高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）16 第二章 数列极限 s05单调有界定理

第二章数学分析$3数列极限存在的条件数列极限学过数列极限概念后，自然会产生两个问题：一是怎么知道一个数列是收敛的？即极限的存在性问题；二是如何计算数列的极限？其中，判断数列是否收敛，这在极限理论中占有非常重要的地位

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S3数列极限存在的条件第五讲单调有界定理数学分析第二章数列极限高等教育出版社

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单调有界定理S3数列极限存在的条件致密性定理柯西收敛准则定理2.9（单调有界定理）单调有界数列必有极限证不妨设{a,}单调增,有上界．由确界定理，存在supla,}=.由上确界的定义，对于任意的 ε>0,存在no’使an。>-ε．故当 n>no(=N)时,-no)MoVx5-85+8后退前进目录退出数学分析第二章数列极限1高等教育出版社

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单调有界定理s3数列极限存在的条件致密性定理柯西收敛准则例1设a=~2,...,an= V2+V2+...+~2求 lim an'nn解 显然 a,>0.因 a,=2+~2，故a,>a；设an>an-1, 则有an+1-an=/2+an-/2+an-1an-an-1>0J2+an + J2+an-1所以a,递增显然，a=V2<2，设a,<2，则an+1=/2+an</2+2=2.由此得到(a,}有上界2，故极限 lima,=A存在。n0数学分析第二章数列极限高等教育出版社

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单调有界定理s3数列极限存在的条件致密性定理柯西收敛准则于是由lim an+1 = lim2+an，可得n→nA2=2+A，并解出 A=2,A=-1.由极限的不等式性，知道 A>0，所以lima,=2.n8数学分析第二章数列极限高等教育出版社

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单调有界定理s3数列极限存在的条件致密性定理柯西收敛准则例2下面的叙述错在哪儿？“设a,=2",n=1,2,..",则An++ = 2+ = 2an.因为显然有a,>0，所以(a,}递增.设 lima,=A,n8从而得出A=2A=A=0.即lim2n=0.”n→0数学分析第二章数列极限高等教育出版社

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s3数列极限存在的条件单调有界定理致密性定理柯西收敛准则以前知道圆周率元是一个重要的无理数，现在来介绍另一个重要的无理数e.考察数列(e,}={(1+)"《的收敛性，n利用几何算术平均数的关系，有1n个n+1n+1+yn+1数学分析第二章数列极限高等教育出版社

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单调有界定理s3数列极限存在的条件致密性定理柯西收敛准则n =1,2,...因此<een+1n故{e.是单调增数列利用二项式展开，得n(n-1)11n(n-1)...1 1e. =1+n-21ha2!n!nn2-_1)(1-2)(1-1!2!3!nnY)...(1)(1 -(1)一n!nnn数学分析第二章数列极限高等教育出版社

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单调有界定理S3数列极限存在的条件致密性定理柯西收敛准则1111(2)e. ≤1+3!1!2!n!111由此e,≤1+1+8记此极限为e，即e = lim(1 +n>00n)+1(1--)(1-2)01!213(1--)(1-2)..(1-(1)n1n数学分析第二章数列极限K高等教育出版社

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53数列极限存在的条件单调有界定理致密性定理柯西收敛准则11*例3设s,=1+n=1!2!3!nlim s, =e.证明：n>8证显然(s,}是单调增数列，且由例2中的(2)式1111112!3!n!113.=s.,00e = lime, ≤ lim sn.n>0n>00又对任意n>m,数学分析第二章数列极限高等教育出版社

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