高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）30 第三章 函数极限 s10无穷大量

无穷小量无穷小量渐近线S5无穷大量与无穷小量无穷大量阶的比较第十讲无穷大量数学分析第三章函数极限高等教育出版社

؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hݸिלଞЉݸिسଞ ݸिسଞ ݸिسଞ ঎૝ࡰ ଞלिݸ ૊ࣩࠢ୘ আԝઔ ୏ם॰ޗ

无穷小量渐近线无穷小量S5无穷大量与无穷小量无穷大量阶的比较无穷大量定义2设函数f 在U（x）有定义，若对于任给G>0,存在S>0，使得当xEUx;)CUx）时，有Lf(x)I>G则称函数f(x)当x→xo时为无穷大量，记作lim f(x) = 00.x→xo若定义中的Lf(x)I>G改为 f(x)>G或 f(x)<-G记作lim f(x) = +oo或 lim f(x) = -o0.x-→xox-→xo数学分析第三章函数极限高等教育出版社

؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hݸिלଞЉݸिسଞ ݸिسଞ ݸिسଞ ঎૝ࡰ ଞלिݸ ૊ࣩࠢ୘ ᅮН | ( )| , fx G! lim ( ) . 0 f o f x x x ᄬ೼ G > 0ˈ ߭⿄ߑ᭄ f (x) ᔧ xo x0 ᯊЎ᮴か໻䞣, 䆄԰ ᳝ ୏ם॰ޗ 㢹ᅮНЁⱘ| ( )| ( ) fx G fx G ! ! ᬍЎ 䆄԰ 0 lim ( ) x x f x o f 䆒ߑ᭄ f ೼ ( ) ᳝ᅮН, 㢹ᇍѢӏ㒭G > 0, U x0 $ ଞלिݸ ( ; ) ( ) x U x0 U x0 $ $ Փᕫᔧ  G  ᯊ ៪ fx G () ,   0 lim ( ) . x x ៪ f x o f

无穷小量近线无穷小量S5无穷大量与无穷小量无穷大量阶的比较相应地称f(x)为x→x,时的正无穷大量和负无穷大量.类似地可以定义如下的无穷大量：lim f(x)=0, lim f(x)=+o0, lim f(x)=-o0;x-→>+x→+00x+8lim f(x)= o0, lim f(x)=+o0, lim f(x)=-o0;x→-00x→-80x→-8lim f(x)= 00 ,lim f(x) = +o0, lim f(x)= -0 .x→00x→>0x8请读者自行写出它们的定义数学分析第三章函数极限高等教育出版社

؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hݸिלଞЉݸिسଞ ݸिسଞ ݸिسଞ ঎૝ࡰ ଞלिݸ ૊ࣩࠢ୘ 䇋䇏㗙㞾㸠ߎݭᅗӀⱘᅮН. lim ( ) f , lim ( ) f , lim ( )  f ; o f o f o f f x f x f x x x x lim ( ) f , lim ( ) f , lim ( )  f ; o f o f o f f x f x f x x x x lim ( ) f , lim ( ) f , lim ( )  f . of of of f x f x f x x x x 0 Ⳍᑨഄ⿄ fx x x ( )Ў o ᯊⱘℷ᮴か໻䞣੠䋳᮴ ㉏ԐഄৃҹᅮНབϟⱘ᮴か໻䞣 か໻䞣 ଞלिݸ

无穷小量渐近线无穷小量无穷大量S5无穷大量与无穷小量阶的比较1例3证明lim+8x→0x1证G>0,取当 0G2JG1所以lim+82x-→0 x lim a*=+o0.例4当a>1时，证明x+8证G>0（不妨设G>1),取M =log,G，由对数函数 logax 的严格递增性，当x>M时，a＊>G,这就证明了lima*=+o。x+8数学分析第三章函数极限高等教育出版社

؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hݸिלଞЉݸिسଞ ݸिسଞ ݸिسଞ ঎૝ࡰ ଞלिݸ ૊ࣩࠢ୘ ՟3 . 1 lim 2 0  f xo x 䆕ᯢ ᔧ 0 | x | G ᯊ, , 1 2 G x ! . 1 lim 2 0 f xo x ᠔ҹ ՟4 ᔧ a > 1 ᯊˈ䆕ᯢ lim f. o f x x a 䖭ህ䆕ᯢњ lim f . of x x a ߑ᭄ loga x ⱘϹḐ䗦๲ᗻˈ a G , x ᔧ x > M ᯊˈ ! 䆕 G > 0 পM G log , a ⬅ᇍ᭄ 䆕 G ! 0, , 1 G পG ଞלिݸ ( ϡོ䆒 G > 1 ),

无穷小量渐近线无穷小量无穷大量s5无穷大量与无穷小量阶的比较例5证明lim Inx=-0.0证 对VG>0,要找到>0,使得V00即可lim an = +o0.例6设(an}递增，无上界．证明n→80证因为(an)无上界，所以任给G>0，存在 no，使an。>G.又因(an)递增，故当n>no时，有an≥an >G,即 lim a, =+oo.n→00数学分析第三章函数极限高等教育出版社

؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hݸिלଞЉݸिسଞ ݸिسଞ ݸिسଞ ঎૝ࡰ ଞלिݸ ૊ࣩࠢ୘ , 0 an t an ! G lim f . o f n n े a ՟ 䆒 䗦๲ˈ᮴Ϟ⬠. 䆕ᯢ lim f . o f n n { } a an 䆕 ಴Ў {an }᮴Ϟ⬠ˈ ՟5 0 lim ln . x x o  䆕ᯢ f ln . x G   ⬅Ѣ ln x ऩ䇗๲ . জ಴{a n }䗦๲ˈᬙᔧn! n0ᯊˈ 0 Փan ! G 䆕 ᇍG ! 0, Փᕫ0  x  G , ଞלिݸ ᳝ ᳝ 㽕ᡒࠄG ! 0, e0 . G G  া㽕প ! ेৃ ᠔ҹӏ㒭 G > 0ˈ , ᄬ೼ n0

无穷小量近线无穷小量无穷大量S5无穷大量与无穷小量阶的比较从无穷大量的定义与例3、例4和例5可以看出：无穷大量不是很大的一个数，而是具有非正常极限的变量.很明显，若 lim(x)=o0，那么f(x)在xox-→xo的任何一个邻域内无界。但值得注意的是：f(x)在xo的任何邻域内无界(称f(x)是x→xo时的无界量)并不能保证f(x)是x→xo的无穷大量例如：f(x)=xsinx 在 o 的任何邻域内无界却不是x→8时的无穷大量．事实上，对数学分析第三章函数极限高等教育出版社

؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hݸिלଞЉݸिسଞ ݸिسଞ ݸिسଞ ঎૝ࡰ ଞלिݸ ૊ࣩࠢ୘ Ң᮴か໻䞣ⱘᅮНϢ՟3ǃ՟4੠՟5ৃҹⳟߎ˖ ᮴か໻䞣ϡᰃᕜ໻ⱘϔϾ᭄ˈ ⱘব䞣 . ⱘӏԩϔϾ䚏ඳݙ᮴⬠. ՟བ˖ f (x) xsin x ೼ f ⱘӏԩ䚏ඳݙ᮴⬠ˈ ैϡᰃ x o f ᯊⱘ᮴か໻䞣. x0 ⱘӏԩ䚏ඳݙ᮴⬠ ᕜᯢᰒ 䙷М f (x) ೼ x0 , 㢹 lim ( ) , 0 f o f x x x Ԛؐᕫ⊼ᛣⱘᰃ ଞלिݸ ᑊϡ㛑ֱ䆕 f (x) ᰃ x o x0 ⱘ᮴か໻䞣. 㗠ᰃ݋᳝䴲ℷᐌᵕ䰤 f (x) ೼ (⿄ f (x) ᰃ x o x0 ᯊⱘ᮴⬠䞣) џᅲϞ, ᇍ

无穷小量渐近线无穷小量无穷大量S5无穷大量与无穷小量阶的比较元x, = 2nπ +yn =2n元, n=1,2,...12有f(xn)→, f(yn)-→0.因而,f(x)不是x→>8 时的无穷大量两个无穷大量也可以定义阶的比较，数学分析第三章函数极限高等教育出版社

؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hݸिלଞЉݸिسଞ ݸिسଞ ݸिسଞ ঎૝ࡰ ଞלिݸ ૊ࣩࠢ୘ π 2 π , 2 n x n  ಴㗠 f (x)ϡᰃ xof ᯊⱘ᮴か໻䞣. ᳝ ( ) o f , ( ) o 0 . n n f x f y ϸϾ᮴か໻䞣гৃҹᅮН䰊ⱘ↨䕗 . ଞלिݸ 2 π, 1,2, , n y nn

无穷小量渐近线无穷小量无穷大量s5无穷大量与无穷小量阶的比较设 lim f(x) = lim g(x) = 00 .x-→>xox-→xof(x)2=0, 则称 x→x,时 g(x)是关于 (x)1. 若 limg(x)x→xo的高阶无穷大量2.若存在正数L,K 和正数，使 xεUxo,)时，f(x)L≤≤Kg(x)则称f(x)与g(x)是当x→xo时的一个同阶无穷大量.数学分析第三章函数极限高等教育出版社

؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hݸिלଞЉݸिسଞ ݸिسଞ ݸिسଞ ঎૝ࡰ ଞלिݸ ૊ࣩࠢ୘ ⱘ催䰊᮴か໻䞣. 2. 㢹ᄬ೼ℷ᭄ L , K ੠ℷ᭄ G , Փ ( , ) , x U$ x0 G ᯊ , ( ) ( ) K g x f x L d d ߭⿄ f (x) Ϣ g (x) ᰃᔧ x o x0 ᯊⱘϔϾৠ䰊᮴か ໻䞣. 0 0 lim ( ) lim ( ) . xx xx f x gx o o 䆒 f ଞלिݸ 0 ( ) 1. lim 0 ( ) x x f x o g x 㢹 ˈ 0 ߭⿄ x x gx f x o ᯊ () () ᰃ݇Ѣ

无穷小量无穷小量无穷大量渐近线S5无穷大量与无穷小量阶的比较f(x)=1,则称 x→x, 时 g(x)是关于 f(x)3. 若 limg(x)x-→xo的等价无穷大量，记为f(x)~ g(x), x →xo.下述定理反映了无穷小量与无穷大量之间的关系直观地说：无穷大量与无穷小量构成倒数关系定理3.13(1)若f 为x→>xo时的无穷小量，且不等于零，则一为x→x时的无穷大量。(2) 若g 为 x→>x时的无穷大量,则=为x→x,时g的无穷小量数学分析第三章函数极限高等教育出版社

؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hݸिלଞЉݸिسଞ ݸिسଞ ݸिسଞ ঎૝ࡰ ଞלिݸ ૊ࣩࠢ୘ ࣂؓ ⱘㄝӋ᮴か໻䞣ˈ䆄Ў ( ) ~ ( ) , . x g x x x0 f o ϟ䗄ᅮ⧚ড᯴њ᮴かᇣ䞣Ϣ᮴か໻䞣П䯈ⱘ݇㋏, Ⳉ㾖ഄ䇈˖᮴か໻䞣Ϣ᮴かᇣ䞣ᵘ៤צ᭄݇㋏. (1) 㢹 f Ў xox0 ᯊⱘ᮴かᇣ䞣, Ўf 1 . ߭ x o x0ᯊⱘ᮴か໻䞣 ⱘ᮴かᇣ䞣. ଞלिݸ 0 ( ) 3. lim 1 ( ) x x f x o g x 㢹 ˈ 0 ߭⿄ x x gx f x o ᯊ () () ᰃ݇Ѣ ϨϡㄝѢ䳊ˈ (2) 㢹 g Ў xox0 ᯊⱘ᮴か໻䞣, 0 1 x x g ߭ Ў o ᯊ

无穷小量近线无穷小量无穷大量s5无穷大量与无穷小量阶的比较(1）若f 为x→>xo时的无穷小量，且不等为x→x,时的无穷大量.于零，则证这里仅证明定理的(1)：对于任意正数G，因为f为x→x时的无穷小量，所以存在>0，使得当0G.-f(x)1lim这就证明了8f(x)x-→xo数学分析第三章函数极限高等教育出版社

؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hݸिלଞЉݸिسଞ ݸिسଞ ݸिسଞ ঎૝ࡰ ଞלिݸ ૊ࣩࠢ୘ 䆕 ᔧ0  | x  x0 |  G ᯊ, ᳝ 䖭ህ䆕ᯢњ . ( ) 1 lim 0 f xox f x f Ў x o x0 ᯊⱘ᮴かᇣ䞣ˈ᠔ҹᄬ೼ G ! 0 , Փᕫ (1) 㢹 f Ў xox0 ᯊⱘ᮴かᇣ䞣, Ѣ䳊ˈ ଞלिݸ Ўf 1 . ߭ x o x0ᯊⱘ᮴か໻䞣 ᇍѢӏᛣℷ᭄G , 1 f x( ) . ( ) G f x े Ϩϡㄝ 䖭䞠ҙ䆕ᯢᅮ⧚ⱘ (1) . ಴Ў