高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）68 第六章 微分中值定理及其应用 s24 习题课二_2

习题课62柯西中值定理和不定式极限第十讲习题课（二）数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §2 柯西中值定理和不定式极限 习题课 习题课（二） 第十讲

习题课62柯西中值定理和不定式极限重要内容回顾1.柯西中值定理：2.不定式的极限数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §2 柯西中值定理和不定式极限 习题课 重要内容回顾 2. 不定式的极限. 1. 柯西中值定理；

习题课S2柯西中值定理和不定式极限补充例题例1 设f(x)在[a,b](b>a>0)上连续，在(a,b)上可导, 证明35,n E (a,b),使得 F()= (b+a)'(n),2n证 观察等式两边，令g(x)=x2,根据柯西中值定理(a,b)，使得['(n(b+ a)=)-()(b +a)= f(b)- f(a)Vb?- a?2nb-a再根据拉格朗日中值定理，3E(a,b)，即可得F'(s) = f(b)- (a) _ (b+ a) '(n)b-a2n数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §2 柯西中值定理和不定式极限 习题课 补充例题 例1 设 f x ab b a ( ) [ , ] ( 0) 在 > > 上连续， 2 2 () () () 2 f fb fa b a η η ′ − = − 证 在(,) a b 上可 导，证明 ∃ ∈ ξ η, ( , ), a b 使得 ( ) () ( ) . 2 b af f η ξ η + ′ ′ = 使得 ( ) b a + 再根据拉格朗日中值定理， 观察等式两边， 2 令 gx x ( ) = ，根据柯西中值定理， ( ) b a + () () . fb fa b a − = − ( ) () = . 2 b af η η () () + ′ ( ) fb fa f b a ξ − ′ = − ∃ ∈η (,) a b ， ∃ ∈ξ (,) a b ，即可得

习题课62柯西中值定理和不定式极限例2 设0 <a<b,则存在(a,b),使得ae° - be" = (1-)e'(a- b).ebe"aeb - be"证 注意到ae' - be"baba1I(a-b)(a-b)abbaCt二，在[a,b]上用柯西中值定理g(x)令 f(x)=一xX得到xeSes-es5e?eSxbaX=ses=(1-1113baxx=5数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §2 柯西中值定理和不定式极限 习题课 例2 设0 , ( , ), << ∈ a b 则存在ξ a b 使得 证 注意到 e e ( ) b a a b a b − − 得到 e e (1 )e ( ). b a a b ab ξ − =− − ξ e e ( ) b a a b ab a b ab − = − e e . 1 1 b a b a b a − = − e () , x f x x 令 = 在[,] a b 上用柯西中值定理, (1 )e . ξ = − ξ 2 2 e e 1 ξ ξ ξ ξ ξ − = − e 1 x x x x x ξ ξ = = ′       = ′       e e 1 1 b a b a b a − − 1 g x( ) x =

习题课s2柯西中值定理和不定式极限x*-x例3 求 limx-ilnx-x+1解先对分子进行处理x* - x = x(xx-1 -1) = x(e(x-1)Inx1(x→1)~ x(x-1)lnx(x → 1),~ (x-1)lnxx-1Inx +(x -1)ln xxXx. limlimlim-1x-1 lnx-x +1x-→1lnx- x+1x-→1xInx + 2xlnx+x-1-2.= lim lim-11-xx-1x-→1数学分析第六章德微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §2 柯西中值定理和不定式极限 习题课 例3 解 1 ( 1) x x x x xx − −= − 求 1 lim . ln 1 x x x x → x x − − + 1 1 ( 1)ln lim lim ln 1 ln 1 x x x xx x x → → xx xx − − ∴ = −+ −+ 先对分子进行处理， ( 1)ln (e 1) x x x − = −  xx x x ( 1)ln ( 1) − →  ( 1)ln ( 1), x xx − → 1 1 ln lim 1 1 x x x x x → − + = − 1 ln 1 lim x 1 xxx → x + − = − 1 ln 2 lim x 1 x → + = − = −2

习题课S2柯西中值定理和不定式极限例4 设f(x)在[a,b]上二阶可导. 证明 日 e (a,b),使得 f(b)-2f()+ f(a) =(b-a) f"()证先将等式变形为f"() _ f(b)-2f()+ f(a)4(b-a)2令 F(x)= f(x)-2f(°)+ f(a), G(x)=(x-a),则 F(x),G(x)在[a,b]上满足柯西中值定理条件，且F(a)=G(a)= 0. 于是 日 , E (a,b), 使得f(b)-2f()+ f(a)F(b)F(b)-F(a)_ F'(S)G(b)(b-a)2G(b) -G(a)G'()F'(5i)- f'(*+i)2(-a)数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §2 柯西中值定理和不定式极限 习题课 例4 设 f x ab ( ) [, ] 在 上二阶可导. 证 证明 ∃ ∈ξ ( , ), a b 先将等式变形为 使得 1 2 2 4 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ). a b fb f fa b a f ξ + − + =− ′′ 令 2 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ), ( ) ( ) , a x Fx f x f fa Gx x a + = − + =− 2 2 ( ) () 2 ( ) () . 4 ( ) a b f fb f fa b a ξ + ′′ − + = − 则 Fx Gx ( ), ( )在 [,] a b 上满足柯西中值定理条件，且 Fa Ga ( ) ( ) 0. = = 1 于是 ∃ ∈ ξ ( , ), a b 使得 2 2 () 2 ( ) () ( ) ( ) ( ) a b fb f fa F b b a G b + − + = − 1 1 ( ) ( ) F G ξ ξ ′ ′ = 1 1 2 1 () ( ) . 2( ) a f f a ξ ξ ξ + ′ ′ − = − () () () () Fb Fa Gb Ga − = −

习题课S2柯西中值定理和不定式极限又f'(x)在[,引]上满足拉格朗日定理条件,故(,)(a,b),使得(b)-2f()+ (a) _ (5)- F()(b-a)2(Si -a)1 f(s)- f'()(5 - a+5)47f"()4f(b)-2f()+ f(a) _ F()- f'(μ)(b-a)22(Si -a)数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §2 柯西中值定理和不定式极限 习题课 1 2 1 ( , ) ( , ), a a b ξ ξ ξ + ∃∈ ⊂ 使得 1 1 2 1 () ( ) 2( ) a f f a ξ ξ ξ + ′ ′ − = − 1 2 1 () [ , ] a f x ξ ξ + 又 ′ 在 上满足拉格朗日定理条件，故 2 2 () 2 ( ) () ( ) a b fb f fa b a + − + − ( ) . 4 f ′′ ξ = 1 1 1 2 1 2 1 () ( ) 4 ( ) a a f f ξ ξ ξ ξ + + ′ ′ − = − 1 2 2 1 2 1 () 2 ( ) () ( ) ( ) ( ) 2( ) a a b fb f fa f f b a a ξ ξ ξ + + −+ − ′ ′ = − −

习题课62柯西中值定理和不定式极限例5 利用柯西中值定理证明不等式元xtanx > x+D1, 证不等式可以化为1t2x+3tsf(x)= tanx, g(x)=x+3f(x),g(x)在[0,t] (01.1+$21+s?0x+一3(: tan x >x, 当 x e (0,)数学分析第六章行微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §2 柯西中值定理和不定式极限 习题课 例5 证 3 π tan , 0 . 3 2 x xx x >+ 1. 因此 fx x ( ) tan , = 使得 3 3 tan 0 0 x x x − + − 2 2 1 tan 1 ξ ξ + = + π 2 ( tan , (0, ))  xx x > ∈ 当 2 2 sec 1 ξ ξ = +