陕西师范大学：《复变函数论 Theory of Complex Variable Functions》课程PPT教学课件（复分析 Complex Analysis）3.6 高阶导数

陕西师報大學乐数学与信息科学学院2SHAANXLNORMALUNIVERSI第六节高阶导数一、问题的提出二、主要定理三、典型例题四、小结与思考

第六节 高阶导数 一、问题的提出 二、主要定理 三、典型例题 四、小结与思考

陕西师乾大學乐数学与信息科学学院SHAANXIC问题的提出问题：(1)解析函数是否有高阶导数?(2)若有高阶导数,其定义和求法是否与实变函数相同？回答：(1）解析函数有各高阶导数(2）高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示，这与实变函数完全不同解析函数高阶导数的定义是什么？

一、问题的提出 问题: (1) 解析函数是否有高阶导数? (2) 若有高阶导数, 其定义和求法是否与实变函 数相同? 回答: (1) 解析函数有各高阶导数. (2) 高阶导数的值可以用函数在边界上的值通 过积分来表示, 这与实变函数完全不同. 解析函数高阶导数的定义是什么?

陕西师乾大學陈数学与信息科学学院SHAANXIE主要定理定理解析函数 f(z)的导数仍为解析函数，它的n阶n!f(z)导数为：f(n)(z)(n =1,2,...)dz2n il(z-z0)n+1其中C为在函数f(z)的解析区域D内围绕z的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部全含于D证设z为D内任一点，先证n=1的情况

二、主要定理 定理 , . ( ) d ( 1,2, ) ( ) ( ) 2π ! : ( ) ( ) , 0 1 0 0 ( ) D C f z D z z n z z f z i n f z f z n C n n 任何一条正向简单闭曲 线 而且它的内部全含于 其中 为在函数 的解析区域 内围绕 的 导数为 解析函数 的导数仍为解析函数 它的 阶       证 , 设 z0 为 D内任一点 先证 n  1的情况

陕西师乾大学乐数学与信息科学学院SHAANXENORMAINEf(zo +△z)- f(zo)根据导数的定义, f'(zo)= limAz△z>0(z)从柯西积分公式得f(z)dz,2元iJZ01f(z)dzf(zo +z)2元i Jc z - Zo - △zf(zo +△z)- f(zo)Azf(z)f(z)dz-dz2元△ziZo-Az7-Z0

根据导数的定义, z f z z f z f z z         ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 从柯西积分公式得 d , ( ) 2 1 ( ) 0 0     C z z z f z i f z d , ( ) 2 1 ( ) 0 0         C z z z z f z i f z z z f z z f z  (   )  ( ) 0 0 d , ( ) d ( ) 2 1 0 0              C C z z z f z z z z z f z zi

陕西师乾大学乐数学与信息科学学院SHAANXLNORMAINUEf (z)dz2元i Jc(z - zo)(z - zo - z)f(z)△zf (z)dzdz +2元iJc(z- zo)(z-zo -z)2元iJ=1△zf (z)dz2元Jc(z - z0)(z - zo - Az)Azf(z)ds2元/02-2012-20-A2因为f(z)在C上解析，所以在C上连续

       C z z z z z z f z i d ( )( ) ( ) 2 1 0 0             C C z z z z z z zf z i z z z f z i d ( ) ( ) ( ) 2 1 d ( ) ( ) 2 1 0 2 0 2 0  I         C z z z z z z zf z I d ( ) ( ) ( ) 2 1 0 2 0         C s z z z z z z f z d ( ) 2 1 0 2 0 因为 f (z)在C 上解析, 所以在 C 上连续

陕西师聚大學乐数学与信息科学学院SHOANNORME故 f(z)在C 上有界,于是3M >0,使得|f(z)≤M,设d为从z到曲线C上各点的最短距离并取△z适当地小，满足△z一2-则 z-z≥ d ,Z. -Z0dz-Zo -△z≥z-zo-Az>2dDZoML1≤,47L元d3Z-Zo-Az

故 f (z)在C 上有界,于是 M  0,使得 f (z)  M, z0  D C , 设 d 为从 z0 到曲线 C 上各点的最短距离 d 并取 z 适当地小, , 2 1 满足 z  d , 0 则 z  z  d , 1 1 0 z z d   0 0 z  z  z  z  z  z , 2 d  , 1 2 0 z z z d     , 3 d ML I z   

陕西师大學陈数学与信息科学学院SHAANXENOIRNMLI 02!f(z)可得 f"(zo)=dz2元iJc(z-Zo

, 3 d ML I z    这里 L为C 的长度. 如果 z  0, 那末 I  0, z f z z f z f z z         ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 d , ( ) ( ) 2 1 2 0     C z z z f z i 再利用以上方法求极限 z f z z f z z         ( ) ( ) lim 0 0 0 d . ( ) ( ) 2 2! ( ) 3 0 0      C z z z f z i 可得 f z

陕品师乾大學陈数学与信息科学学院SHAANXLNO至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数.依次类推，利用数学归纳法可证f(z)n[证毕]2mile(z-2.)4 dz.高阶导数公式的作用：而在于通过求导不在于通过积分来求导来求积分

至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解 析函数. 依次类推, 利用数学归纳法可证 d . ( ) ( ) 2 ! ( ) 1 0 0 ( )      C n n z z z f z i n f z [证毕] 高阶导数公式的作用: 不在于通过积分来求导, 而在于通过求导 来求积分

陕西师聚大學陈数学与信息科学学院AT三、典型例题例1计算下列积分,其中C为正向圆周:z=r>1.e?COS元Z(2) fc (2 +1)1) dz;dz-1)COS元Z解 (1)函数在C内z=1处不解析(z-1)5但cos元z在C内处处解析f(z)n!r根据公式 f(m)(zo)dz2元i c(z- 20)4+1

三、典型例题 例1 解        C z C z z e z z z C z r d . ( 1) d ; (2) ( 1) cos (1) , : 1. 5 2 2 计算下列积分 其中 为正向圆周 1 , ( 1) cos (1)函数 5 在 内  处不解析   C z z z 但 cosz 在C内处处解析,      C n n z z z f z i n f z d ( ) ( ) 2 ! ( ) 1 0 0 根据公式 ( )

陕品师乾大学陈数学与信息科学学院SHAANXLNORMALNE元i2元iCOS元z(cos 元z)(4)z=1125-1)e(2) 函数在C内的z=±i处不解析(z2 +1)在C内以i为中心作一个正向圆周 Ci,以-i为中心作一个正向圆周 C2,er则函数在由C,C,C2(z2 +1)2X围成的区域内解析

   C z z z d ( 1) cos 5 1 (4) (cos ) (5 1)! 2      z z i ; 12 5  i   , ( 1) (2)函数 2 2 在C内的 z i 处不解析 z e z    C1 C2 x y o  i C  i , C1 在C内以 i 为中心作一个正向圆周 , C2 以 i 为中心作一个正向圆周 , , , ( 1) 2 2 1 2 围成的区域内解析 则函数 在由C C C z e z 