北京大学：《古今数学思想》课程教学资源（讲义）第七讲 无穷级数

无穷级数无穷级数可以认为是多项式的推广一无穷多项的多项式。它不是数学的新的学科，但是广泛地应用于数学的各个分支。最多的应用在于微积分及其相关学科一微分方程。一，早期的无穷级数无穷级数在数学中出现得很早。亚里士多德已经知道公比小于1的儿何级数有和。无穷级数也散见于中世纪后期欧洲的数学家的著作中，用来计算变速运动的路程。奥雷姆(Oresme)（1323-1382）（法国的一个地方的主教兼纳瓦拉巴黎学院的教师，斐波那契之后欧洲中世纪最好的科学家，分数指数的最早的提出者）在《欧几里德几何问题》（约1360年）中证明了调和级数的发散性，其证明方法与现在我们最熟悉的证明一样。调和级数被后来的许多人研究过。韦达在《各种各样的解答》一书（1593年）中给出了无穷几何级数的求和公式。他从欧几里德的《原本》中得知几何级数ai，a2，·的前n项和Sn满足a1 + a2 + . + an-1 = 1Sn-an-a2+ag +.+ana2Sn-ai.a?如果>1，则当n变为无穷时，a变为0，所以so=al-a217世纪中叶，圣文森特的格雷戈里在《几何著作》（1647年）中第一次明确指出无穷级数表示一个数，即级数的和，他将这个数称为级数的极限。他说神行太保追龟的论可以用级数的求和来解决。和是有限的事实表明神行太保可以在一个确定的地点追上龟。级数与微积分结合被用于求一些特殊的数值，例如元、e以及对数函数、三角函数在某些点处的值。1674年来布尼兹得到了著名的结果：111"=1-+....4-1-3+5-7但是此级数收敛得非常慢，要达到阿基米德的近似值（3.1408～3兴<元<3=）要计算十万项（祖冲之（429-500）的约率是3，密率是3是～3.141593）。对数函数log(1+c)的级数收敛得也非常慢。于是有许多人试图找出收敛比较快的级数人们不仅停留在数项级数上。特别是牛顿利用函数项级数表示函数。在格雷戈里发现双曲线y=1与轴之间的面积与等比级数之间的关系的基础上，牛顿（在1665年左右）和墨卡托（Morcator）（在1668年）分别独立地独立地发现了+.3-+..log(1 + a) = -沃利斯注意到当=2时此式右端为o，而左端为log3。他不能解释这个困难。1666年牛顿得到了arcsina的级数表达式。他用到arcsin=JoV1-2-号V1-2将右端用二项式定理（方幂指数为）展开成幂级数，逐项积分，并项，从而得到结果。他还得到了arctg的级数。1669年他给出了sin、cos、arcsin和e"的级数。1671年詹姆斯格雷戈里得到了tg和sec的级数。莱布尼兹在1673年独立地得到了1

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n、co仅、arctg的叶数。他展保的系要些法近上面所说的牛顿的些法类似极保数斯数或负斯数的二4式展开近归左法极尼难说格严格的证。米时他展也要计6函数4叶数的反函数。保叶数表示超越函数格牛顿近莱布尼兹的实定俘的重要组成部。对追等般的函数的泰勒展开的起源格间瞻斯格雷戈名牛顿的内插非式（要7n，要7i）：设函数f(a）事a,a+c,a+顿，·..，a十nc处的值已收极归左行构造f(r）事点a处的各阶差：△f(a) = f(a+c) -f(a)△f(a) =△f(a+c) -△f(a),△3f(a) =?f(a+c) - f(a),....."f(a) = △n-f(a +c) -△n-f(a)则内插非式特一婆+·+(一要(-n+岁" (a),nf(r +h) = f(a) +-△f(a) +要顿要顿·n容易验证当h取n,c,·,nc时此式右端确实等追f(a),f(a+c),.·，f(a+nc）。间驻意：此式右端格h的n次戈4式极所以表等追墨格朗日插值非式90要顿年泰勒(Taylor)（要85要牛要事上述插值非式角令c=△极则非式角的第i（n≤i≤n）4变特h(h-△r)...(h-(i-要r)△"f(a)Ari要顿··2他说：令△r=n极则该4变特hf()(a)/i！。追格格雷戈名曲牛顿内插非式就变特现事的泰勒非式。当然极他的些法格即严密的。泰勒非式角的a=nr的特殊情形就格马克劳林非式。马克劳林（Maclaurin)（要98曲要4i）格保待定系数法证该非式的。二值欧拉在无对函三方面的工作我们简要地介绍一下欧拉的生平。欧拉（Euler）(1007-1783）是18世纪数学和理论物理方面的中心人物，出生于瑞典的巴塞尔。15岁大学毕业（学习神学）。大学时小伯努利教过他数学。18岁发表文章，19岁获得法国科学院奖学金。通过小伯努利（约翰（John））的儿子尼古拉伯努利和丹尼尔伯努利的介绍，1733年获得俄国圣彼得堡科学院的任命，起初作丹尼尔的助手，很快就接替丹尼尔作了教授。之后的8年间他做了数量惊人的研究工作。1741年应普鲁士国王腓特烈大帝的召见去了柏林，一直留到1766年，其间得普鲁士王的侄女讲授数学、天文、物力、何学、宗教等课程。他还应排特烈大帝的要求研究了保险问题和运河与水利工程问题。这25年间他仍为圣彼得堡科学院写了上百篇论文，并对那里的事务提出意见。1766年他应俄国凯瑟琳女王的邀请去了圣彼得堡。不久就双目失明了（1735年由于俄国天气寒冷一只眼失明）。在这之后的17年的生命中他凭借超人的记忆力仍然取得了不亚于从前的成果。他能背出三角和分析的公式和前100个素数的前六次幂。他在数学中研究的主要领域是微积分、微分方程、曲线与曲面的解析几何与微分几2

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何、数论、级数和变分法。他将数学用到大量的学科。他创立了分析力学和刚体力学，用于天文、航海和船舶设计。在声学中他研究了声音的传播与谐音。在光学中他是18世纪唯一赞成光的波动说的物理学家、推导了光在媒质中的运动方程。他还得到了理想流体运动的基本微分方程，并将其应用到人体血液的流动。他在热学方面的著作《论火》获得了奖金。他对化学、地质学、制图学也有兴趣。他的数学著作《无穷小分析引论》（两卷）（1748）、《微分学原理》和《积分学原理》（三卷）都是里程碑式的著作，所有的著作中都包含某些高度开创性的思想与方法。除了著作之外，他在一生的大部分时间里以每年800页左右的速率发表高质量的独创性的研究文章。他的文章的奖金儿乎成为固定收入。他在完全失明后还写了一些书和约400篇论文。他的全集如果出版将会有74卷。他并没有因为研究工作而成为苦行僧。事实上，他有13个孩子，经常教育孩子们，做科学游戏，念圣经给他们听他的高尚品质赢得了广泛的尊敬。晚年他把当时欧洲的所有数学家都当作他的学生。现在抛开欧拉在其它各方面的成就，谈谈他在级数方面的工作。事实上，级数的真正的广泛的研究始于欧拉。他的工作大量是形式化的、结果是超乎人们的常识的。有些工作到一个多世纪之后才被人们理解1734年左右他在一篇文章中将sinc的展开式2325sinr =r-+...3+的右端作为多项式处理，用多项式的根与系数的关系给出一系列有关元的级数表达式。他断言r22225)(1-)(1 -sina = (1 -元24元29元2（原因是sinα的零点为0,土元，土2元，··）。由此他得到元211116'T411114+..14+24+34+4490以及分母是更高的偶数次幂的类似的级数。1740年欧拉得到了一般性的结果：111111(2元)2nB2n+.:2(2n)!其中B2n是伯努利数，由。一的展开式的系数决定，即8tnZBntnn!et-1n=0（伯努利数在许多学科中中有重要的应用）。但是对于所有的分母是奇数次幂的类似级数他没有得出结果（至今仍是一个未解决的重要间题）。他还得到了用分母为奇数的2至6次幂的级数来表达元的方幂，例如元31111+..133+3323

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他用对数函数求调和级数的有限项的和的近似值，得到了现在我们所说的欧拉常数。从11111log(1 +4r2+.2r23r222得到11111+x=1og(2r2T3r24r2a取a=1,2,3,·.·，n，将所得的等式相加，即得1111+..+1+2+3+:n116（1+= log(n + 1) +2722+32n21111（1+...n3= log(n + 1) +C,其中C是一个常数（无穷个有限和的和），与n有关，但是当n比较大时变化不大。用现在的符号，就是在上式两端减去logn，再取极限，得到欧拉常数：1111-logn)= lim (+...+n=m(i+2+3n欧拉的这个工作的意义在于：对于发散级数去寻找适当的函数，使函数在特殊点处的值与级数的有限和差别不大。推广到函数项级数，就是求发散的（函数项）级数的所谓“和函数”。我们将在后面讲到这一点。更一般地，他推广了（詹姆斯）格雷戈里关于整数的正整数次幂的和的公式7811c(c - 1)(c - 2)CZkc=nc+1 +B,bc-1 +nc+2!24!c+ 1k=1（其中最后一项的k为小于c的最大的奇数），得到了现在所称的欧拉-马克劳林公式用以近似计算无穷此可微的实函数f（）在0,n上的整数点处的值的和：B2if(i) =f(r)dr -(f(2i-1)(n) - (2j-1)(0)) + Rk;(f(n) - f(0)+-1 (27)i-0(3)其中误差项R=J"f(2i+1)(a)B2k+1(a)da，而Bm(c）是第m个伯努利多项式：Bm(a)=+哥（。对于大量的f(z)，(3)式右端的级数如果其上限取为0o都是发散的。但是可以证明误差项小于其第一项的绝对值。于是(3）式可以用来做"=of(i)的近似估计。4

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他失面了。数系家们相右：一定格发似级数确M种特c存a，只，g以提炼，就会显斯出注t意端近确原因。汽今为止，发似级数确卫包含两个方面，一是上面说二确函数确级数端近，其原展是该级数开成任何一项以后确所格项所引詹确莱类或负开成确归一项严反，牛种级数就是所超确重部级数般泰是戈一种勒起确方源定义级数确和，内插一，：a哥西意义设发似确级数f格格c和，牛就是可和级数般确构造，积阶确近差计算可以溯二拉h拉斯（易容验）（17实18点7）。他一A盟布1令11 今1时时厂有+明圣e日达函成i+(i)i(i)3点述J朗确文森确格c项计算森（y4，）。他的第了其他确积阶近差计算。对于形次。（表函即将(送e许达确积，他确原展是：对于积阶确俘来自积阶实点乌内结达些二绝对，确元、点确无点。a拉h拉斯对后，函哇角（耗踏册(1781-18殊磁名：（验收)（18实取18o1）布常要尔（iou阿lle)（18实188点布近也（Green）（17实-18取）布斯~名斯(Stoke现(181实1）17<究了C祖确积阶确近差计算，其乌数积阶来自微阶方十万万率。1866密计6变（in验)(18o取1实点和斯表尔吉斯（Stieloe现(1806-18阶g确构造（斯表尔吉斯快对为仅停留）：快函数。（表负形次雷（试出了别++图阳的级数棋鸟另表曲关？，找懿去对于任一面阶，确表格说图r 轴间壁+墨+用婴函、殊硅期右li等表述（表令測+囊表+震表有此表托快别+魏+魏+日时提·（表确重部级数M牛实c上是说。（寿a表函a确无点箍以重部（避开成++魏+日时M沃此定义注意二任一点确无点端0上只，考而殊确无点M于是格定义：快菌数表a表函殊附近负级数别＋另+别表+日时图，次法对于任一、函殊础础时格r轴间1 （.（表令（别+另+别表+明时别）函别右li管表(日计。变释明了两个函数确和布类布积布困确重部级数l于i们确重部级数确和布类布积布困，函数确n年和积阶确重部级数可以’证重部级数确项运算插二M√函数确重部级数次法存a，展必唯一M但二对展理幂，展理严确函数可以格相严确重部级数（例次密或2说M重部级数负意并（还一二微阶方率确n解詹莱M蛋部级数”√是发似级数M次法是收敛级数，就是函数确”V确级数表些式M级数确可和c是函数立成重部级数詹莱确二詹莱M函哇角布弗若宾纽5（Fro收eniu现（18实1实7）布赫尔他（Hlaer)（18o92193·）布塞萨n（验o)（18o921906）布拉一尔容uerre）（183聪1886）和5十尔吉5都尝试证各种-源成刻画级数3可和c，其目3是沃函数3定义扩面二收敛半径对外树于复变函数就是部行解则无拓2M例次前面提二3t6

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沃利斯无法解释的问题（对数函数的展开式在>1时发散）.能否找到哥西收敛的一种推广，使得哥西意义下发散的级数成为收敛的。波莱尔（Borel)(1871-1956)从1895年开始的工作系统地发展了技术的可和性理论．对于任意一个级数ao+aia+a22+.·，用积分定义函数e-"F(za)dz（其中F(u）=ao+aiu＋器u?＋爵u3+·称为原来级数的关联级数）.就定义此积分为为原来级数的和。如果原来级数有收敛半径T，则在收敛区域内此和与原来的级数相等但新定义的和收敛的区域可能比原来的收敛区域要大例如欧拉考虑的级数-(11)r2+(2!)3-(3!)a4+.：的和就是他原来求出的那样.类似地，拉盖尔处理的级数+(11)a2+(21)3+(3!)4+·的和等于Jd波莱尔还进一步地定义了绝对可和级数，即使得（1）上述的积分Joe-"F(z)dz绝对收敛、（2)后续积分Je-"F(-dz都存在的级数ao+a1+a2z2+…。他接着证明了绝对可和的发散级数可以象收敛级数一样地运算。这些性质被直接地应用于微分方程，而且得到的结果也被物理学检验是正确的。发散级数理论的形成是数学成长的有一个具有明显特点的例子：当一个概念或技巧被证明是有用的时候，开始是模糊不清，后来在进行事后思考，最后达到逻辑上的合法性。7

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