高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）74 第六章 微分中值定理及其应用 s30 函数极值的第一和第二充分条件

第六章数学分析s4函数的极值与最大微分中值定理及其应用（小）值极大（小）值是一、极值判别局部的最大（小）值，宅有看很明显的几何特二、最大值与最小值征.在本节中，我们将逐一研究函数的这些几何特征。*点击以上标题可直接前往对应内容

一、极值判别 极大(小)值是 局部的最大(小)值,它 有着很明显的几何特 征. 在本节中,我们将 逐一研究函数的这些 几何特征. §4 函数的极值与最大 （小） 值 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 二、最大值与最小值 *点击以上标题可直接前往对应内容

极值判别最大值与最小值s4函数的极值与最大（小）值第十六讲函数极值的第一和第二充分条件数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

§4 函数的极值与最大（小）值 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 极值判别 最大值与最小值 函数极值的第一和 第二充分条件 第十六讲 极值判别

极值判别最大值与最小值s4函数的极值与最大（小）值极值判别费马定理告诉我们，可微函数的极值点一定是稳定点.也就是说，在曲线上相应点处的切线一定是水平的我们在这里再次强调：费马定理是在函数可微的条件下建立的．换句话说，若没有可微这个前提条件，费马定理的结论f(x)=0就无从说起数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

§4 函数的极值与最大（小）值 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 极值判别 最大值与最小值 费马定理告诉我们，可微函数的极值点一定是稳 极值判别 我们在这里再次强调：费马定理是在函数可微的 水平的. 定点. 条件，费马定理的结论 f x ′( ) = 0 就无从说起. 条件下建立的. §4 函数的极值与最大（小）值 极值判别 换句话说，若没有可微这个前提 也就是说, 在曲线上相应点处的切线一定是

极值判别最大值与最小值54函数的极值与最大（小）值当然，费马定理的逆命题亦不真．例如函数y=x在点x=0的导数为零但x=0不是它的极值点1下面给出极值的充分条件数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

§4 函数的极值与最大（小）值 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 极值判别 最大值与最小值 当然，费马定理的逆命题亦不真. 3 yx x = = 在点 0的导数为零, 下面给出极值的充分条件. 但 x = 0 不是它的极值点. y O x 例如函数 极值判别

极值判别最大值与最小值s4函数的极值与最大（小）值定理6.11（极值的第一充分条件）设函数f(x)在x连续，在某邻域U(x;S)上可导(i)若当x E(x-S,x)时,f(x)≤0, 当xE(x,x +)时，f'(x)≥0,则 f(x)在点x,取得极小值.(ii)若当x E(x-S,x)时, f(x)≥0, 当x E(xo,x +)时，f(x)≤0,则f(x)在点x取得极大值。证根据导函数的符号判别函数单调性的方法，可以知道该定理的几何意义十分明显．在这里仅给出(i)的证明。数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

§4 函数的极值与最大（小）值 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 极值判别 最大值与最小值 定理6.11（极值的第一充分条件） 设函数 f (x) 在 0 0 x 连续，在某邻域U x  ( ;) . δ 上可导 时，f x ′( ) 0, ≥ 0 0 0 0 (ii) ( , ) , ( ) 0, ( , ) 若当 x x x fx x xx ∈ −δ δ 时 ′ ≥ ∈ + 当 时，f x ′( ) 0, ≤ 0 0 (i) ( , ) ( ) 0, 若当 x x x fx ∈− ≤ δ 时, ′ 0 0 当 x xx ∈ + (, ) δ 极值判别 证 根据导函数的符号判别函数单调性的方法, 可以 的证明. 知道该定理的几何意义十分明显. 在这里仅给出 (i) 0 则 fx x ( ) 在点 取得极小值 . 0 则 fx x ( ) 在点 取得极大值

极值判别$4函数的极值与最大（小）值最大值与最小值因为 f(x)≤0,xE(x -S,x,), f(x)在(x -S,x,I上连续，所以f(x)在(x一S,xl上递减，故f(x)≥ f(xo), xe(x -8,xo)同理可证f(x)在[xo,x+)上递增,故f(x)≥ f(xo) , xe(xo,x。+)于是f(xo)≤ f(x) , xeU°(xo;),即x。是f(x)的一个极小值点·数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

§4 函数的极值与最大（小）值 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 极值判别 最大值与最小值 ( ) 0 , ( , ) , x x x0 x0 因为 f ′ ≤ ∈ − δ 上连续， 0 00 fx fx x x x ( ) ( ), ( , ). ≥ ∈− δ 0 00 fx fx x x x ( ) ( ), ( , ). ≥ ∈+ δ 于是 0 0 fx fx x U x ( ) ( ), ( ; ), ≤ ∈ δ  0 即 是 的一个极小值点 x fx( ) . 0 0 同理可证 fx x x () [ , ) 在 + δ 上递增,故 ( ) ( , ] x x0 x0 f 在 − δ 所以 f (x) 在 (x0 − δ , x0 ]上递减，故 极值判别

极值判别最大值与最小值s4函数的极值与最大（小）值定理6.12（极值的第二充分条件）设f(x)在点x的某领域U(x,;)内可导，f"(x)存在．若f'(xo)=0, f"(x)±0 ,那么x=x。是f(x)的一个极值点，并且(i)f"(x)>0,则 f(x)在x。处取极小值(ii) f"(x.)<0,则 f(x)在x。处取极大值数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

§4 函数的极值与最大（小）值 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 极值判别 最大值与最小值 定理6.12（极值的第二充分条件） 设 f (x) 在点 x0 0 那么 是 的一个极值点 并且 x x fx = ( ) , 0 0 (i) ( ) , ( ) f x fx x ′′ > 0 则 在 处取极小值. 0 0 (ii) ( ) , ( ) . f x fx x ′′ < 0 则 在 处取极大值 0 f x ′() , = 0 0 f x ′′() , ≠ 0 0 0 的某领域 U x( ;) ( ) δ 内可导，f x ′′ 存在. 若 极值判别

极值判别最大值与最小值$4函数的极值与最大（小）值证 同样我们仅证(i)．因为f'(x)f'(x)- f'(xo)f"(x) = limJim>0,x-→xo x - Xox-→>xox-xo所以由保号性,存在S>0, 当x EUxo;S)时,f'(x) > 0.x-xo从而当 xE(x。-S,x) 时，f'(x)0.由极值判别的第一充分条件得知x是极小值点，数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

§4 函数的极值与最大（小）值 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 极值判别 最大值与最小值 所以由保号性， 0 δ δ > ∈ 0, ( ;) xUx 存在 当  时, 0 0 ( ) . f x x x ′ > − 0 0 从而当 xx x ∈ − ( ,) , δ 时 由极值判别的第一充分条件得知 x0 是极小值点 . ( , ) , 当 x ∈ x0 x0 + δ 时 f x ′() . > 0 f x ′() ; 0, 因为

极值判别最大值与最小值$4函数的极值与最大（小）值例1求函数f(x)=3arctanx-lnx的极值点。解由31--(x* -3x + 1) = 0,f'(x)1+x?x(1 + x)x求得稳定点3- V53+V5Xi:, X22253-当时,f'(x)0;时, f'(x)<0.2数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

§4 函数的极值与最大（小）值 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 极值判别 最大值与最小值 例1 求函数 f (x) = 3arctan x − ln x的极值点 . 解 由 2 3 1 ( ) 1 f x x x ′ = − + 求得稳定点 1 2 35 35 , . 2 2 x x − + = = 2 2 ( 3 1) 0, (1 ) x x x x −−+ = = + 极值判别 3 5 0 2 x − 当 0 3 5 , 2 x + 当 > 时 f x ′() . < 0

极值判别最大值与最小值s4函数的极值与最大（小）值山所以 x, 是f(x)的极小值点,4y= 3arctan x- In xxz 是f(x)的极大值点2(参见右图)oxx 4 x数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

§4 函数的极值与最大（小）值 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 极值判别 最大值与最小值 所以 1 x fx 是 ( )的极小值点, 2 x fx 是 () . 的极大值点 (参见右图) x1 x2 y xx = − 3arctan ln x y O 4 2 4 极值判别