高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）63 第六章 微分中值定理及其应用 s19 习题课一

习题课S1拉格朗日定理和函数的单调性第五讲习题课（一）数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 习题课 习题课（一） 第五讲

习题课S1拉格朗日定理和函数的单调性重要内容回顾1.罗尔中值定理：2.拉格朗日中值定理及其推论；3.函数单调性的判定：4.达布定理数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 习题课 重要内容回顾 2. 拉格朗日中值定理及其推论； 3. 函数单调性的判定； 4. 达布定理. 1.罗尔中值定理；

习题课S1拉格朗日定理和函数的单调性补充例题例1 设f(x)在[a,+)上连续，在(a,+)上可导，且lim f(x)= f(a). 证明 e(a,+oo), 使得 f'()=0.证基本想法是作辅助函数，使其满足罗尔定理条件令f(+a-1), te(0,1)g(t) =t=0.f(a),易证 g(t)满足罗尔定理的条件，从而3n E(0,1), 一0,使得 g(n)=0,即 f'(+a-1)=0. 因为所以f(+a-1)=0.令 =+a-1,立即可得f'() = 0, e(a, +)数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 习题课 补充例题 例1 设 fx a ( ) [, ) 在 +∞ 上连续， 1 ( 1), (0,1] ( ) t fa t g t  +− ∈ =   证 在(, ) a +∞ 上可导，且 lim ( ) ( ). x fx fa →+∞ = 证明 ∃ ∈ +∞ ξ ( , ), a 使得 f ′( ) 0. ξ = 基本想法是作辅助函数，使其满足罗尔定理条件. 令 易证 g t( ) 满足罗尔定理的条件，从而 ∃ ∈η (0,1), 使得 g′( ) 0, η = 即 2 1 1 f a ( 1) 0. η η − ′ +− = 因为 2 1 0, η ≠ 所以 1 f a ( 1) 0. η ′ +− = 令 1 a 1, ξ =+− η 立即可得 f a ′( ) 0, ( , ). ξ ξ = ∈ +∞ fa t ( ), = 0

习题课S1拉格朗日定理和函数的单调性例2 设f(x),g(x)在[a,bl上连续，在(a,b)上可导,且g(x)≠0. 证明 3e(a,b)， 使得f() - f(a) f'()g()g(b) - g()证先将上述等式变形：(f() - f(a)g'() =(g(b) -g()f'()令 F(x) =(f(x)- f(a)(g(b)-g(x)),则F(a)=F(b),且F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导。根据罗尔定理，ε(a,b)，使得 F()=0.即(f() - f(a)g'() -(g(b) -g()f'() = 0移项后即得所需结论数学分析第六章行微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 习题课 例2 设 f x gx a b ( ), ( ) [ , ] ( , ) 在 上连续，在 a b 上可导,且 证 证明 ∃ ∈ξ ( , ), a b 使得 先将上述等式变形： ( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( )) ( ). f f a g gb g f ξ ξ ξξ − =− ′ ′ 令 F x f x f a gb gx ( ) ( ( ) ( ))( ( ) ( )), =− − 则Fa Fb ( ) ( ), = 且F x ab ( ) [,] (, ) . 在 上连续,在 a b 上可导 () () () . () () () f fa f gb g g ξ ξ ξ ξ − ′ = − ′ 根据罗尔定理， 即 移项后即得所需结论. ( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( )) ( ) 0. f f a g gb g f ξ ξ ξξ − −− = ′ ′ g x ′( ) 0. ≠ ∃ ∈ξ ( , ), a b 使得 F′( ) 0. ξ =

习题课S1拉格朗日定理和函数的单调性例3设f(x)在[a,bl上连续，在(a,b)上可导.证明如果 f(x)不是线性函数，则存在 i. 5, E(a,b),使得F(5) 0.F(52) = f(52)b-a数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 习题课 例3 设 f x ab ( ) [, ] (, ) 在 上连续，在 a b 上可导. 分析 证明 如果 f x( ) 不是线性函数， 找一个辅助函数F (x)， () () ( ) fb fa f x b a − ′ − − 希望 而且 Fa Fb ( ) ( ). = 由此就变为证明 则存在 1, 2 ξ ξ ∈( , ), a b 使得 1 2 () () ( ) ( ). fb fa f f b a ξ ξ − ′ ′ − 恰为 F x ′( )

习题课S1拉格朗日定理和函数的单调性证根据前面分析令f(b)- f(a)F(x) = f(x)- f(a) -(x-a)b-a f(b)- f(a), F(a) = F(b) = 0.则 F'()= F(5)- b-a：f(x)不是线性函数，：.F(x)也不是线性函数；因此 F(x)0. 从而日x E(a,b),使得 F(xo)≠0,不妨设 F(xo)>0.分别在[a,xl,[xo,b]对F(x)运用拉格朗日中值定理，于是存在i E(xo,b), E(a,x)使得F(b)-F(xo)-F(xo)<0,F'() =b-xob-xoF(xo)F(x) - F(a)70F'(52) =结论得证xo -axo-a数学分析第六章行微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 习题课 () () () () () ( ), fb fa Fx fx fa x a b a − = −− − − 证 根据前面分析令  f x( )不是线性函数， 0 0 1 0 0 () ( ) ( ) ( ) 0, Fb Fx Fx F bx bx ξ − − ′ = = − − ∴F x( )也不是线性函数， 因此 F x( ) ≡ 0. 从而 0 ∃ ∈ x ab ( , ), 使得 0 F x( ) 0, ≠ 不妨设 0 F x( ) 0. > 分别在 [ , ], [ , ] ax x b 0 0 对 F x( )运用 拉格朗日中值定理，于是存在 10 2 0 ξ ξ ∈ ∈ ( , ), ( , ), x b ax 使得 则 1 1 () () () () , fb fa F f b a ξ ξ − ′ ′ = − − Fa Fb ( ) ( ) 0. = = 结论得证

习题课51拉格朗日定理和函数的单调性例4设f(x)在[a,b]上二阶可导，f(a)= f(b)=0.证明 对 uE(a,b), (a,b), 使得f"()f(u)-a)(u-b)2证估计要用两次中值定理：先将等式变形为2f(u)f"() =(u-a)(u-b)令f(u)F(x) = f(x)-(x-a)(x-b)(u-a)(u-b)则 F(a) = f(a)= 0, F(b) = f(b)= 0, 且F(u) = 0.在[a,u]，[u,b]上对F(x)运用罗尔中值定理，得 E (a,u), 52 E(u,b), 使得 F'(5) = F() = 0.数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 习题课 例4 设 f x ab ( ) [, ] 在 上二阶可导，fa fb ( ) ( ) 0. = = 证 证明 对 ∀ ∈ ∃∈ u ab ab ( , ), ( , ), ξ 估计要用两次中值定理. 先将等式变形为 使得 ( ) ( ) ( )( ). 2 f fu u a u b ′′ ξ = −− 令 ( ) () () ( )( ) ( )( ) f u Fx fx x ax b u au b = − −− − − ， Fa fa Fb fb ( ) ( ) 0, ( ) ( ) 0, = = = = 2() ( ) , ( )( ) f u f u au b ′′ ξ = − − 则 且F u( ) 0. = 在 [ , ], [ , ] au ub 上对 F x( )运用罗尔中值定理， 1 2 ∃∈ ∈ ξ ξ ( , ), ( , ), au ub 得 使得 1 2 F F ′ ′ ( ) ( ) 0. ξ ξ = =

习题课S1拉格朗日定理和函数的单调性f(u)而 F'(x)= f'(x)[(x-a)+(x-b)l(u-a)(u-b)在[Si,52]对F'(x)再运用罗尔中值定理，又得 (Si,S) C(a,b), 使得2f(u):0.F"()= f"()(u-a)(u-b)证毕f(u)F(x) = f(x)(x -a)(x-b)(u-a)(u-b)f"(5)f(u-a)(u-b)2数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 习题课 ( ) ( ) ( ) [( ) ( )]. ( )( ) f u Fx fx xa xb uaub ′ ′ = − −+− − − 而 ( ) ( ) ( )( ). 2 f fu u a u b ′′ ξ = −− ( ) () () ( )( ) ( )( ) f u Fx fx x ax b u au b = − −− − − ， 在 [, ] ξ ξ 1 2 对F x ′( ) 再运用罗尔中值定理， 1 2 ∃∈ ⊂ ξ ξξ ( , ) ( , ), a b 又得 使得 2 () () () 0. ( )( ) f u F f u au b ′′ ′′ ξ ξ =− = − − 证毕

习题课S1拉格朗日定理和函数的单调性例5 设f(x)在[a,bl上可导,在(a,b)上二阶可导证明 (a,b),使得(*)f'(b)- f'(a) = f"()(b-a)证 令 F(x)= F(x)- f(a)- I'(b)-I(a)(x-a)b-a则 F(a)= F(b)= 0. 若F(x)=0,则(*)自然成立.若F(x)≠0, 日x E(a,b),使得 F(x)>0 (不妨设),F(xo)对于 C=_0<C<F(xo)，由导数介值定理,2y= F(x)C3a52 bxo数学分析第六章行微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 习题课 例5 设 f x ab ( ) [, ] (, ) . 在 上可导，在 a b 上二阶可导 证 证明 ∃ ∈ξ ( , ), a b 使得 令 () () () () () ( ), fb fa Fx f x f a x a b a ′ ′ − = −− − ′ ′ − 则 Fa Fb ( ) ( ) 0. = = 若F x( ) 0, ≡ 则 ( ) ∗ 自然成立. fb fa f ba ′ ′ ′′ ( ) ( ) ( )( ). −= − ξ ( ) ∗ 若F x( ) ≡ 0, 0 ∃ ∈ x ab ( , ), 使得 0 F x()0 > (不妨设). y Fx = ( ) 0 x C 1 ξ 2 ξ 对于 0 ( ) , 2 F x C = 0 C ( ), < < F x0 由导数介值定理， a b  

习题课S1拉格朗日定理和函数的单调性知 (a,x), 2 E(x,b),使得 F() = F()=C.在[i,32]对F(x)使用罗尔中值定理，得到 E(Si,52) C (a,b), 使得F'(s) = f"()- f'(b)-F(α)2=0b-a移项后即为所证f'(b)- f'(a)F(x) = f'(x)- f'(a)-X-ab-a(*)f'(b) - f'(a) = f"()(b-a)数学分析第六章行微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 习题课 在 [, ] ξ ξ 1 2 对 F x( ) 使用罗尔中值定理， 1 2 ∃∈ ⊂ ξ ξξ ( , ) ( , ), a b 得到 使得 () () () () 0. fb fa F f b a ξ ξ ′ ′ − ′ ′′ =− = − fb fa f ba ′ ′ ′′ ( ) ( ) ( )( ). −= − ξ ( ) ∗ () () () () () ( ), fb fa Fx f x f a x a b a ′ ′ − = −− − ′ ′ − 移项后即为所证. 使得 1 2 知 ∃∈ ∈ ξ ξ 1 02 0 ( , ), ( , ), ax x b FFC () () . ξ ξ = =