C C D 全含于 及 为边界的区域 D C C1 D1 A A B B 作两段不相交的弧段 AA和 BB , ︵ ︵

陕西师乾大学陈数学与信息科学学院SHAANXLNCRM为了讨论方便,添加字符 E,E',F,F'显然曲线AEBB'E'AA,AA'F'B'BFA均为封闭曲线，因为它们的内部全含于 D，故 f(z)dz = 0,AEBB'E'A'ABf f(z)dz = 0.DAA'F'B'BFAAEBB'E'A'A=AEB+BB'+B'E'A'+AAAA'F'B'BFA=AA'+A'F'B'+B'B+BFA

D C C1 D1 A A B B E E F F 显然曲线 AEBBEAA,AAFBBFA 为了讨论方便,添加字符 E, E , F, F , 均为封闭曲线 . 因为它们的内部全含于 D, ( )d  0,  AEBBEAA 故 f z z ( )d  0.  AAFBBFA f z z AEBBEAA  AEB  BB  BEA  AA, ︵ ︵ ︵ ︵ AAFBBFA  AA  AFB  BB  BFA, ︵ ︵ ︵ ︵

陕西师聚大學乐数学与信息科学学院SHAANXENOβ f(z)dz = 0, 得由 f(z)dz +AEBB'E'A'AAA'F'B'BFAf f(z)dz + ff(z)dz+ ff(z)dz+ ff(z)dzAAC+ f f(z)dz + f f(z)dz = 0,B'BBB'B福即 ff(z)dz+ ff(z)dz = 0,福CCH或ff(z)dz = ff(z)dz.C

 AEBBEAA 由 f (z)dz  ( )d  0,  AAFBBFA f z z 得 D C C1 D1 A A B B E E F F  C f (z)dz    1 ( )d C f z z    AA f (z)dz ︵    A A f (z)dz ︵  ( )d  0,  BB f z z ︵    B B f (z)dz ︵ ( )d ( )d 0, 1      C C 即 f z z f z z ( )d ( )d . 1    C C 或 f z z f z z

陕西师乾大學乐数学与信息科学学院SHAANXLORMA如果我们把这两条简单闭曲线C及C看成一条复合闭路厂，厂的正方向为：外面的闭曲线C按逆时针进行内部的闭曲线C，按顺时针进行(即沿I的正向进行时,I的-内部总在的左手边）那说明：在变形过程中曲线不经过函数z）的不解析的点解析函数效曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.闭路变形原理

D C C1 D1 A A B B E E F F , 1   成一条复合闭路 如果我们把这两条简单 闭曲线 C 及C 看 的正方向为 : 外面的闭曲线 C 按逆时针进行, , 内部的闭曲线 C1 按顺时针进行 ), ( , 内部总在 的左手边 即沿 的正向进行时 的    ( )  0.   那末 f z dz 解析函数沿闭曲线的积分, 不因闭曲线在 区域内作连续变形而改变它的值.闭路变形原理 说明: 在变形过程中曲线不经 过函数 f(z) 的不解析的点

陕品师聚大學乐数学与信息科学学院SHAANXENA2.复合闭路定理设C为多连通域D内的一条简单闭曲线，Ci,C2，,C，是在C内部的简单闭曲线,它们互不包含也互不相交,并且以C,C,C2…,C,为边界的区域全含于D如果f(z)在D内解析C3那末D(1)f f(z)dz =fef(z)dz,k=l其中C及C均取正方向：

2. 复合闭路定理 , , , , , , , , , , , 1 2 1 2 D C C C C C C C C C D n n 为边界的区域全含于 互不包含也互不相交 并且以 是在 内部的简单闭曲线 它们 设 为多连通域 内的一条简单闭曲线   如果 f (z)在 D内解析, D C C1 C2 C3 那末 (1) ( )d ( )d , 1     n k C C k f z z f z z 其中 及 均取正方向; C Ck

陕西师報大學乐数学与信息科学学院SHAANXLNORMALUNIVERE(2) ff(z)dz = 0.I这里T为由C,C,C2,,C,组成的复合闭路(其方向是：C按逆时针进行,Ci,C2,…,C,按顺时针进行）3

D C C1 C2 C3 (2) ( )d  0.   f z z ). ( : , , , , , , , , 1 2 1 2 顺时针进行 其方向是 按逆时针进行 按 这里 为由 组成的复合闭路 n n C C C C C C C C   

陕西师乾大学乐数学与信息科学学院SHAANXNORMA1N三、典型例题2z-1例1计算积分dz,I为包含圆周z=12-zT在内的任何正向简单闭曲线，2z -1解 因为函数在复平面2Z'-Z内有两个奇点z=0和z=1依题意知，I也包含这两个奇点

三、典型例题 例1 解 . d , 1 2 1 2 在内的任何正向简单闭 曲线 计算积分  为包含圆周      z z z z z 0 1, 2 1 2     z z z z z 内有两个奇点 和 因为函数 在复平面 依题意知, x y o  1  也包含这两个奇点， 

陕西师報大學乐数学与信息科学学院SHAANXENOIRMAN在I内作两个互不包含也互不相交的正向圆周C, 和C2,C,只包含奇点z=0.C,只包含奇点z=1，根据复合闭路定理2z27dz.dz07+2NZ-Z1CCXdzdz+dz +dz +一=0+2元i+2元i+0=4元i

, C1 和C2 在 内作两个互不包含也互 不相交的正向圆周 x y o  1  0, C1 只包含奇点 z  1, C2 只包含奇点 z  C1 C2 根据复合闭路定理,      z z z z d 2 1 2        1 2 d 2 1 d 2 1 2 2 C C z z z z z z z z           1 1 2 2 d 1 d 1 1 d 1 d 1 1 C C C C z z z z z z z z  0  2i  2i  0  4i