高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）24 第三章 函数极限 s06单调有界定理及柯西准则

53函极限存在的条件第六讲单调有界定理及柯西准则数学分析第三章函数极限高等教育出版社

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单调有归结原则$3函数极限存在的条件柯西收敛准则界定理单调有界定理定理3.10设f为定义在U(x)上的单调有界函数则右极限 lim f(x)存在。x→xo(相信读者也能够写出关于lim f(x)，lim f(x)→-8x→xolim f(x)的单调有界定理.)x-→>+证不妨设f在U(x)递减.因为f(x)有界，故sup f(x)存在，设为A．由确界定义，Vε>0,xeU(xo)日x"U(x),使数学分析第三章函数极限高等教育出版社

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单调有归结原则S3函数极限存在的条件柯西收敛准则界定理A-ε< f(x*)≤A.令=x-xo，当0<x-x时，由f(x)的递减性，A-&<f(x")≤f(x)≤A<A+8.这就证明了lim f(x) = A.x-→xo数学分析第三章函数极限高等教育出版社

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单调有归结原则S3函数极限存在的条件柯西收敛准则界定理例1 设函数f(x)在区间(a,b)上递增，xε(a,b)f(xo -0)≤f(xo)≤f(xo +0)求证：证因f在U(x）上单调有界，由单调有界定理左极限 (xo-0)存在，且等于 sup)(x)ceU(xo)而对 VxeU(x), f(x)≤f(xo). 故 f(xo-0)≤f(xo),类似地，f(xo)≤f(xo+0)注若 f(x)递减,则f(x+0)≤(xo)≤f(x-0)数学分析第三章函数极限1高等教育出版社

؅ݤӢ߅ॕЅ्Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hӠ߃ݤୡ؁֧޻ࣩѝ ڠগԼӨ Ԥઁޥ ӔӨݠݗੋ㮞 ࣂؓࣙ ՟1 䆒ߑ᭄ f x  ೼ऎ䯈   a b, Ϟ䗦๲ˈx ab 0   , . ∖䆕˖      0 00 fx fx fx d d  0 0 . 䆕 ಴ f ೼ 0 U x( )  Ϟऩ䇗᳝⬠, ⬅ऩ䇗᳝⬠ᅮ⧚ˈ Ꮊᵕ䰤 f x  0  0 ᄬ೼ˈϨㄝѢ     0 sup . xU x f x   0 xUx( ), 㗠ᇍ       0 fx fx d . ᬙ    0 0 fx fx  d 0 . ㉏Ԑഄˈ    0 0 fx fx d  0 . ⊼ 㢹 f x 䗦ޣ      ˈ0 00 ߭ fx fx fx d d  0 0 .

单调有归结原则$3函数极限存在的条件柯西收敛准则界定理例2 设 f(x)在U°(xo,n)上单调,则 lim f(x)x→xo存在的充要条件是存在一个数列(xn) cU(xo,n), Xn → Xo 使limf(x,)存在。n>00证必要性可直接由归结原则得出，下面证明充分性假设(x)递减设 (xn)cU(xo,n), x, →xo, lim f(xn)= A.数学分析第三章函数极限高等教育出版社

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单调有归结原则S3函数极限存在的条件柯西收敛准则界定理首先说明 VxeU(xo,n), f(x)≤A. 对 VxeU(xo,n),因为 x,→xo，由保号性，日No，Vn>No，x,0,N,A-8 A-8.A因此 A-ε<f(x)<A+8.A-8-1-1-1-即lim f(x)= A.e0xxXoXNx-→Xo数学分析第三章函数极限K高等教育出版社

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单调有归结原则柯西收敛准则S3函数极限存在的条件界定理柯西收敛准这里 仅给出 lim f(x)的柯西收敛准则，请读者自行写出其他五种极限类型的柯西收敛准则，并证明之。定理3.11设f(x) 在+ 的某个邻域(x|x>M)上有定义,则极限 lim f(x）存在的充要条件是：任给>0,存在 X(>M),对于任意 x,x,>X,都有Lf(x)- f(x)<8.数学分析第三章E函数极限高等教育出版社

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单调有归结原则柯西收敛准则$3函数极限存在的条件界定理证（必要性）设 lim f(x)=A，则对于任意 ε>0,x+8存在X(>M),对一切x>X,8If(x)-Ak2所以对一切 xi,x>X,有Lf(x)-f(x)I≤Lf(x)-A+lf(x)-AI0，存在X（>M)，x,,>X,有(充分性) f(x) -f(x,) /N时,xn >X.数学分析第三章函数极限高等教育出版社

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单调有归结原则柯西收敛准则$3函数极限存在的条件界定理又当n,m>N时，x,,x>X，故f(xn)- f(xm)<.这就是说(x,)}是柯西列，因此收敛.若存在{x,},{y,}，x,→+o0,y,→+o0,使f(x,)→A, f(yn)→B, B±A,令( zn)为Xp,y1,X2,y2,",X, n,,即[ z2n-1]为{x,[ z2n) 为(yn].．显然zn→+oo.但(f(zn)发散，矛盾.这样就证明了对于任意的(xn},xn→+o,limf(xn)存在且相等.由归结原则，lim f(x)存在数学分析第三章函数极限高等教育出版社

؅ݤӢ߅ॕЅ्Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hӠ߃ݤୡ؁֧޻ࣩѝ ڠগԼӨ Ԥઁޥ ӔӨݠݗੋ㮞 ࣂؓࣙ ( )  ( )  H . n xm f x f 䖭ህᰃ䇈^ f x() , n `ᰃ᷃㽓߫ { } ,{ }, n n 㢹ᄬ೼ x y Ԛ { ( )}থᬷˈ⶯Ⳓ . n f z () , n fx A o ^ ` 11 22 , , , , n nn z xyxy xy Ҹ Ўˈ ˈ ˈn of. n ᰒ✊ z , , n m জᔧn,m ! N ᯊ, xx X ! 㮞ੋݠݗӔӨ 䖭ḋህ䆕ᯢњᇍѢӏᛣⱘ { }, o f, xn xn lim ( ) n n f x of ᄬ೼ϨⳌㄝ. lim f (x) xof ⬅ᔦ㒧ॳ߭, ᄬ೼ ಴ℸᬊᬯ. , , n n x y o f o f Փ () , n fy B o B A z , े Ў ^ z x 2 -1 n n ` ^ ` ^ 2 ` ^ `. n n z y Ў ᬙ

单调有归结原则$3函数极限存在的条件柯西收敛准则界定理注 由柯西准则可知，lim f(x)不存在的充要条件是3 8.>0, 3(x,),(yn),虽然xn →+00, n →+00,但是[ f(x,)-f(yn) |≥80.例如，对于y=sinx，取ε=1,元x,=2n元→+00, yn=2n元 ++82但是|sinxn-sinyn=1≥80这说明limsinx不存在x>+8数学分析第三章函数极限高等教育出版社

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