高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）62 第六章 微分中值定理及其应用 s18 函数单调性判别，达布定理

函数单调性的判别S1拉格朗日定理和函数的单调性罗尔定理与拉格朗日定理第四讲函数单调性的判别数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 罗尔定理与拉格朗日定理 函数单调性的判别 函数单调性的判别 第四讲

罗尔定理与拉格朗日定理函数单调性的判别S1拉格朗日定理和函数的单调性函数单调性的判别若函数f(x)在区间 I上对任意 Xi,X2I,Xi<X2必有 f(x)≤ f(x2)(f(x)≥ f(x2)，则称函数f(x)在区间I上单调增（单调减）.若“≤(≥)改为严格不等号，则相应地称它为严格增(减)下面的定理是本节中的两个主要定理，今后将不断地使用，我们仅对单调增的情形给出证明，单调减的情形请读者自证数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 罗尔定理与拉格朗日定理 函数单调性的判别 函数单调性的判别 改为严格不等号, 则相应地称它为严格增 (减). 下面的定理是本节中的两个主要定理, 今后将不 若函数 ( ) , , 1 2 f x 在区间 I上对任意 x x ∈ I , x1 < x2 ( ) ( ) ( ( ) ( )), 1 2 1 x2 必有 f x ≤ f x f x ≥ f 则称函数 f (x)在区间 I上单调增 (单调减 ) . 断地使用. 若“ ≤ (≥) ” 函数单调性的判别 我们仅对单调增的情形给出证明，单调减的情形 请读者自证

罗尔定理与拉格朗日定理函数单调性的判别S1拉格朗日定理和函数的单调性定理6.3设f(x)在区间I上可导,则f(x)在区间I上单调增(减)的充要条件是： f'(x)≥0(≤0)证若f为递增函数，则当x,x。EI,x≠x,时，有f(x)- f(xo)≥ 0.x-xo令x→x,即得 f(x)≥0.反之,若f'(x)≥0,xEI. Vxi,x, EI (设x; <x,)由拉格朗日中值定理，3E(xj,x,),f(x2)- f(x) = f'()(x2 -x) ≥ 0,即 f(x2)≥ f(x),这就证明了函数 f(x)递增数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 罗尔定理与拉格朗日定理 函数单调性的判别 定理6.3 设 fx I fx I ( )在区间 上可导,则 ( )在区间 上单调增 (减)的充要条件是: ( ) 0 ( 0). f x ′ ≥ ≤ 证 0 0 () ( ) 0. fx fx x x − ≥ − 0 0 令 x x fx → ≥ , ( ) 0. 即得 ′ 1 2 由拉格朗日中值定理, ( , ), ∃ ∈ξ x x 若 f 为递增函数， 0 0 则当 xx Ix x , , ∈ ≠ 时，有 ( ) ( ) ( )( ) 0 , f x2 − f x1 = f ′ ξ x2 − x1 ≥ 即 ( ) ( ), 2 1 f x ≥ f x 这就证明了函数 f x() . 递增 函数单调性的判别 反之,若 fx x I ′( ) 0, . ≥ ∈ 12 1 2 ∀∈ < xx I x x , ( ), 设

罗尔定理与拉格朗日定理函数单调性的判别51拉格朗日定理和函数的单调性定理6.4可微函数f(x)在区间I上严格增(减)的充要条件是： 对一切x EI,f'(x)≥0(f(x)≤0),且满足f(x)=0 的点集不含一个区间由定理6.3可知f(x)递增.若f(x)不证充分性是严格递增，则存在x,x,EI,x,<x2,使f(x)=f(x2).这就得到f(x)在区间(xj,x)上恒为常数，因此 f(x)=O,xE(x,x,)，矛盾.必要性请读者自证数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 罗尔定理与拉格朗日定理 函数单调性的判别 定理6.4 可微函数 f (x) 在区间 I 上严格增(减)的充要条件 证 充分性 1 2 f x( ). 2 这就得到 fx x x () ( , ) , 在区间 上恒为常数 对一切x If x f x ∈≥ ≤ , ( ) 0( ( ) 0), ′ ′ f x ′() 0 = 的点集不含一个区间. 1 2 f x x xx ′( ) , ( , ), ≡ ∈ 0 矛盾. 必要性请读者自证. 由定理6.3 ( ) . 可知 f x 递增 若f (x)不 是严格递增， 12 1 2 则存在 x x Ix x , , ∈ < 1 使 f x( ) = 函数单调性的判别 因此 是： 且满足

函数单调性的判别S1拉格朗日定理和函数的单调性罗尔定理与拉格朗日定理推论设函数在区间I上可微，若f'(x)>0(f'(x)<0)则f在I上严格增(严格减)在实际应用中我们经常会用到下面这个事实若f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上(严格)增(减)则f(x)在[a,b]上(严格)增(减)作为应用，下面再举两个简单的例子数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 罗尔定理与拉格朗日定理 函数单调性的判别 推论 则 f I 在 上严格增( ). 严格减 在实际应用中我们经常会用到下面这个事实. 若 f x ab ( ) [ , ] ( , ) ( ) ( ), 在 上连续，在 a b 上 严格 增 减 则 f x ab ( ) [ , ] ( ) ( ). 在 上 严格 增 减 作为应用，下面再举两个简单的例子. 设函数在区间I fx fx 上可微，若 ′ ′ ( ) 0 ( ) 0, > < ( ) 函数单调性的判别

罗尔定理与拉格朗日定理51拉格朗日定理和函数的单调性函数单调性的判别例7 设 f(x)=x 3-x.讨论函数 f 的单调区间解 由于 f'(x)= 3x2-1=(V3x+1)(V3x-1))时,因此当x E(-0,一-上严格增，f'(x)>0,在18,1时,当xE('一上严格减，f'(x)0,f在上严格增+8数学分析 第六章 微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 罗尔定理与拉格朗日定理 函数单调性的判别 例7 设 f (x) = x 3 － x. 讨论函数 f 的单调区间. 解 由于 2 fx x x x ′( ) 3 1 ( 3 1)( 3 1), = −= + − 因此 1 (, ) 3 当 x ∈ −∞ − 时， 1 1 ( ,) 3 3 当 x ∈ − 时， 1 (, ) 3 当 x ∈ +∞ 时， 函数单调性的判别 f x ′( ) 0, > 1 , 3 f    −∞    在 上严格增， f ′(x) 0, 1 1 , 3 3 f   −    在 上严格减， 1 , . 3 f    +∞   在 上严格增

罗尔定理与拉格朗日定理函数单调性的判别S1拉格朗日定理和函数的单调性JV=XX1.510.5-0.5.021-1.51.5x1E-0.5-1-1.5数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 罗尔定理与拉格朗日定理 函数单调性的判别 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 -1.5 -1 -0.5 O 0.5 1 1.5 x y 3 yx x = − 函数单调性的判别

罗尔定理与拉格朗日定理函数单调性的判别51拉格朗日定理和函数的单调性例8 证明 e>1+x,x>0.证 设 F(x)=e*-1-x，则F'(x)=e*-1. 所以F'(x)≥0,x E[0,+o0),且当x>0时，F'(x)>0(F(x)=0的点不含一个区间 ).故F(x)在[0,+)上严格递增，所以对任意x>0，恒有F(x) > F(0) = 0,即e*>1+x, x>0.数学分析第六章衍微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 罗尔定理与拉格朗日定理 函数单调性的判别 例8 证明 e > 1+ x , x > 0 . x 证 F(x) e 1 x , x 设 = − − ′( ) = e − 1. x 则F x 所以 F x ′() 0 > ( ( ) 0 F x ′ = 的点不含一个区间 ). 故F x( ) [0, ) 在 +∞ F(x) > F(0) = 0, 即 e > 1+ x, x > 0. x Fx x ′( ) 0, 0, , ≥ ∈ +∞ [ ) 且当x > 0时， 上严格递增，所以对任意x > 0, 恒有 函数单调性的判别

罗尔定理与拉格朗日定理函数单调性的判别51拉格朗日定理和函数的单调性定理6.5（达布定理）如果f在[a,bl 上可导,且f(a)≠f'(b)，k是介于 f'(a)与f'(b)之间的任一实数，则至少存在一点 c(a,b),使得f'(c) = k.达布定理有时也称“导函数介值定理”。达布（Darboux，J.G.1842-1917，法国数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 罗尔定理与拉格朗日定理 函数单调性的判别 定理6.5（达布定理） 一点 c ∈(a,b), 使得 fc k ′() . = 如果 f 在 [a, b] 上可导,且 fa fb + − ( ) ( ), 是介 ′ ′ ≠ 于 fa fb + − ′ ′ () () 与 之间的任一实数， 达布 ( Darboux,J.G. 1842-1917, 法国 ) k 则至少存在 函数单调性的判别 达布定理有时也称“导函数介值 定理

罗尔定理与拉格朗日定理函数单调性的判别S1拉格朗日定理和函数的单调性证 令 F(x)=f(x)- kx,则F'(x)=f'() -k. 根据费马定理，只要证明F(x)在(a,b)上有极值点即可由于F(a)· F'(b)=(f(a)-k)(f'(b)- k)0,F'(b)F(a), F(x2) > F(b) .由此可知，[a,bl上的连续函数F，其最大值必在某一点 c E(a, b)处取得.区间内取得的最大值一定是极大值，由费马定理得F(c)=0，即f'(c)= k, ce(a,b).数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 罗尔定理与拉格朗日定理 函数单调性的判别 Fa Fb ( ) 0, ( ) 0 . + − 设 ′ ′ > > 证 令 F(x) = f (x)－ kx, 费马定理,只要证明 F(x) 在 (a, b) 上有极值点即可. Fa Fb fa k fb k ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) 0, +− + − 由于 ′′ ′ ′ ⋅ = −⋅ −< 根据 可 由第五章第四讲中的例11, 函数单调性的判别 则F ′(x) = f ′(x) －k . 分别存在 一点 c ∈(a,b), 使得 fc k ′() . = 如果 f 在 [a, b] 上可导,且 fa fb + − ( ) ( ), 是介 ′ ′ ≠ 于 fa fb + − ′ ′ () () 与 之间的任一实数， k 则至少存在 由此可知,[a, b] 上的连续函数 F, f ′(c) = k , c ∈(a,b) . 定是极大值, 由费马定理得 F c ′( ) 0, = 某一点 c ∈ (a, b) 处取得. 区间内取得的最大值一 即 其最大值必在