浙江科技大学：《复变函数与积分变换》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 复变函数的积分 §3.2 柯西积分定理

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第三章复变函数的积分S2柯西-古萨积分定理1、 引言复变函数的积分的实际上等同于对坐标的曲线积分，这就很自然地引出积分与路径无关的问题事实上，从上一节中，我们知道：有的积分与积分路径无关；有的积分与积分路径有关我们的问题是：在什么条件下复变函数的积分与积分路径无关？此问题等价于沿任意的闭曲线积分是否等于零的问题结运回束

结 束 返回 第三章 复变函数的积分 2 复变函数的积分的实际上等同于对坐标的曲线积 分，这就很自然地引出积分与路径无关的问题. §2 柯西-古萨积分定理 2 1、 引言 . 事实上，从上一节中，我们知道：有的积分与积 分路径无关；有的积分与积分路径有关 我们的问题是：在什么条件下复变函数的积分 与积分路径无关？此问题等价于沿任意的闭曲线积 分是否等于零的问题

第三章复变函数的积分(1)被积函数f(z) = z2在复平面处处解析；复平面是单连通区域；结论：积分与积分路径无关。(2)被积函数f(z)=z在复平面处处不解析；复平面是单连通区域：结论：积分与积分路径有关。(3)§-dz=2元i±0[z-20l=r Z- Zo在z-z=r内不处处解析,lz-z<r是单连通区域结论：积分与积分路径有关。结回束

结 束 返回 第三章 复变函数的积分 3 3 0 0 在| | | | . z z r z z r − = −  内不处处解析, 是单连通区域 （1） 被积函数 f (z) = z 2 在复平面处处解析；复平面是单连通区域； 结论：积分与积分路径无关。 （2 )被积函数 f z z ( ) = 在复平面处处不解析；复平面是单连通区域； 结论：积分与积分路径有关。 （3） 0 0 1 2 0. z z r dz i z z  − = =  −  结论：积分与积分路径有关

第三章复变函数的积分（4）还是上一个积分在去掉Z=zo的区域内处处解析;此时的区域不是单连通区域：结论：积分与积分路径有关。由此猜想：复积分的值与路径无关或沿闭路的积分值等于零的条件可能与被积函数的解析性及解析区域的连通性有关，2、柯西积分定理定理1若f(z)在单连通区域D内解析，则对于D内任一条闭曲线C，都有f(z)dz=0.结运回束

结 束 返回 第三章 复变函数的积分 44 由此猜想：复积分的值与路径无关或沿闭路的 积分值等于零的条件可能与被积函数的解析性及 解析区域的连通性有关. 2、 柯西积分定理 ( ) 0. 1 ( ) = c D C f z dz f z D 内任一条闭曲线 ，都有 定 理 若 在单连通区域 内解析，则对于 （4）还是上一个积分 在去掉 0 z z = 的区域内处处解析； 此时的区域不是单连通区域； 结论：积分与积分路径有关

第三章复变函数的积分本定理得证明实际是计算积分的问题，其中一种方法为f(z)=u+ivf. f(z)dz udx - vdy +id, vdx + udy.=Green公式if( (ux -y,)dxdyJf(-vx -u,)dxdy+i二DD= 01结回D束

结 束 返回 第三章 复变函数的积分 5 5 本定理得证明实际是计算积分的问题，其中一种方法为 ( ) ( ) . f z u iv c C C f z dz udx vdy i vdx udy = + = − + +    ( ) ( ) Green x y x y D D = − − + − v u dxdy i u v dxdy   公式 0 ( , ) = = = − u v u v x y y x

第三章复变函数的积分人们对此定理的评价是很高的，有人称之为积分的基本定理或函数论的基本定理。还有人认为它是研究复变函数论的一把钥匙推论1设f(z)在单连通区域D内解析，则在D内f()的积分与路径无关这时 f(z)dz =f(z)dz.Z结回束

结 束 返回 第三章 复变函数的积分 6 6 ( ) ( ) . 1 0   = z C z 这 时 f z dz f z dz 推论1 设f (z)在单连通区域D内解析，则在D内f (z)的积分与路径无关. 人们对此定理的评价是很高的，有人称之为 积分的基本定理或函数论的基本定理。还有人 认为它是研究复变函数论的一把钥匙

第三章复变函数的积分C2C7.0ox结返回D束

结 束 返回 第三章 复变函数的积分 7 C2 x y O C1 z0 z1

第三章复变函数的积分证：取D内任意两点z与Z1，设起点为zo,终点为Z1Ci,C为连接Z与 Z1的任意曲线,且连接Ci,C成一个围线则0=1f(z)dzcf(z)dz = / f(z)dz +'C J(z)dz = -cJ(z)dz = J J(z)dz从而结回DO束

结 束 返回 第三章 复变函数的积分 8 证: 取 内任意两点 与 ，设起点为 ,终点为 为连接 与 的任意 曲线,且连接 成一个围线 则 从而

第三章复变函数的积分推论2若f（z)在闭合曲线C上及C内无奇点，则fcf(z)dz = 0.COSZciz例1 求C:|z+3= 1Lz+iCOS Z解f(2)C:|z-(-3)=1，的奇点为z+i，在的外部，故(2)在以为边界的闭圆+1上解析，COS Z故 dz=0Z+3结回束

结 束 返回 第三章 复变函数的积分 9 例1 求 解 的奇点为 ，在 的外部， 故 在以 为边界的闭圆 。 上解析， 故 推论2 若f (z)在闭合曲线C上及C内无奇点，则 ( ) 0. C f z dz = 

第三章复变函数的积分3、原函数当f(z)在单连通区域D内解析，则在D内积分与路径无关，即以为起点，z为终点的D内任何路径上的积分值都相等，可记为[ f(z)dz当在区域D内变化时，积分值也变化，并且该积分在D内确定了一个单值函数（变上限的单值函数），记作F(z) = (~ f(z)dz = (f(5)dE.结运回P束

结 束 返回 第三章 复变函数的积分 10 10 3、 原函数   = = z z z z F z f z dz f d 0 0 ( ) ( ) ( )  . 当z在区域D内变化时，积分值也变化，并且该 积分在D内确定了一个单值函数（变上限的单值函 数），记作 0 ( ) z z f z dz  当f (z)在单连通区域D内解析，则在D内积分与 路径无关，即以 为起点，z为终点的D内任何路径 上的积分值都相等，可记为 0 z