高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）11 第二章 数列极限 s02数列极限的概念2

OS0E数列的按定义验证再论“&-N"一些例子51数列极限的概念典的的定定义定义极限第二讲数列极限的概念 2数学分析第二章数列极限高等教育出版社

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数列的按定义验证再论"8-N"一些例子51数列极限的概念的R定义定义极限"-N"定义再论从定义及上面的例题我们可以看出：1.ε的任意性：定义中的ε用来刻画数列a,的通项与定数a的接近程度.显然正数ε愈小，表示a,与α接近的程度愈高；ε是任意的，这就表示an与a可以任意接近要注意，ε一旦给出,在接下来计算N的过程中它暂时看作是确定不变的数学分析第二章数列极限高等教育出版社

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数列的按定义验证再论"&-N"一些例子S1数列极限的概念的定义极限定义8此外，又因ε是任意正数，所以2,38,等，-2均可看作任意正数，故定义1中的不等式lan-a|<可以用la,一al<K（K为某一正常数）来代替再有，我们还可以限定ε小于某一个正数（比如<1）.事实上，对0<ε<1若能验证an满足定义1，那么对ε≥1自然也可以验证成立数学分析第二章数列极限高等教育出版社

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数列的按定义验证再论"8-N"一些例子51数列极限的概念典的的定定义定义极限2.N的相对性：从定义1中又可看出，随着ε 的取值不同，N当然也会不同．但这并不意味着N是由ε 唯一确定.例如,当n>N时，有lan -alN,=2N时，对于同样的ε，更应有lan -al<8.也就是说，在这里只是强调N的存在性，而不追求N的“最佳性”。数学分析第二章数列极限高等教育出版社

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数列的按定义验证再论“-N一些例子51数列极限的概念典的定义极限定义3.极限的几何意义从几何上看，“n>N时有la一a<ε”,实际上就是所有下标大于N的an全都落在邻域 U(a;)之内，而在U(a;ε)之外,1a至多只有有限项(N项)aN+2aN+1xaa+ea-eaiaz数学分析第二章数列极限高等教育出版社

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数列的按定义验证再论“-N一些例子S1数列极限的概念典的定义定义极限反过来,如果对于任意正数ε.落在U(a;)之外至多只有有限项，设这些项的最大下标为N这就表示当n>N时，a,EU(a;)，即lima.=an→8以上是定义1的等价说法，写成定义就是定义1'任给ε>0，若在U(a;ε）之外至多只有(an}的有限多项，则称数列（a}收敛于a。数学分析第二章数列极限高等教育出版社

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数列的按定义验证再论"&-N"一些例子S1数列极限的概念-的定义定义极限这样，（an}不以a为极限的定义也可陈述为：存在80 > 0,在（a-，a+）外有（an中的无限多项注1（an}无极限（即发散）的等价定义为：an不以任何实数a为极限注2数列α，减少、增加、改变有限项的值不影响数列的敛散性，也不改变其极限值例如，若 lima,=a，则数列(an+)收敛，且liman+=a.n>8n>0数学分析第二章数列极限高等教育出版社

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快再论"&-N"数列的按定义验证一些例子51数列极限的概念典的的定定义定义极限4.无穷小数列和无穷大数列定义2P若lima,=0,则称a为无穷小数列n-00n和例如是无穷小数列n当[<1时，{q"是无穷小数列以下定理显然成立，请读者自证定理2.1数列a.收敛于a的充要条件是：(an-a)是无穷小数列.数学分析第二章数列极限高等教育出版社

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数列的再论"&-N"O按定义验证一些例子51数列极限的概念典的的定定义定义极限定义3设a是一数列,若对任意G>0,总存在正整数N,使得当n>N时,有an>G，则称{a}是无穷大数列，记作lima, = o0.n->00若an>G,改为a,>G或an00n->0数学分析第二章数列极限高等教育出版社

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数列的按定义验证再论“&-N一些例子s1数列极限的概念典的的定义极限定义例如，(n),是正无穷大数列{-2"}是负无穷大数列数列(1+(-1)")n虽然无界但不是无穷大数列数学分析第二章数列极限高等教育出版社

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