中国矿业大学：《数值计算方法》课程教学课件（讲稿）第7章 常微分方程数值解

中国矿亚大医CHINAUNIVERSITYOFMININGANDTECHNOLOGYCh7常微分方程数值解法$1引言S2欧拉方法83龙格库塔法84一阶方程组与高阶方程初值问题85收敛性与稳定性

CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY Ch7 常微分方程数值解法 §1 引言 §2 欧拉方法 §3 龙格库塔法 §4 一阶方程组与高阶方程初值问题 §5 收敛性与稳定性

中国矿亚大整CHINAUNIVERSITYOFMININGANDTECHNOLOGY常微分方程数值解法口必要性在工程和科学技术的实际问题中，常需要求解微分方程。只有简单的和典型的微分方程可以求出解析解，而在实际问题中的微分方程往往无法求出解析解。y'=1-2xy如微分方程初值问题其解析解（精确解）为：J(0)= 0y(x)=e-" T'e"'dt但y(1）、y(1.5)等值却无法直接计算

CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY ‡ 必要性 在工程和科学技术的实际问题中，常需要求解微分方程。 只有简单的和典型的微分方程可以求出解析解，而在实际问题 中的微分方程往往无法求出解析解。 1 2 (0) 0 y xy y ⎧ ′ = − ⎨ ⎩ = 如微分方程初值问题 ，其解析解(精确解)为： 但 、 等值却无法直接计算。 y y () ( ) 1 1.5 2 2 0 ( ) x x t y x e e dt − = ∫ 常微分方程数值解法

中国矿亚大整CHINAUNIVERSITYOFMININGANDTECHNOLOGY什么叫微分方程数值解就是求微分方程解函数y(x)在区间[a,b]上的一系列离散点x,：a=x<x<x<<x,=b上函数值y(x）的近似值y,(k=1,,n)，称y,为问题的数值解。口哪些微分方程的数值解？y'=f(x,y) a≤x≤b-一阶方程初值问题(y(a) = yo[y"=f(x,y,y) a≤x≤b高阶方程初值问题-y(a)= yo , y'(a) =α[y' = fi(x,J1,J2) yi(xo) = J11--方程组初值问题y2 = f2(x,yi,2) y(xo) = y2口微分方程”解析解”存在的条件

CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY ‰ 什么叫微分方程数值解 . ( ) [, : ] k 就是求微分方程 在区间 上的一系列离散点 解函数y x a b x 012 n a b = xxx x < < << " = ( ) ( 1, , ) k k 上函数值 的近似值 ， y x y k n = " k 称 为问题的 y 数值解 。 哪些微分方程的数值解？ ‰. 0 (,) ( ) y f xy a x b ya y ⎧ ′ = ≤ ≤ ⎨ − − = ⎩ 3 一阶方程初值问题 0 (, ) () , () y f xyy a x b ya y y a α ⎧ ′′ ′ = ≤ ≤ ⎨ − − = = ′ ⎩ 3 高阶方程初值问题 1 1 12 10 1 2 2 12 20 2 (, , ) ( ) (, , ) ( ) y f xy y y x y y f xy y y x y ⎧ ′ = = ⎨ − − ′ = = ⎩ 3 方程组初值问题 ‰ 微分方程 存在的条件 . "解析解

中国大华CHINA UNIVERSITYOFMININGANDTECHNOLOGY定理 若f(x,y)在G=(x,y)/xe[a,b],ye(-o0,+o0))连续，并且关于y满足Lipschitz条件，即存在常数L使对于Vxe[a,b],Vyr,,ER都有L为Lip一常数f(x,y)-f(x,y2)<Lly -y2)则问题(1)有唯一解y=yv(x)且y(x)在[a,bl上连续，在(a,b)上可微，且连续依赖与初值。初值有微小的变化而引起解的变化也是微小的，即问题是良态的。本章总假设（1）满足定理中的条件

CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 定理 若f x y G x y x ab y ( , ) {( , ) | [ , ], ( , ) } 在 = ∈ ∈ −∞ +∞ 连续，并且关于y满足Lipschitz条件，即存在常数 L使对于 1 2 ∀∈ ∀ ∈ x ab y y R [ , ], , 都有 1 2 12 | ( , ) ( , )| | | f xy f xy L y y − ≤ − L 为Lip－常数 则问题(1)有唯一解y =y (x ) 且y (x ) 在 [ a , b ]上连续，在 ( a , b )上可微，且连续依赖与初值。 初值有微小的变化而引起解的变化也是微小的， 即问题是良态的。 本章总假设(1)满足定理中的条件

中国矿亚大警CHINAUNIVERSITY OF MININGANDTECHNOLOGY$1欧拉方法问题一已知初值问题y=f(x,y) a≤x≤bb-a，h=NLy(a)= yo求其解函数y=y(x)在等距节点x,=a+nh(n=0,,N)上的近似值y,?

CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY § 1 欧拉方法 0 () ( 0 (,) ( ) ,) ? n k y f xy a x y y x x a nh b b a h y N N y a y n ⎧ ′ = ≤≤ ⎪ − ⎨ = ⎪ = = + ⎩ = = " 已知初值问题 ， ， 求其解函数 在等距节点 上的近似值 一 问题

[y'=f(x,y)a≤x≤b中国矿亚大CHINA UNIVERSITY OFMININGAND TECHNOLOGYLy(a)= yo三方法1.Euler方法显式公式将初值问题的解函数y=y(x)在x点Tarloy展开，有：(x) = (x,)+ (x,)(x-x,)+ ((x-x,)2!而y'=f(x,J),所以 y(x)=f(x,(x,),代入上式:y"(3)以(x)= y(x,)+ f(xn,以(x,)(x-x,)+ r?2!令x=X+I:y"(5.)y(xn+1)= y(x,)+ f(xn,y(x,)(xn+ -x,)+2!"(5)n, 其中,e(x,Xn1)= y(x,)+ f(x,J(x, )h+ 2!"(5)r,得(x)的近似值ym)满足：截去T=2!Euler公式ynr = y, +hf(x,,y))

CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 二 方法 1. Euler方法 ( ) Tarloy n 将初值问题的解函数 在 点 展开，有： y y = x x 2 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2! n nn n y y x yx y x x x x x ′′ ξ = + −+ − ′ 而 ， y f xy ′ = (,) ( ) ( , ( )) n nn 所以 ，代入上式： y x f x yx ′ = 2 ( ) ( ) ( ) ( , ( ))( ) ( ) 2! n nn n n y y x yx f x yx x x x x ′′ ξ = + −+ − 1 : n x x 令 = + 2 1 11 ( ) ( ) ( ) ( , ( ))( ) ( ) 2! n n n nn n n nn y y x yx f x yx x x x x ξ + ++ ′′ = + −+ − 2 1 ( ) ( ) ( , ( )) , 2! (, ) n nn n n nn y yx f x yx h h x x ξ ξ + ′′ = + + 其中 ∈ 2 1 ( ) , 2! n y T h ′′ ξ 截去 = 1 1 ( ) n n y x y 得 的近似值 满足： + + 1 (,) n n nn y y hf x y + = + 0 (,) ( ) y f xy a x b ya y ⎧ ′ = ≤ ≤ ⎨ = ⎩ − − Euler公式 显式公式

中国矿亚大医CHINAUNIVERSITY OFMININGANDTECHNOLOGY2x0≤x≤1y=yy例1用Euler公式求解初值问题(h= 0.1)y(0)=1解由题意知：2x,x=a=0,n=10,b=1,yo=1f(x,y)= yy根据Euler公式：2xm(n=1,2,,10)yn+i = y, + hf(x,,y,)= y, + h(y,yn带入数据：2x0)2×0= 1.1y, = yo + h(yo:1+0.1(1Jo2x12×0.1J, = y, + h(y)=1.19181.1 + 0.1(1.1Ji1.1依次类推注方程的精确解：y=/1+2x

CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 解 2 (,) , x f xy y y = − 0 0 xa n b y = == = = 0, 10, 1, 1 由题意知： 根据 公式： Euler 1 (,) n n nn y y hf x y + = + 2 ( ) n n n n x y hy y =+ − ( 1,2, ,10) n = " 0 10 0 0 2 ( ) x y y hy y =+ − 2 0 1 0.1(1 ) 1 × =+ − = 1.1 1 21 1 1 2 ( ) x y y hy y =+ − 2 0.1 1.1 0.1(1.1 ) 1.1 × =+ − = 1.1918 带入数据： 依次类推 . 注 方程的精确解： y = +1 2 x 例1 用 公式求解初值问题 Euler 2 0 1 x yy x y ′ = − ≤≤ y(0) 1 = ⎧ ⎨ ⎩ （ ） h = 0.1

中国矿亚大医CHINA UNIVERSITY OF MININGAND TECHNOLOGY2x0≤x≤1V=Vy例1(续)(h= 0.1)y(0)=11.8X.数值解Jn精确解y(rn)11.700.01.00001.0000Euler公式1I0.11.10001.09541.620.21.19181.18321.530.31.27741.264940.41.35821.34161.450.51.43511.41421.360.61.50901.483270.71.54921.580312精确解：y=V1+2x80.81.61251.64981.190.91.67331.717812101.01.78481.73210.100.20.30.40.50.60.70.80.92

CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 例1 续( ) 2 0 1 x yy x y ′ =− ≤≤ y(0) 1 = ⎧ ⎨ ⎩ （ ） h = 0.1

中国矿大医CHINA UNIVERSITY OFMININGANDTECHNOLOGYEuler方法的几何意义y个Vlx.+y(x.)Yn+1(x)yoyny(r)1241y1---V0xoX2x.Xn+1Xix

CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY • n 1 y + . Euler方法的几何意义 n y 2 y 1 y y x( n +1 ) y ( x n ) y ( x2 ) y ( x1 ) . 0 y n 1 x n + x 2 x 1 x 0 x

中国矿亚天整CHINAUNIVERSITYOF MININGANDTECHNOLOGY2.后退的Euler方法隐式公式将y=y(x)在x+点Tarloy展开：V"()y(x) = y(xn+1)+ y'(x++t)(x - xn+1) -2!y"(5)= y(xn+1)+ f(x+1y(x+1)(x -X+1)x-x+2!令x=X,:1Sy(x.) = y(xn+1)+ f(xn+1,(x+)(x, - x+)+2!y"(S')公其中5 e(x,,Xn+1)= y(xn+1)- hf(xn+1, y(xn+1)+2!y"(5')11即：y(xn+1)= y(xn) + hf(xn+1,y(xn+1)2!截去T,=-()r，得(x,)的近似值y,满足：2!一一后退Euler公式Ynt = y, +hf(xu+i, yn1)

CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 2. Euler 后退的 方法 ( ) 1 Tarl yo n y yx x 将 在 点 展开： = + 2 1 11 1 ( ) () ( ) ( ) ) 2 ( ) ( ! n n n n y yx yx x y x x x x ξ + + + + ′′ = + −+ − ′ 1 1 1 2 1 1 ( , ( ) () ( ) ( ) 2 ( )) ! n nn n n y yx x f x yx x xx ξ + ++ + + ′′ = + −+ − : n 令 x = x 2 1 11 1 1 ( ) ( ) ( ) ( , ( ))( ) ( ) 2! n nn n nn n n n y y yx f x yx x x x x x ξ + ++ + + ′′ = + −+ − ′ 2 1 11 1 ( ) ( ) ( , ( )) , (, ) 2! n n nn n nn y y x h h f x yx x x ξ ξ + ++ + ′′ − + ′ ∈ ′ = 其中 2 2 ( ) , 2! n y T h ′′ ′ ξ 截去 = − ( ) n n 得 的近似值 满足： y x y 1 11 (,) n n nn y y hf x y + = + + + − − 后退 公式 Euler 即: 2 1 11 ( ) ( ) ( ) ( , ( )) 2! n n nn n h y y x y x hf x y x ξ + ++ ′′ = ′ + − 隐式公式