高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）67 第六章 微分中值定理及其应用 s23 不定式极限（三）

柯西中值定理不定式极限62柯西中值定理和不定式极限第九讲不定式极限（三）数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §2 柯西中值定理和不定式极限 柯西中值定理 不定式极限 不定式极限（三） 第九讲

柯西中值定理不定式极限S2柯西中值定理和不定式极限3.其他类型的不定式极限不定式极限还有0.0,0±0，1°,0°，80°等类型,它1α 型.们一般均可化为二型或者08下面举例加以说明数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §2 柯西中值定理和不定式极限 柯西中值定理 不定式极限 3. 其他类型的不定式极限 0 0 不定式极限还有 0 , 1 0, , ⋅∞ ∞±∞ ∞ ， ∞ ， 等类型 它 0 . 0 ∞ ∞ 们一般均可化为 型或者 型 下面举例加以说明. 不定式极限

不定式极限柯西中值定理S2柯西中值定理和不定式极限例11 (O . 8 型) 求 lim x ln x.x-0+Inx于是解 注意到xlnx =11xInxxlimlim xlnx = lim= lim(-x) = 0.11x→0+x-→0+x-→>0+x0+x但若采用不同的转化方式：1xlimlim xln x = lim lim x? In x11x-→0+x→0+x→0+x-0txln? xInx很明显，这样下去将越来越复杂，难以求出结果数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §2 柯西中值定理和不定式极限 柯西中值定理 不定式极限 解 1 ln ln , x x x x 注意到 = 于是 但若采用不同的转化方式: 很明显, 这样下去将越来越复杂, 难以求出结果. 例11 0 lim ln . x x x 求 → + ( ) 0⋅ ∞ 型 = , 0 0 lim ln lim 1 ln x x x x x x → → + + = 0 2 1 lim 1 ln x x x → + = − 2 2 0 lim ln x x x → + = − 0 0 ln lim ln lim x x 1 x x x x → → + + = 0 2 1 lim x 1 x x → + = − 0 lim ( ) 0. x x → + = −= 不定式极限

柯西中值定理不定式极限S2柯西中值定理和不定式极限例12 (1° 型)求 lim(cosx)x-01Incos.x0Incosx解(cosx)=e →，而lim是型.0x-0由于1Incosxsinxlim=lim2'x-→0x-0 2x cos x因此lim(cos x) = ex→0数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §2 柯西中值定理和不定式极限 柯西中值定理 不定式极限 解 2 2 1 lncos (cos ) = e , x x x x 由于 2 0 lncos lim x x → x 因此 2 1 1 2 0 lim(cos ) e . x x x − → = 例12 2 1 0 lim(cos ) . x x x → (1 ) ∞ 型 求 不定式极限 0 sin 1 lim , x 2 cos 2 x → x x − = = − 2 0 lncos 0 lim . x 0 x x 而 是 型 →

柯西中值定理不定式极限S2柯西中值定理和不定式极限1rk元例13（0°型）求lim(k> 0) arctanx2X→+8元Inarctanx2解：limttx→+00-1lim二元x-→+0arctanx . kx1 +x2211limk x→+o0元.xarctanx(2数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §2 柯西中值定理和不定式极限 柯西中值定理 不定式极限 解 π ln arctan 2 lim k x x →+∞ x     −    ( ) 1 2 1 lim π arctan 1 2 x k x kx x →+∞ − − =     − ⋅+   1 2 1 1 lim π arctan (1 ) 2 x k k xx x →+∞ − = −   − ⋅+     例13 1 π lim arctan ( 0) . 2 k x x x k →+∞   − >     ( ) 00 型 求 不定式极限

柯西中值定理不定式极限S2柯西中值定理和不定式极限x-k+1'(1+x)-1lim元k x→+0arctanx2(k-1)x-*(1+x2)- +x-k+(1+x)-2xim1k x→+o1+x?lim((k -1)x-k +2x-k+2(1 + x)-)k x→+o= 0,所以，原式= eo =1.数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §2 柯西中值定理和不定式极限 柯西中值定理 不定式极限 1 21 1 (1 ) lim π arctan 2 k x x x k x − + − →+∞ + = − − 21 1 22 2 1 ( 1) (1 ) (1 ) 2 lim 1 1 k k x kx x x x x k x − − −+ − →+∞ − ++ + = − + 所以，原式 = e0 = 1. = 0, 不定式极限 1 2 21 lim(( 1) 2 (1 ) ) k k x kx x x k − −+ − →+∞ =− − + +

不定式极限柯西中值定理s2柯西中值定理和不定式极限1例14（8 -8 型）求 lim2c0Xx→0-cosx112cos°x-2cot? x解limI= limx-→0sin’xx→>0-cosx1-cosxsin' x - 2cos* x + 2cos' x= limx-→0(1-cosx)sin’ x等价无穷小代换sin*x -2cos2 x +2cosx= 2limx4x-→06sinxcosx-6sinxcosx= 2lim4x3x-→0sinx-sinxcosx= 3limlimcosxt3x-→0x-0数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §2 柯西中值定理和不定式极限 柯西中值定理 不定式极限 解 2 0 1 lim 2cot 1 cos x x x →   −     − ( ) 223 2 0 sin 2cos 2cos lim x 1 cos sin xxx x x → − + = − 223 4 0 sin 2cos 2cos 2lim x xxx x → − + = 2 3 0 6sin cos 6sin cos 2lim 4 x xx x x x → − = 2 2 0 1 2cos lim x 1 cos sin x x x →   = −     − 不定式极限 例14 2 0 1 lim 2cot . x 1 cos x → x     −   − ( ) ∞−∞ 型 求 等价无穷小代换 3 0 0 sin sin cos 3lim limcos x x x xx x x → → − =

柯西中值定理不定式极限S2柯西中值定理和不定式极限sinx- sinxcosx= 3limlimcos xtsx-→>0x-→>0sinx-sinxcosxsin x(1 - cos x)=3lim:3limx3tsx-→>0x→0cosx-cos'x+sinx= 3lim3xx→0sin’ x1-cosx= limcosx + limx-0x-→03122数学分析第六章行微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §2 柯西中值定理和不定式极限 柯西中值定理 不定式极限 2 2 2 0 cos cos sin 3lim 3 x xxx x → − + = 2 2 2 0 0 1 cos sin lim cos lim x x x x x x x → → − = + 1 3 1 . 2 2 = += 3 0 sin sin cos 3lim x x xx x → − = 3 0 0 sin sin cos 3lim limcos x x x xx x x → → − = 3 0 sin (1 cos ) 3lim x x x x → − =

不定式极限62柯西中值定理和不定式极限柯西中值定理g(x)/x, x ± 0,例15 设 f(x)0,x = 0.已知 g(0)= g'(0)= 0,g"(0)= 3, 求 f(0)g(x)g(x) -g(0)因为 lim f(x)=lim解limx→0x-→0x-0x= g'(0) = 0,所以 f(x)在x=0处连续.f(x)- f(0)f(x)g(x)f'(0) = limimx→0x-0x-→0x-→0x3g'(x)1g'(x) - g'(0)= limlim022x->02x2 x=0x-0数学分析第六章行微分中值定理及其应用A高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §2 柯西中值定理和不定式极限 柯西中值定理 不定式极限 例15 () , 0 ( ) 0 , 0. gx x x f x x ， 设  ≠ =   = 已知 gg g f (0) (0) 0, (0) 3, (0). = = = ′ ′′ 求 ′ 解 = = g′(0) 0, 所以 fx x () 0 . 在 = 处连续 0 0 ( ) lim ( ) lim x x g x f x x → → 因为 = 0 ( ) (0) lim 0 x gx g x → − = − 不定式极限 0 ( ) (0) (0) lim 0 x fx f f x → − ′ = − 0 ( ) lim x f x x → = 2 0 ( ) lim x g x x → = 0 ( ) lim 2 x g x x → ′ = 0 1 ( ) (0) lim 2 0 x gx g x → ′ ′ − = − (0) 2 1 = g′′ . 2 3 =

柯西中值定理不定式极限S2柯西中值定理和不定式极限例16 设f(x)在[a,+)上连续可微，lim(f(x)+ f'(x))= A. 证明 lim f(x)= A.x-+8X→+证根据洛必达法则，有e* f(x)limlf(x)+ f'(x)lim f(x) = limetx→+o0x->+o= A.数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §2 柯西中值定理和不定式极限 柯西中值定理 不定式极限 证 根据洛必达法则，有 例16 设 在 上连续可微， fx a ( ) [, ) + ∞ lim ( ( ) ( ) ) . lim ( ) . x x fx f x A fx A →+∞ →+∞ += = ′ 证明 x x x x f x f x e e ( ) lim ( ) lim →+∞ →+∞ = lim[ f (x) f (x)] x = + ′ →+∞ = A. 不定式极限