陕西师范大学：《复变函数论 Theory of Complex Variable Functions》课程PPT教学课件（复分析 Complex Analysis）1.3 复数的乘幂与方根

陕品师乾大學乐数学与信息科学学院?SHAANXLNORMALUNIVERSI第三节复数的乘幂与方根一、乘积与商二、幂与根三、小结与思考

第三节 复数的乘幂与方根 一、乘积与商 二、幂与根 三、小结与思考

陕品师聚大學陈数学与信息科学学院SHOANNORMAL乘积与商定理一两个复数乘积的模等于它们的模的乘积；两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和证设复数z,和z,的三角形式分别为zi = r(cos, +isin@),，Z2=r(cos0,+isin0)则z·Z2 =r(cos, +isinの)·r(cos, +isin,)=rrl(cose,cosg,-sine,sin)+i(sinecos,cose,sin)

一、乘积与商 定理一 两个复数乘积的模等于它们的模的乘 积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和. 设复数z1和z2的三角形式分别为 (cos sin , z1  r1 1  i 1） (cos sin , z2  r2  2  i  2） (cos sin ) (cos sin ) 1 2 1 1 1 2  2  2 则z z  r  i r  i (sin cos cos sin )] [(cos cos sin sin ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2              i r r 证

陕品师乾大學乐数学与信息科学学院SHAANXLNORMA1Nzi-z, = ri · r2[cos(, +0,)+isin(0 +0,)][证毕]Arg(zjz2) = Argzi +Argz2.从几何上看，两复数对应的向量分别为，先把按逆时针方向旋转一个角 02再把它的模扩大到r倍.0所得向量之就表示积Z·Z2·0两复数相乘就是把模数相乘辐角相加

[cos( ) sin( )] 1 2 1 2 1  2  1  2 z z  r r i 两复数相乘就是把模数相乘, 辐角相加. , 再把它的模扩大到 r2 倍 从几何上看, 两复数对应的向量分别为 , , 1 2 z z   , 2 1 旋转一个角 先把 z 按逆时针方向  . 1 2 所得向量 z 就表示积 z z   2  o x y r 2r 1r  2 z 1   1 z  z Arg( ) Arg Arg . 1 2 1 2 z z  z  z [证毕]

陕西师聚大學陈数学与信息科学学院AAN说明由于辐角的多值性, Arg(zjz2)= Argzi +Argz2两端都是无穷多个数构成的两个数集对于左端的任一值,右端必有值与它相对应例如，设 zi =-1, 2 =i，则 zi·2 =-i,Argz = 元+2nπ, (n = 0, ±l, ±2,..),元Argz2 = + 2mπ, (m = 0, ±1, ± 2,,2元+2k元，(k=0,±1,±2,..),Arg(zjz2) =-23元_"+2k元，只须k=m+n+1.故+2(m+n）元=22若k=-1,则m=0,n=-2或m=-2,n=0

说明 由于辐角的多值性, 1 2 1 A 2 Arg(z z )  Argz  rgz 两端都是无穷多个数构成的两个数集. 对于左端的任一值, 右端必有值与它相对应. 例如， 1, , 1 2 设 z   z  i , 1 2 则 z z  i Arg 2 , ( 0, 1, 2, ), z1    n n     2 , ( 0, 1, 2, ), 2 Arg 2        z  m m 2 π, ( 0, 1, 2, ), 2 π Arg( ) z1z2    k k     2 , 1. 2 2( ) 2 3             故 m n k 只须 k m n 若 k  1, 则 m  0,n  2或 m  2,n  0

陕西师聚大學陈数学与信息科学学院AANN设复数z,和z,的指数形式分别为,i(01+02)Z =reio, Z2 =re"%, 则 z1 Zz =i-re'0由此可将结论推广到n个复数相乘的情况：设 zk = r (cos0, +isin0,)= reiox, (k =1,2,..,n)zi·z2 .....zn = ri·r..rcos(o +0, +...+o.)+isin(0 +, +...+0n))r,ei(,+,+.,)=r·r

设复数z1和z2的指数形式分别为 , 1 1 1 i z  r e . ( ) 1 2 1 2  1 2    i , 则 z z r r e 2 2 2 i z  r e 由此可将结论推广到 n 个复数相乘的情况: n z z z 1 2 z r (cos isin ) r e , (k 1,2, ,n) k i 设 k  k  k   k  k    sin( )] [cos( ) 1 2 1 2 1 2 n n n i r r r                  . ( ) 1 2 1 2 n i n r r r e        

陕西师乾大學陈数学与信息科学学院SHAANXLNAF定理二，两个复数的商的模等于它们的模的商；两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差按照商的定义，当z0时,z=z1,证31512+Argz1,Argz = ArgZ1Z.5于是= Argzz - ArgziCZ.12设复数和z的指数形式分别为Z=re'0, Z2 =re'02, 则=e(0-01). [证毕]Zri

定理二 两个复数的商的模等于它们的模的商; 两 个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差. 证 按照商的定义, 0 , 当 z1  时 , 1 1 2 2 z z z z  , 1 1 2 2 z z z z  Arg Arg Arg , 1 1 2 2 z z z z         , 1 2 1 2 z z z z 于是  Arg Arg Arg . 2 1 1 2 z z z z         设复数z1和z2的指数形式分别为 , 1 1 1 i z  r e . ( ) 1 2 1 2  21  i e r r z z z2  r2e i 2 , 则 [证毕]

陕西师乾大學乐数学与信息科学学院注arg(z)=argz,+argz2arg(z, / z, ) = argz, argz2不一定成立例:arg(—1)= π, arg(1)= 0但是arg(-1)+ arg(-1) = 元 +元 = 2元,arg[(-1)(-1)] ± arg(-1) + arg(-1)

. arg( / ) arg arg : arg(z ) argz argz 1 2 1 2 1 2 1 2 不一定成立 注 z z z z z     arg[( 1)( 1)] arg( 1) arg( 1). arg(-1) arg(-1) 2 , arg( 1) , arg(1) 0                 但是 例： －

陕师記大學乐数学与信息科学学院RMAIHAANXINOIN例1 已知 z1 ==-icos(1 - /3i), zz = sin -332求 z1 ·Z, 和Z.2元解 因为 zi =cos3I+isinCOs166元元元元所以 1· Z2 = cos+isin3366元元元IL+isinCOS34Z

例1 解 , 3 cos 3 (1 3 ), sin 2 1 1 2    已知 z   i z  i , 3 sin 3 cos 1                 因为 z   i , 6 sin 6 cos 2                 z   i                        3 6 sin 3 6 cos 1 2 所以 z z i  i,                       3 6 sin 3 6 cos 2 1 i z z . 2 1 2 3   i . 2 1 1 2 z z 求 z z 和

陕品师乾大學乐数学与信息科学学院HOANXN例2 已知正三角形的两个顶 点为 z,=1和z,=2 +i,求它的另一个顶点解?如图所示,=2+i元将表示 z2 -z 的向量3+X绕z, 旋转(或-)就得Z333到另一个向量，它的终点即为所求顶点z（或）元元-3因为复数e3的模为1，转角为

例2 解 . 1 2 , 1 2 求它的另一个顶点 已知正三角形的两个顶 点为 z  和z   i , ( ). ) 3 ( 3 3 3 1 2 1 z z z z z      到另一个向量 它的终点即为所求顶点 或 绕 旋转 或 就得 将表示 的向量 如图所示, o x y 1 z1  z  2  i 2 3 z 3 z 3  , 3 1, 3   因为复数 的模为 转角为 i e

陕西师乾大学乐数学与信息科学学院SHAANXLNORMAINUE7-z).=2+i元A1133-/333+/31+~所以 z3十2222

( ) 2 1 3 3 1 z z e z z i     o x y 1 z1  z  2  i 2 3 z 3 z 3  (1 ) 2 3 2 1 i  i        i               2 3 2 1 2 3 2 1 , 2 1 3 2 3 3 3 z i    所以  . 2 1 3 2 3 3 3 z i     