浙江科技大学：《复变函数与积分变换》课程教学课件（PPT讲稿）第八章 拉普拉氏变换 §4 拉氏逆变换 §5 拉氏变换的应用

浙江科技学院Zhejiang University of Science and Technology第九章拉普拉氏变换结运回P束

结 束 返回 浙江科技学院 Zhejiang University of Science and Technology 第九章 拉普拉氏变换

第2页240ctober2025第九章拉普拉氏变换$ 4拉氏逆变换在实际问题中，我们不仅需要对函数f(t)求其拉氏变换F(s),也常常需要由像函数F(s)求像原函数f(t)当F(s)比较简单时，我们可以通过拉氏变换的性质或卷积定理或拉氏变换表来解决.但是如果F(s)比较复杂上述方法就很不方便本节介绍了更一般的方法，利用像函数通过反演积分或留数方法求像原函数结达口束

结 束 返回 第九章 拉普拉氏变换 24 October 2025 第2页 2 §4 拉氏逆变换 ( ) ( ), ( ) ( ). f t F s F s f t 在实际问题中，我们不仅需要对函数 求其拉氏 变换 也常常需要由像函数 求像原函数 . . ( ) ( ) F s F s 当 比较简单时，我们可以通过拉氏变换的性质 或卷积定理或拉氏变换表来解决 但是如果 比较复杂， 上述方法就很不方便 本节介绍了更一般的方法，利用像函数通过反演积 分或留数方法求像原函数

第3页240ctober2025第九章拉普拉氏变换1、反演积分公式函数,f( t)的拉氏变换，实际上就是 f(t)u(t)e-βt的傅氏变换，即F(s) = F(β+io) = ( f(t)u(t)e-βte-iotdt.因此，当 f(t)u(t)e-βt 满足傅氏积分定理的条件时，在f()的连续点处，有f(t)u(t)e-βt(+F(β + io)eiot do.2元只要β在F(s)的存在域内即可结区口束

结 束 返回 第九章 拉普拉氏变换 24 October 2025 第3页 3 1、反演积分公式 t f t u t e − 函数 f(t)的拉氏变换，实际上就是 ( ) ( ) 的傅氏变换，即  +  − − = ( + ) . 2 1 ( ) ( )       f t u t e F i e d t i t ( ) ( ) ( ) ( ) .  +  − − − F s = F + i = f t u t e e dt  t it   t f t u t e − 因此，当 ( ) ( ) 满足傅氏积分定理的条 件时，在 f (t)的连续点处，有 只要在F s( )的存在域内即可

第4页240ctober2025第九章拉普拉氏变换这样当t>0时，注意到(t)=1，因而得到1F(β +io)eiot dof(t)2元1F(β + io)e(β+io) do2元s=β+io1B+iooF(s)est ds.二2元B-ioo11B+ioo即(1)F(s)est ds.f(t)2元JB-ioc7结口束

结 束 返回 第九章 拉普拉氏变换 24 October 2025 第4页 4 这样当t  0时，注意到u(t)  1，因而得到  +  − =  +      f t e F i e d t i t ( ) 2 1 ( )   +  −  = + +  − + = = + i i st s i i t F s e ds i F i e d            ( ) . 2 1 ( ) 2 1 ( ) 即 ( ) . (1) 2 1 ( )  +  −  = i i st F s e ds i f t   

第5页24 0ctober2025第九章拉普拉氏变换公式（1）就是从像函数Fs)求像原函数t的一般公式，称为反演积分公式积分路径是s平面上的一条竖直直线Re(s)=β该直线位于F(s)的存在域中注:由于F(s)在其存在域中是解析的，因而此直线的右边不包含F(s)的奇点结达口束

结 束 返回 第九章 拉普拉氏变换 24 October 2025 第5页 5 公式（1）就是从像函数F(s)求像原函数 f(t)的 一般公式，称为反演积分公式. Re( ) , ( ) . s s F s 积分路径是 平面上的一条竖直直线 =  该直线位于 的存在域中 : ( ) ( ) . F s F s 由于 在其存在域中是解析的,因而 此直线的右边不包含 的奇点 注

第6页240ctober2025第九章拉普拉氏变换2、利用留数求逆变换定理设si,S2,…,S,是函数F(s)的所有奇点（适当选取使得这些奇点都在半面Re(s)<β内），且当s→时，F(s)→0，则有nC+iooZF(s)estds =f(t) :Res[F(s)e't,s,]. (2)JB-ioo2元ik=1B+iR证明思路：如图，引进辅助半.S1圆周，则形成闭合路径CRL.S2应用留数定理，令R→+0，并β.Sn证明cr上的积分趋于0，由此便β-iR可得到结论结悠回00束

结 束 返回 第九章 拉普拉氏变换 24 October 2025 第6页 证明思路：如图，引进辅助半 圆周，则形成闭合路径. 应用留数定理，令R→+∞，并 证明cR上的积分趋于0，由此便 可得到结论. 2、利用留数求逆变换 定理 ( ) 0, Re( ) , , , ( ) 1 2 →  →  s F s s s s s F s n 且 当 时 ， 选 取 使得这些奇点都在半平面 内）， 设 是函数 的所有奇点（适当    则有 ( ) R e [ ( ) , ]. (2) 2 1 ( ) 1  = +  −  = = n k k st i i st F s e ds s F s e s i f t    cR +iR .s2 .s1 .sn    -iR L

第7页240ctober2025第九章拉普拉氏变换证明：设闭曲线C=L+Cr：L在平面Re(s)>β内，C,是半径为R的半圆弧．当R充分大时，可使得所有的奇点全在C内由留数定理可得iRes[F(s)e", s]F(s)e" ds = 2元ik=1Cβ+iα即F(s)e"ds + Jc.F(s)e"ds-ZRes[F(s)e",sk]2元iLJβ-i00利用第五章中的方法，可以证明当t>0时limF(s)es ds = 0.R8B+i因此ZRes[F(s)e",s ]F(s)est ds =f(t) =B-i2元iSk=1结束口

结 束 返回 第九章 拉普拉氏变换 24 October 2025 第7页 证明： . Re( ) C L C L s C R R R R C 设闭曲线 = +  在平面 内， 是半径 为 的半圆弧.当 充分大时，可使得所有的奇点全在 内. 1 ( ) 2 Re ( ) , n st st k C k F s e ds i s F s e s  = =       由留数定理可得 1 1 ( ) ( ) Re ( ) , 2 R n i st st st k i C k F s e ds F s e ds s F s e s i    +  −  =   + =       即      R 0 0 , lim ( ) . R st C t F s e ds →+  =  利用第五章中的方法，可以证明当 时 1 1 ( ) ( ) Re ( ) , 2 . n i st st k i k f t F s e ds s F s e s i    +  −  = = =   因此    

第8页240ctober2025第九章拉普拉氏变换注:A(s)若 F(s)为不可约真有理分式则我们有B(s)如下简单的方法来求留数：情形1 若B(s)有n个单零点 Si,S2，,Sn，则A(s,)esrt-f(t) = L-liB(s)B'(Sk)k=1情形2 若B(s)有m级零点 Sk，则1A(s)A(s)StYResimeB(s)B(s)(m-1)! s→)结达口束

结 束 返回 第九章 拉普拉氏变换 24 October 2025 第8页 8 注： . ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) [ 1 1 = −  = = n k k s t k B s A s e B s A s f t L k 情形1 若B(s)有n个单零点 s1 ,s2 ,  ,sn , 则 情形2 若B(s)有m 级零点 sk , 则 . ( ) ( ) lim ( ) ( 1)! 1 , ] ( ) ( ) R e [ ( −1) →       − − = m m s t k s s k s t e B s A s s s m e s B s A s s k 为不可约真有理分式,则我们有 如下简单的方法来求留数: ( ) ( ) ( ) A s F s B s 若 =

第9页240ctober2025第九童拉普拉氏变换例1求下列有理分式的拉氏逆变换：k1(2)(1)-k2s(s-1)2解：（1）显然k和-k为分母的一级零点，则ke-ktkektA(sk)esrtf(t) == shkt.-2k2kB'(Sk)k=1（2）0和1分别为分母的一级和二级零点，则esrstf(t) = lim-lim5>01S1SYesttesS-=1+tet-et= 1 + limSS-1结口DO束

结 束 返回 第九章 拉普拉氏变换 24 October 2025 第9页 例1 求下列有理分式的拉氏逆变换： ; ( 1) 1 (1) ; (2) 2 2 2 s − k s s − k k ke k ke B s A s e f t n k t k t k k s t k k ( ) 2 2 ( ) ( ) 1 − = +  = − =  = shkt. 解：（1）显然 k 和 –k 为分母的一级零点，则 （2）0 和 1 分别为分母的一级和二级零点，则 lim[ ] ( 1) ( ) lim 1 2 0 +  − = → → s e s e f t s t s s t s 1 lim 1 . 2 1 t t s t s t s t e e s t e s e = + − − = + →

240ctober2025第10页第九章拉普拉氏变换例2 求 F(s)=的逆变换(s - 2)(s - 1)111解一： 显然 F(s):S-2于是 f(t)= L-如何求？事实上，位移和微分性质所以f(t) =e2t -e' - tet.思考：该题还可以用其它办法求解吗？结口束

结 束 返回 第九章 拉普拉氏变换 24 October 2025 第10页 2 ( 2)( 1) 1 ( ) − − = s s 例2 求 F s 的逆变换. ] ( 1) 1 ] [ 1 1 ] [ 2 1 ( ) [ 2 1 1 1 − − − − − = − − − s L s L s 于是 f t L . ( 1) 1 1 1 2 1 ( ) 2 − − − − − = s s s 解一：显然 F s 2 ( ) . t t t 所以 f t e e te = − − 如何求？ 事实上， 1 1 2 1 1 [ ] ; [ ] . ( 1) kt t L e L te s k s − − = = − − 位移和微分性质 思考：该题还可以用其它办法求解吗？