高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）31 第三章 函数极限 s11曲线的渐近线

无穷小量无穷小量渐近线S5无穷大量与无穷小量无穷大量阶的比较第十一讲曲线的渐近线数学分析第三章函数极限高等教育出版社

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无穷小量渐近线无穷小量无穷大量S5无穷大量与无穷小量阶的比较渐近线作为函数极限的一个应用，我们来讨论曲线的渐近线问题在中学里我们已经知道双曲线的标准方程为ybyx=b2aVXab它的渐近线方程为xby=±=x.Vaa数学分析第三章函数极限高等教育出版社

؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hݸिלଞЉݸिسଞ ݸिسଞ ݸिسଞ ঎૝ࡰ ଞלिݸ ૊ࣩࠢ୘ ি଎࢏ ԰Ўߑ᭄ᵕ䰤ⱘϔϾᑨ⫼ˈ ೼Ёᄺ䞠៥ӀᏆ㒣ⶹ䘧ঠ᳆㒓ⱘᷛޚᮍ⿟Ў 1, 2 2 2 2  b y a x ᅗⱘ⏤䖥㒓ᮍ⿟Ў x. a b y r x a b y x a b y  1 2 2 2 2  b y a x o x y 䖥㒓䯂乬. ঎૝ࡰ ៥Ӏᴹ䅼䆎᳆㒓ⱘ⏤

无穷小量渐近线S5无穷大量与无穷小量无穷小量无穷大量阶的比较下面给出渐近线的一般定义定义4设L是一条直线.若曲线C上的动点P沿曲线无限远离原点时，点P与L的距离趋于零则称直线L为曲线C的一条渐近线(如图)yy= f(x)Py=kx+bMNaxA数学分析第三章函数极限高等教育出版社

؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hݸिלଞЉݸिسଞ ݸिسଞ ݸिسଞ ঎૝ࡰ ଞלिݸ ૊ࣩࠢ୘ ؓТ ϟ䴶㒭ߎ⏤䖥㒓ⱘϔ㠀ᅮН. 䆒 L ᰃϔᴵⳈ㒓. ᮴䰤䖰⾏ॳ⚍ᯊ, ߭⿄Ⳉ㒓 L Ў᳆㒓 C ⱘϔᴵ⏤䖥㒓(བ೒). y kx  b D P M N / y f (x) & x y O ঎૝ࡰ 㢹᳆㒓 C Ϟⱘࡼ ⚍P ⊓᳆㒓 ⚍ P Ϣ L ⱘ䎱⾏䍟Ѣ䳊ˈ

无穷小量渐近线无穷小量无穷大量S5无穷大量与无穷小量阶的比较首先，我们来看如何求曲线J=f(x）的斜渐近线。如图所示，设斜渐近线L的方程为=kx＋b．曲线上的动点P(x,J)至直线L的距离为[PN =| PM I-|cosa| =F(x)-x-b]/1+k?由渐近线的定义,x→+ 时（或 x→-8,→8 PN→0，即yy= f(x)Py=kx+bf(x)-kx- bMlim：0.N/1+k?x-→+8a0x1数学分析第三章函数极限高等教育出版社

؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hݸिלଞЉݸिسଞ ݸिسଞ ݸिسଞ ঎૝ࡰ ଞלिݸ ૊ࣩࠢ୘ . 1 ( ) | | | | | cos | 2 k f x kx b PN PM    D ⬅⏤䖥㒓ⱘᅮНˈx o f ᯊ ( ៪ x x o f , o f  0 , 1 ( ) lim 2    o  f k f x kx b x PN o 0 , े 佪ܜ ,៥Ӏᴹⳟབԩ∖᳆㒓 ⱘ᭰⏤䖥㒓. y f (x) བ೒᠔⼎, y kx  b . ᳆ 㒓Ϟⱘࡼ ⚍P(x, y) 㟇Ⳉ㒓 L ⱘ䎱⾏Ў y kx  b D P M N / y f (x) & x y O ঎૝ࡰ 䆒᭰⏤䖥㒓 L ⱘᮍ⿟Ў

无穷小量渐近线无穷小量无穷大量s5无穷大量与无穷小量阶的比较从而b = lim Lf(x)-kxlx→+0又bf(x)- kxXlimJimlim0xx→+0 xxx→+8x-→+8所以,f(x)k= limyy= f(x)xX→+8Py=kx+bCMNf(x)-kx-blim0.α1/1+ k?X→+00xL数学分析第三章函数极限L高等教育出版社

؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hݸिלଞЉݸिسଞ ݸिسଞ ݸिسଞ ঎૝ࡰ ଞלिݸ ૊ࣩࠢ୘ 0 , 1 ( ) lim 2    o  f k f x kx b x Ң㗠 b lim [ f (x) kx]. x  o f জ x f x kx k x f x x x  » ¼ º « ¬ ª  o f of ( ) lim ( ) lim lim 0 , o f x b x ᠔ҹˈ . ( ) lim x f x k xo f y kx  b D P M N / y f (x) & x y O ঎૝ࡰ

无穷小量渐近线无穷小量无穷大量S5无穷大量与无穷小量阶的比较这样就确定了斜渐近线的两个参数f(x)limk=lb= lim [f(x)-kx]xx-→+8x→+80这是沿x轴正向的渐近线的方程．显然沿x轴负向的斜渐近线的斜率和截距分别为f(x)b= lim [f(x)-kx]k = limxx→-8X→-8同样也可以求出沿着x一8的渐近线方程数学分析第三章函数极限高等教育出版社

؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hݸिלଞЉݸिسଞ ݸिسଞ ݸिسଞ ঎૝ࡰ ଞלिݸ ૊ࣩࠢ୘ 䖭ḋህ⹂ᅮњ᭰⏤䖥㒓ⱘϸϾখ᭄˖ , ( ) lim x f x k xo  f b lim [ f (x) kx]. x  o  f 䖭ᰃ⊓ x 䕈ℷ৥ⱘ⏤䖥㒓ⱘᮍ⿟. , ( ) lim x f x k xo  f b lim [ f (x) kx]. x  o  f ৠḋгৃҹ∖ߎ⊓ⴔ x o f ⱘ⏤䖥㒓ᮍ⿟. ⱘ᭰⏤䖥㒓ⱘ᭰⥛੠៾䎱߿ߚЎ ঎૝ࡰ ᰒ✊⊓ x 䕈䋳৥

无穷小量无穷小量渐近线S5无穷大量与无穷小量无穷大量阶的比较注特别当k=0时，该渐近线称为水平渐近线显然，曲线=f(x)有水平渐近线的充要条件是lim f(x)= A (± o)x→+0(lim f(x) = A, lim f(x) = A)若函数f(x)满足lim f(x) = 0x-→xo(lim f(x) = 或lim f(x) = o0),→xxx则称x=xo是曲线y=f(x)的铅直渐近线数学分析第三章函数极限高等教育出版社

؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hݸिלଞЉݸिسଞ ݸिسଞ ݸिسଞ ঎૝ࡰ ଞלिݸ ૊ࣩࠢ୘ 䆹⏤䖥㒓⿄Ў∈ᑇ⏤䖥㒓. lim ( ) (z f) o f f x A x ( lim f (x) A , x o  f 㢹ߑ᭄ f (x)⒵䎇 f o lim ( ) 0 f x x x  f o ( lim ( ) 0 f x x x ߭⿄ x = x0 ᰃ᳆㒓 ⱘ䪙Ⳉ⏤䖥㒓. y f (x) ᳆㒓 y = f (x) ᳝∈ᑇ⏤䖥㒓ⱘܙ㽕ᴵӊᰃ lim f (x) A). x of lim ( ) ), 0  f o f x ៪ x x ঎૝ࡰ ⊼ ⡍߿ᔧ k = 0 ᯊˈ ᰒ✊ˈ

无穷小量渐近线无穷小量无穷大量s5无穷大量与无穷小量阶的比较ts的渐近线。例1求曲线y=x2+2x-3tss解 设f(x)=X*+2x-3 (x+3)(x-I)，易见lim f(x) = 00 ,lim f(x) = o0.x→1并且f(x)在其他点处均有有限极限，所以直渐近线为x =1, x =-3.数学分析第三章函数极限高等教育出版社

؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hݸिלଞЉݸिسଞ ݸिسଞ ݸिسଞ ঎૝ࡰ ଞלिݸ ૊ࣩࠢ୘ ՟1 ∖᳆㒓 2 3 2 3   x x x y ⱘ⏤䖥㒓. 1 lim ( ) , x f x o f ᑊϨ f (x) ೼݊Ҫ⚍໘ഛ᳝᳝䰤ᵕ䰤ˈ x 1, x 3. 㾷 2 3 ( ) 2 3   x x x 䆒 f x Ⳉ⏤䖥㒓Ў lim ( ) . 3 f o f x x ঎૝ࡰ 3 3 1 , ( )( ) x x x   ᯧ㾕 ᠔ҹ

无穷小量渐近线无穷小量无穷大量S5无穷大量与无穷小量阶的比较t2f(x)又 limlim:1，得k=1;x-→0 (x + 3)(x -1)x->00xyf(x)-x =xVx2+2x-3-2x2 +3x11y=x-2x2+2x-30-3x得 b= lim[f(x)-x]=-2.+x00于是求得斜渐近线方程为x=-3x=1y=x－2.（如右图所示）数学分析第三章函数极限高等教育出版社

؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hݸिלଞЉݸिسଞ ݸिسଞ ݸिسଞ ঎૝ࡰ ଞלिݸ ૊ࣩࠢ୘ 1, ( 3)( 1) lim ( ) lim 2   of of x x x x f x x x জ ᕫ k 1; x x x x f x x     2 3 ( ) 2 3 , 2 3 2 3 2 2     x x x x lim [ ( )  ] 2 . o f b f x x x ᕫ Ѣᰃ∖ᕫ᭰⏤䖥㒓ᮍ⿟Ў y x  2 .˄བে೒᠔⼎˅ 1  3 y x  2 O x y x 3 x 1 ঎૝ࡰ