高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）20 第三章 函数极限 s02函数极限的概念2

单侧极限s1函数极限概念趋于时的函数极限趋于.时的函数极限第二讲函数极限的概念 2数学分析第三章函数极限高等教育出版社

؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hӠ߃ݤୡڽࠃ xમиfࣩݿӠ߃ݤୡ xમиx0 ࣩݿӠ߃ݤୡ ԤҊ߃ୡ আиઔ ھࠢஒङߢރӡ

单侧极限s1函数极限概念x趋于o时的函数极限趋于，时的函数极限定义2设f(x)定义在(一80,b)上，A是一个常数若对于任意ε>0,存在 M>0,当x<-M(<b)时f(x)-A<8,则称f(x)当x→-o时以A为极限记为lim f(x) = Ax→-0或f(x)→A (x→-80)数学分析第三章函数极限高等教育出版社

؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hӠ߃ݤୡڽࠃ xમиfࣩݿӠ߃ݤୡ xમиx0 ࣩݿӠ߃ݤୡ ԤҊ߃ୡ ؓТ f (x)  A  H , 䆒 f (x)ᅮН೼ f,b@Ϟ, AᰃϔϾᐌ᭄. 㢹ᇍѢӏᛣH ! 0 , ᄬ೼ M ! 0, ᔧ x Mb   ( )  ᯊ 䆄Ў f x A x o f lim ( ) ៪f (x) o A (x o f). ߭⿄f (x)ᔧ x o f ᯊҹ AЎᵕ䰤, xમиfࣩݿӠ߃ݤୡ

单侧极限s1函数极限概念x趋于时的函数极限趋于，时的函数极限定义3设f(x)定义在的某个邻域 U()内，A是一个常数.若对于任意ε>0,存在 M>0，当|x|>M时f(x)-A|<8,则称f(x)当x→8o时以A为极限，记为lim f(x) = AO-或 f(x)→A (x→0)数学分析 第三章函数极限高等教育出版社

؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hӠ߃ݤୡڽࠃ xમиfࣩݿӠ߃ݤୡ xમиx0 ࣩݿӠ߃ݤୡ ԤҊ߃ୡ ؓТ ߭⿄ f (x)ᔧ x o f ᯊҹ A Ўᵕ䰤ˈ 䆄Ў f (x)  A  H , 䆒 f (x)ᅮН೼fⱘᶤϾ䚏ඳ U(f)ݙ ,AᰃϔϾᐌ ᭄. f x A x of lim ( ) ៪f (x) o A (x o f). 㢹ᇍѢӏᛣ H ! 0, ᄬ೼M ! 0ˈᔧ x M! ᯊ xમиfࣩݿӠ߃ݤୡ

单侧极限s1函数极限概念x趋于时的函数极限趋于，时的函数极限例3 证明lim e*=0.证 对于任意正数 ε(0<<1),取 M=-ln8,当x<-M=ln&时e*-0=e<.这就是说lim e* = 0.x→-00数学分析第三章函数极限高等教育出版社

؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hӠ߃ݤୡڽࠃ xમиfࣩݿӠ߃ݤୡ xમиx0 ࣩݿӠ߃ݤୡ ԤҊ߃ୡ 䆕 ᇍѢӏᛣℷ᭄ H (0  H  1), প M lnH , ᔧ x M   lnH ᯊ 䖭ህᰃ䇈 ՟3 䆕ᯢ lim e 0. x xof e  0 e  H . x x lim e 0. of x x xમиfࣩݿӠ߃ݤୡ

单侧极限1函数极限概念x趋于时的函数极限趋于，时的函数极限10例4证明limx-→1+ x1证对于任意正数ε可取M当|x|>M时,有818.<2x+所以结论成立数学分析第三章函数极限高等教育出版社

؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hӠ߃ݤୡڽࠃ xમиfࣩݿӠ߃ݤୡ xમиx0 ࣩݿӠ߃ݤୡ ԤҊ߃ୡ ՟4 䆕ᯢ 0. 1 1 lim 2 xof  x 2 1 0 1 x   ᠔ҹ㒧䆎៤ゟ , 1 H 䆕 ᇍѢӏᛣℷ᭄ H , ৃপM ᔧ x ! M ᯊ, ᳝ 2 1 , x   H xમиfࣩݿӠ߃ݤୡ

单侧极限1函数极限概念x趋于时的函数极限趋于，时的函数极限从定义1、2、3不难得到：定理3.1f(x)定义在 的一个邻域内，则limf(x)=A的充要条件是：X→00lim f(x)= lim f(x)= A.x→-0x80元元lim arctanx =例如lim arctanx =2'2-→+00x-→-0则由定理3.1，limarctanx不存在。x-→00数学分析第三章函数极限高等教育出版社

؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hӠ߃ݤୡڽࠃ xમиfࣩݿӠ߃ݤୡ xમиx0 ࣩݿӠ߃ݤୡ ԤҊ߃ୡ ࣂؓ ҢᅮН1ǃ2 ǃ3 ϡ䲒ᕫࠄ : lim f (x) lim f (x) A. x x o f o f f (x)ᅮН೼ f ⱘϔϾ䚏ඳݙˈ x x lim arctan ߭⬅ᅮ⧚ of 3.1ˈ ϡᄬ೼. f x A x of lim ( ) ⱘܙ㽕ᴵӊᰃ˖ π lim arctan , x 2 x o f ՟བ  ߭ xમиfࣩݿӠ߃ݤୡ π lim arctan , x 2 x of

单侧极限s1函数极限概念趋于时的函数极限x趋于x，时的函数极限x趋于xo时的函数极限设函数f(x)在点xo的某空心邻域 U°(xo)内有定义,下面我们直接给出函数f(x)当x→x时以常数 A为极限的定义。数学分析第三章函数极限高等教育出版社

؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hӠ߃ݤୡڽࠃ xમиfࣩݿӠ߃ݤୡ xમиx0 ࣩݿӠ߃ݤୡ ԤҊ߃ୡ x૟йx0ޞङӡߢރஒ 䆒ߑ᭄ f (x) ೼⚍ x0 ⱘᶤぎᖗ䚏ඳ ( )ݙ᳝ᅮН U x0 $ Ўᵕ䰤ⱘᅮН. ϟ䴶៥ӀⳈ᥹㒭ߑߎ᭄ f (x) ᯊҹᐌ᭄ A ᔧ x o x0 xમиx0 ࣩݿӠ߃ݤୡ

单侧极限s1函数极限概念趋于时的函数极限x趋于x时的函数极限定义1设f(x)在点 xo的某空心邻域U°(x)内有定义，A是一个常数.如果对于任意正数 ε.存在正数S,当xeU°(x,8) cU°(x)时f(x)-A<8,则称f(x)当x→x时以A为极限.记为lim f(x) = Ax-→xo或者 f(x)→A (x→x)数学分析第三章函数极限高等教育出版社

؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hӠ߃ݤୡڽࠃ xમиfࣩݿӠ߃ݤୡ xમиx0 ࣩݿӠ߃ݤୡ ԤҊ߃ୡ ؓТ 0 lim ( ) x x fx A o ៪㗙 ( ) ( ). x A x x0 f o o 0 ߭⿄fx x x A () . ᔧ o ᯊҹ Ўᵕ䰤 䆄Ў f (x)  A  H , AᰃϔϾᐌ᭄.བᵰᇍѢӏᛣℷ᭄ H , ᄬ೼ℷ᭄Gˈ xમиx0 ࣩݿӠ߃ݤୡ 䆒 f (x) ೼⚍ x0 ⱘᶤぎᖗ䚏ඳ 0 ( ) o U x ݙ᳝ᅮНˈ 0 0 ( ,) ( ) o o ᔧxUx Ux  G  ᯊ

91函数极限概念单侧极限趋于时的函数极限x趋于x时的函数极限Vx+1-~21例5证明 lim2/2x-1x-1分析对于任意正数，要找到S>0，当0<[x-1|<s时，使Vx+1-V2112V22/2x-1Vx+1+V2Vx+1-V2x-1<6.(*)2/2(/x+1+ ~2) 2/2(/x+1+ /2)x-1≤|x-1|,因2~2(~x+1 + ~2)2只要x-1<8,(*)式就能成立，故取8=ε即可数学分析 第三章函数极限L高等教育出版社

؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hӠ߃ݤୡڽࠃ xમиfࣩݿӠ߃ݤୡ xમиx0 ࣩݿӠ߃ݤୡ ԤҊ߃ୡ 12 1 1 2 2 x x     ( ) 1 2 2 2( 1 2) x x     ՟5 䆕ᯢ . 2 2 1 1 1 2 lim 1    o x x x ߚᵤᇍѢӏᛣℷ᭄ H , 㽕ᡒࠄG ! 0, ᔧ0  | x 1|  G ᯊ, 1 1 x 1 2 22    2 1 . 2 2( 1 2) x x H     Փ 2 1 1 , 2 2( 1 2) x x x  d    ಴ া㽕 x  1 ,( ) H ᓣህ㛑៤ゟ, ᬙপ G H ेৃ. xમиx0 ࣩݿӠ߃ݤୡ

单侧极限S1函数极限概念x趋于时的函数极限x趋于时的函数极限证任给正数ε,取=8，当0<x-x<时x-1Vx+1-V22/22/2(x+1+2)x-1≤|x-1<8,这就证明了￥1Vx+1-~2lim2V2x-1x-1[x - 1]V21Vx+1-v≤x-1lim2/2’ 2/2(/x+1+/2)x-1x-1数学分析第三章函数极限F-高等教育出版社

؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hӠ߃ݤୡڽࠃ xમиfࣩݿӠ߃ݤୡ xમиx0 ࣩݿӠ߃ݤୡ ԤҊ߃ୡ 2 1 1 22 1 2 ( ) x x x  d    䖭ህ䆕ᯢњ 12 1 1 2 2 x x     . 2 2 1 1 1 2 lim 1    o x x x 䆕 পG H , 0 ӏ㒭ℷ᭄ H , ᔧ0   x x G ᯊ d x  1 ,  H 1 12 1 1 2 2 lim , x x o x    2 1 22 1 2 ( ) x x    xમиx0 ࣩݿӠ߃ݤୡ