浙江科技大学：《复变函数与积分变换》课程教学课件（PPT讲稿）第四章 解析函数的幂级数表示 §4 洛朗（Laurent）级数

浙江科技学院Zhejiang University of Science and Technology第四章解析函数的幂级数表示结运回束

结 束 返回 浙江科技学院 Zhejiang University of Science and Technology 第四章解析函数的幂 级数表示

第2页第四章解析函数的塞级数表示s 4 洛朗(Laurent)级数例如， f(z)=在z=0及z=1都不解析一z(1- z)但在圆环域0<z<1及0<z-1<1内都是解析的在圆环域 0<<1内:1f(z) =z(1- z)7.1而+z? +...+z"+...,z<11- z1所以 f(z)=+1+z+z?+...+z"+..z(1 - z)即f(z)在0<z<1内可以展开成级数结回D束

结 束 返回 第四章解析函数的幂级数表示 第2页 在圆环域 0  z  1内: 例如， 0 1 (1 ) 1 ( ) = = − = z z z z f z 在 及 都不解析, 但在圆环域 0  z  1 及 0  z − 1  1 内都是解析的. (1 ) 1 ( ) z z f z − = 而 1 , 1 1 1 2 = + + + + +  − z z z z z  n  , 1 1 1 z − z = + 所以 (1 ) 1 ( ) z z f z − = 1 , = z −1 + + z + z 2 ++z n + 即 f (z)在 0  z  1 内可以展开成级数. §4 洛朗(Laurent)级数

第3页第四章解析函数的舞级数衰示在圆环域0<z-1<1内,也可以展开成级数：1f(z)z(1-z) 1-z1-(1-z)1 +(1- z)+(1-z)? +...+(1 - z)" + ...=(1-z)-1 +1+(1-z) +(1-z) +(1- z)n-1 +..由此推想，若f()在Ri<z-zol<R2 内解析，f(z)可以展开成级数，只是这个级数含有负幂次项，即f(z) = ...+ c-n(z - zo)-n +..+c-i(z - zo)-I +Co+ci(z-zo)+...+cn(z-zo)" +.结00运回束

结 束 返回 第四章解析函数的幂级数表示 第3页 在圆环域0  z −1  1内， 也可以展开成级数： (1 ) 1 ( ) z z f z − = (1 ) 1 (1 ) (1 ) (1 ) . = − z −1 + + − z + − z 2 + − z n−1 +  + − + − ++ − + − = n z z z z 1 (1 ) (1 ) (1 ) 1 1 2       − − − = 1 (1 ) 1 1 1 z z     + − + + − + = + − + + − + − − − − n n n n c z z c z z f z c z z c z z c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 1 0 1 0 由此推想，若f (z) 在R 1<z - z0 <R2 内解析, f (z) 可以展开成级数，只是这个级数含有负幂次项,即

第4页第四章解析函数的幂级数表示1、双边幂级数--含有正负幂项的级数定义具有如下形式的级数8Z c,(z-zo)" =..+c,(z-zo)" +..+ c.(z- zo)--n=-0+c +ci(z -zo)+...+c,(z -zo)" +...(l)称为双边幂级数，其中z及c,(n=0,±1,±2,.)都是常数正幂项(包括常数项)部分：8Zc,(z-z)" =C +c(z-zo).+c,(z-z)".,(2)n=0负幂项部分：2-(- 0)" -.-(-- ,).+(-)"*(3)n=l结运回DO束

结 束 返回 第四章解析函数的幂级数表示 第4页 4 1、 双边幂级数 -含有正负幂项的级数 定义 具有如下形式的级数 1 0 0 1 0 ( ) ( ) ( ) n n n n n c z z c z z c z z  − − − − =−  − = + − + + − 称为双边幂级数， 正幂项(包括常数项)部分： ( ) ( ) ( ) ,(2) 0 1 0 0 0  − 0 = + − ++ − +  = n n n n n c z z c c z z c z z ( 0, 1, 2, ) . 其中z0 及cn n =    都是常数 负幂项部分： ( ) ( ) ( ) .(3) 0 1 1 0 1 − 0 = − − − ++ − − − +  = −  − n n n n n c z z c z z c z z 0 1 0 0 ( ) ( ) (1) n n + + − + + − + c c z z c z z

第5页第四章解析函数的级数表示E c,(z-zo)"双边幂级数n=-0n=00Zc,(z-zo)"=Zc(z-zo)-"c,(z-zo)"+n=0n=1n=-0负幂项部分非负幂项部分收敛主要部分解析部分同时收敛f (z)+fi(z)f(z)结回DO束

结 束 返回 第四章解析函数的幂级数表示 第5页  − = = =−  n n n n c (z z ) 0 双边幂级数 0 ( )n n n c z z  =−  − 同时收敛 n n n n n n c (z z ) c (z z ) 0 0 0 1  − + −  = −  = − f2 (z) f (z) 解析部分 非负幂项部分 f1 (z) 主要部分 负幂项部分 收敛

第6页第四解析函数的塞级数表示8:令=(zz)-ZC-n(z-zo)-nCCn=1n=1收敛半径8R1Zc,(z- zo)"H[SR:两收敛域无公共部分两收敛域有公共部分H：r<z-zo<R(2) r<R:结00回束

结 束 返回 第四章解析函数的幂级数表示 第6页 n n n c (z z ) 0 0  −  = n n n c z z −  =  − ( − ) 0 1 1 0 ( ) − 令 = z − z n n n c   = − 1 收敛半径 1   R时,收敛 0 1 1 z z r R −  = 收敛域 收敛 半径 R 0 z z R −  收敛域 若 ( ) : 1 r R  两收敛域无公共部分, ( ) : 2 r R  两收敛域有公共部分H: 0 r z z R  −  . R1 a R r H 1 2 f z f z f z ( ) ( ) ( ) = + 0 z

第7页第四章解析函数的舞级数表示8c,(z-zo)"的收敛区域为结论：双边幂级数n=-80R2圆环域R,<z-Zo<R2R0常见的特殊圆环域：Rz1.07.00 <-zol<R R < zol<00<zl8结回-束

结 束 返回 第四章解析函数的幂级数表示 第7页 结论: 双边幂级数 n的收敛区域为 n n c (z z )  − 0  =−  . 1 0 R2 圆环域R  z − z  R1 R2 . 0 z 常见的特殊圆环域: R2 . 0 z 0 0 R2  z − z  R1 . 0 z R1  z − z0   0  z − z0   . 0 z

第8页第四章解析函数的舞级数衰示+8+(1)当R, >R,时，称c,(z-zo)"处处发散。n=-008Zc,(z-zo)"在r<|z-zol<R内的(2)级数n=-80和函数是解析的而且可以逐项积分和逐项求导现在我们考虑相反的问题：在圆环内解析的函数能否展开成一个双边幂级数呢？这也是本节开始提出的问题．关于这个问题的答案是肯定的，这就是下面要讨论的洛朗定理结运回束

结 束 返回 第四章解析函数的幂级数表示 第8页 8 . (2) ( ) 0 0 和函数是解析的,而且可以逐项积 和逐项求导 级 数 在 内 的 分 c z z r z z R n n  n −  −   =−  现在我们考虑相反的问题：在圆环内解析的函数 能否展开成一个双边幂级数呢？这也是本节开始提出 的问题. 关于这个问题的答案是肯定的，这就是下面 要讨论的洛朗定理. 当 时，称  处 处发 散。 +  =−   − n n n (1) R R c (z z ) 1 2 0

第9页剪四章解析函数的需级数表示2.函数展开成双边幂级数设 函数f(z)在圆环域r<z-zo<R 内处处解析定理则f(z)一定能在此圆环域内展开成洛朗级数8Zcn(z-zo)",f(z)=n=-0f(S)1其中(-z0)ds为洛朗系数I2元i(n= 0,±1,.)C为圆环域内绕的任一正向简单闭曲线结回束

结 束 返回 第四章解析函数的幂级数表示 第9页 定理 0 ( ) 设 函数f z r z z R 在圆环域  −  内处处解析， ( ) ( ) , 0 n n n f z = c z − z  =−   + − = C n n z f i c    d ( ) ( ) 2π 1 1 0 其 中 (n = 0, 1, ) C为圆环域内绕 0 的任一正向简单闭曲线. z 为洛朗系数. 则 ( ) f z 一定能在此圆环域内展开成洛朗级数 2. 函数展开成双边幂级数

第10页剪四章解析函数的需级数表示说明：8c,(z-zo)”洛朗(Laurent)级数是泰勒级数1) f(z)=n=-80的推广，泰勒级数是洛朗级数的特殊情形(n) (zo)这是因2）洛朗展开式中的c.不能写成n!为如果z,是函数f(z)的奇点时，f(n)(z)不存在。故需注意洛朗级数展开系数与泰勒级数展开系数在写法上的区别。结回束

结 束 返回 第四章解析函数的幂级数表示 第10页 10 说明: 的推广，泰勒级数是洛朗级数的特殊情形； n n n f (z) c (z z ) =  − 0  =−  1) ( ) 0 ( ) 0 0 ( ) ! ( ) ( ) n n n f z c n z f z f z 2) 洛朗展开式中的 不能写成 ，这是因 为如果 是函数 的奇点时， 不存在。 故需注意洛朗级数展开系数与泰勒级数展开系 数在写法上的区别。 洛朗(Laurent)级数是泰勒级数