浙江科技大学：《复变函数与积分变换》课程教学课件（PPT讲稿）第五章 留数及其应用 §1 孤立奇点

浙江科技学院Zhejiang University of Science and Technology第五章留数及其应用结运回束

结 束 返回 浙江科技学院 Zhejiang University of Science and Technology 第五章 留数及其应用

第2页第五章留数及其应用第五章留数及其应用1、孤立奇点2、留数留数在计算定积分中的应用3、结回束

结 束 返回 第五章 留数及其应用 第2页 第五章 留数及其应用 1、孤 立 奇 点 2、留 数 3、留数在计算定积分中的应用

第3页第五章留数及其应用s1孤立奇点1、孤立奇点的定义定义1 若f(z)在z.处不解析,但在z,的某个去心邻域0<-zl<内解析,则称z,为f(z)的孤立奇点.例如奇点f(z)=e2z=0孤立奇点1奇点f(z) :=11.z-11f(z) :奇点(n=±1,±2,·)1=07n元sinZ结回00束

结 束 返回 第五章 留数及其应用 第3页 §1 孤立奇点 1、孤立奇点的定义 定义1 0 , ( ) . ( ) , 0 0 0 0 内解析 则称 为 的孤立奇点 若 在 处不解析 但在 的某个去心邻域 z z z f z f z z z < - < d 例如 1 ( ) z f z e = 1 ( ) 1 sin f z z = 1 ( ) 1 f z z = - ⎯⎯⎯→ 奇点 z = 0 孤立奇点 ⎯⎯⎯→ 奇点 z = 1 ⎯⎯⎯→ z = 0, 奇点 1 z n( 1, 2, ) n = =  

第4页第五章留数及其应用1-=0,：在z=0不论多么小的但:limn-→o n元去心邻域内,总有f(z)的奇点存在,奇点未必1故z=0不是的孤立奇点是孤立的。sin1/ z注若函数的奇点个数有限，则每一奇点都是孤立奇点2、孤立奇点的分类若z为f(z)的孤立奇点，则存在>0,f(z)在0<-z内解析.于是f(z)在0<-z内可以展开成洛朗级数Zc,(z-z)"=Zc(z-z)"+Zc-,(z-z)". (1)n=-80n=0n=结回00束

结 束 返回 第五章 留数及其应用 第4页 奇点未必 是孤立的. 1 lim 0, 0 , ( ) n z n f z →   但 =  = 在 不论多么小的 去心邻域内 总有 的奇点存在， 1 0 . sin1/ z z 故 = 不是 的孤立奇点 若函数的奇点个数有限，则每一奇点都是孤立奇点. 2、孤立奇点的分类 0 0 0 ( ) 0, ( ) 0 | | . ( ) 0 | | z f z f z z z f z z z d d d  < - < < - < 若 为 的孤立奇点，则存在 在 内解析 于是 在 内 可以展开成洛朗级数 0 0 0 0 1 ( ) ( ) ( ) . (1) n n n n n n n n n c z z c z z c z z    - - =- = =    - = - + - 注

第5页第五章留数及其应用可去奇点：展式中不含z-zo负幂项，即2.1(1) f(z) =cn(z-zo)", 0< z-z S,n=0则z.称为f(z)的可去奇点特点?sin zZ=0是它的可去奇点,72n2sinzN7.1“可去"一词5!3!(2n +1)7的解释CoSzT和的可去奇点是Z=0.2Z.7结回束

结 束 返回 第五章 留数及其应用 第5页 2.1 可去奇点：展式中不含z-z0负幂项，即 (1) ( ) ( ) , 0 | | , 0 0 =  - 0 < - < d  = f z c z z z z n n n . (2 1)! ( 1) 3! 5! 1 sin 2 4 2  + + = - + - + - n z z z z z n n z = 0是它的可去奇点. ( ) ; 则z0 称为f z 的可去奇点 特点? 2 1 1 cos z e z z z - - 和 的可去奇点是 “可去 ”一词 的解释 ? sin z z ： z = 0

第6页第五章留数及其应用f(z)=c,(z-z)", 0Z0Z→>Zo若令 f(z)=Co（从新定义）则f(z)在zzks内处处解析,z,就成为解析点这也是称z.为f(z)的可去奇点的原因。结运回束

结 束 返回 第五章 留数及其应用 第6页 0 0 0 ( ) ( ) , 0 | | , n n n f z c z z z z d  = = - < - <  0 0 0 ( ) ( ) , | | , n n n g z c z z z z d  = = - - <  和函数 0 0 若令 f z c ( ) = （从新定义） 0 则在| | z z - < d内 0 当z z f z g z  = 时， ( ) ( )； 0 0 0 当z z g z c = = 时， ( ) . 0 0 0 0 z z lim ( ) lim ( ) ( ) z z f z g z g z c → → 因为 = = = 0 0 则f z z z z ( ) | | , 在 - < d内处处解析 就成为解析点, 0 这也是称z f z 为 ( )的可去奇点的原因

第7页第五章留数及其应用极点：展式中仅含有有限多个z-zo负幂项，即2.2XZc,(z-zo)" (c-m ± 0, m ≥ 1),(2) f(z) =n=-m则z称为f(z)的m级极点；特点?etz=0是它的1级极点或者称为单极点7n-et7一2!n!Zn7.L1的极点是z=0和z=1.z2(z-1)结返回束

结 束 返回 第五章 留数及其应用 第7页 2.2 极点：展式中仅含有有限多个z-z0负幂项，即 z = 0 1 是它的 级极点或者称为单极点. ( ) ; 则z0 称为f z 的m级极点 特点? 2 1 z z( ) -1 的极点是 (2) ( ) ( ) ( 0, 1), = - 0 -    =- f z c z z c m m n m n n . 2! ! 1 1 ! 1 1 0 = = + + ++ +  - =  n z z n z z z z e n n z n : z e z z z = = 0 1 和

第8页第五章留数及其应用2.3本性奇点：展式中含有无穷多个z-zo负幂项则z.称为f(z)的本性奇点特点?/Z=0是它的本性奇点ezZ72!sin=的本性奇点是z=O.z结回束

结 束 返回 第五章 留数及其应用 第8页 2.3 本性奇点：展式中含有无穷多个z-z0负幂项, z = 0是它的本性奇点. ( ) . 则z0 称为f z 的本性奇点 特点? 1 sin z 的本性奇点是 . ! 1 2! 1 1 1 2 1 = + - + - ++ z -n + n e z z z 1 : z e z = 0

第9页第五章留数及其应用3、函数在孤立奇点的性质性质1（可去奇点的判定定理若z为f()的孤立奇点，则下列条件等价：(i)f(z)在点z的主要部分为零;(c为常数);(ii) lim f(z) = co(ii)f(z)在点z.的某去心邻域内有界证： 只须证(i)(ii),(ii)(iii),(iii)=(i)(i)→ (i): 显然(ii)=(iii)：由极限定义即可(ii)=(i): 设f(z)在点z的某去心邻域O<z-z结回DO束

结 束 返回 第五章 留数及其应用 第9页 3、 函数在孤立奇点的性质 0 ( ) ( ) i f z z 在点 的主要部分为零； 若z0为 f (z) 的孤立奇点，则下列条件等价： 0 0 0 ( ) lim ( ) ( ); z z ii f z c c → = 为常数 0 ( ) ( ) . iii f z z 在点 的某去心邻域内有界 性质1（可去奇点的判定定理） 证：只须证 显然 ( ) ( ),( ) ( ),( ) ( ) i ii ii iii iii i    ( ) ( ) : i ii  ( ) ( ) : ii iii  由极限定义即可 ( ) ( ) : iii i  0 0 设f z z z z ( ) | | 在点 的某去心邻域0 < - < d

第10页第五章留数及其应用内以M为界，f(z)在点z.的主要部分为C*Z-Zo）Z -Z.Z-Zo其中f(z)2 -20 d, n = , ..62元这里C为圆周/z-z=r,0<r<.由于M12元r = Mrn<.一n+12元由于r为任意小的正数，故c-，=0.证毕结回P束

结 束 返回 第五章 留数及其应用 第10页 0 内以M f z z 为界， ( )在点 的主要部分为 1 2 2 0 0 0 , ( ) ( ) n n c c c z z z z z z - - - + + + + - - - 其中 0 这里C z z r r 为圆周| - | , . = < < 0 d 由于 1 1 2 2 | | , n n n M c r Mr r   - - +  = 0. . n r c 由于 为任意小的正数，故 - = 证毕 1 0 1 1 2 2 ( ) , , , ( ) n n c f z c dz n  i z z - - + = = - 