高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）39 40 第四章 函数的连续性 s05习题课七 函数的连续性

函数的连续性习题课第七讲函数的连续性数学分析习题课高等教育出版社

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习题课函数的连续性·函数连续的概念函数f在点x.处连续lim f(x) = f(x.).x-→xoVε>0,38>0,Vx: x-x|<8,I f(x)- f(x)/<8.函数在区间I上连续VxEI，函数f在点x处连续数学分析习题课高等教育出版社

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习题课函数的连续性函数f在点X处左连续lim f(x)= f(xo).x-→xo函数f在点X处右连续lim f(x)= f(x).x-→xo故函数f在点Xo处连续f在点x.处既左连续，又右连续数学分析习题课高等教育出版社

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习题课函数的连续性·归结原则函数f在U°（x）有定义，f在xo处极限存在limx, = Xo,> v(xn)cU°(x)n0lim f(x,)存在。n>00函数f在U(x)有定义，f在xo处连续limx, = Xo,V(xn)cU(x0),n-→lim f(x)= f(x)x-xo数学分析习题课高等教育出版社

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习题课函数的连续性例1.设函数f在点x=0处连续，且满足f(x)= f(2x) ,x E(-00,+0)证明为（-0,+8)上的常函数证明对任意xeR，由条件，可得()f(x)= (n =1,2,因此,f (x)=lim f(x)= limn>00数学分析习题课高等教育出版社

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习题课函数的连续性x=0.由于f在点x=0处连续，且lim2nn-→8因此由归结原则得到lim= f(0)nn→8于是 VxeR,f(x)=f(O)所以f为（-o0,+)上的常函数数学分析习题课高等教育出版社

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习题课函数的连续性例2.设函数在（-80,+8）单调递增，定义g(x) := f(x+0),x e(-00,+0),求证：g在（-,+）上每一点右连续证明首先由函数极限的单调有界定理g 是定义在R上的函数.任取x,ER,由定义，= lim f(y)g(x)=f(x+0)y-→xo数学分析习题课高等教育出版社

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习题课函数的连续性故对 >0，>0,对任何U(x;)81 f(y)-g(x)/<2于是对VxεU°(x;S)，在上面的不等式中令J→xt，得到8[ lim f(y) - g(x) <<8.-2Vr数学分析习题课高等教育出版社

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习题课函数的连续性即对 VxU(x;),有I g(x) - g(x) / <8,lim g(x) = g(xo)因此，x→xo所以，g在x.处右连续g 在（-0,+)上每一点右连续.数学分析习题课高等教育出版社

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习题课函数的连续性·函数的间断点设f在Ux)上有定义，若f在x处不连续，则称x。是f的间断点现设x。是f的间断点，分成以下两种类型lim f(x), lim f(x)都存在，如果x→>xoX→Xo则称x是的第一类间断点否则称x.是f的第二类间断点数学分析习题课高等教育出版社

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