华东师范大学：《数学分析》课程授课教案（第五版，讲义）第6章 微分中值定理及其应用

华师大数学分析(第五版)讲义第六章微分中值定理及其应用第六章微分中值定理及其应用目的：用f'来研究f的性质。微分中值定理建立了f与'之间的桥梁。$1拉格朗日定理和函数的单调性【一】罗尔定理定理1（罗尔(Rolle)中值定理）若函数f满足如下条件：(i)f在闭区间[a,b|上连续(i)f在开区间(a,b)上可导：(ii) (a)= f(b),则在(a,b)上至少存在一点，使得()f'(s)=0.几何意义：见图.o证因为在[a,b]上连续，所以有最大值与最小值，分别用M与m表示，现分两种情况来讨论：(1)若m=M，则f在[a,b|上必为常数，从而结论显然成立.(2)若m<M，则因f(a)=(b)，使得最大值M与最小值m至少有一个在(a,b)上的某点处取得，从而是f的极值点。由条件(i)，f在点=处可导，故由费马定理推知f'(E)=0.1中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第六章 微分中值定理及其应用 第六章 微分中值定理及其应用 目的：用 f  来研究 f 的性质。微分中值定理建立了 f 与 f  之间的桥梁。 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 【一】 罗尔定理 定理 1 （罗尔(Rolle)中值定理） 若函数 f 满足如下条件： (i) f 在闭区间 ,ba 上连续； (ii) f 在开区间 ,ba 上可导； (iii)    bfaf ， 则在 ,ba 上至少存在一点 ，使得 f    0 . 1 几何意义：见图． 证 因为 在f  ,ba 上连续，所以有最大值与最小值，分别用 M 与 表示，现分两种 情况来讨论： m (1)若 ，则 在 上必为常数，从而结论显然成立．  Mm f  ,ba  (2)若  Mm ，则因    bfaf ，使得最大值 M 与最小值 至少有一个在 上的 某点 m  ,ba   处取得，从而 是 的极值点．由条件 f (ii)， 在点 f  处可导，故由费马定理推知 f    0 ． 中国矿业大学数学学院 1

华师大数学分析（第五版）讲义第六章微分中值定理及其应用【注】定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立。见下图：缺条件（品）缺条件（)缺条作（m)例1设a,b,c为实数。求证方程e" = ax? +bx+c的实根不超过三个。证令f(x)=e-(ax2+bx+c)。用反证法如下：倘若(x)=0有4个实根：0，矛盾。例2设f在[a,b]上可导，且f(a)=f(b)=0，证明3e(a,b)，使得f()+ f()=0证令F(x)=ef(x)，对F在[a,b]上用Rolle定理即得证。【思考】设f在[a,b]上可导，且f(a)=f(b)=0，证明：VαeR，3e(a,b)，使得αf()=f(3)2中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第六章 微分中值定理及其应用 【注】 定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立。见下图： 例 1 设 为实数。求证方程 abc , , x 2 e ax bx    c 的实根不超过三个． 证 令  2 ( ) x f x e ax bx c    。用反证法如下： 倘若 有 4 个实根 4   xf  0 ： 123 x  x x   x ，对 f 在 x12 23 , x xx x     3 4 , x  上用 Rolle 定理，    1 12 2  x , , x x    23 3 , , x x    3 4 , x  ，使得    f  3  0 1 2 f f        ， 再 对 f  在 1 2 , ,     2 3 ,     上 用 Rolle 定理，   1 1    , , 22 2  3  ，使得   1 2 f f       0 再对 f 在1 2 , 上用 Rolle 定理，  x0 12  ,  ，使得 f x  0   0 但 () 0 ，矛盾。 x fx e    例 2 设 f 在[ , a b]上可导，且 f a() () 0  f b  ，证明 (,) a b ，使得 f f () () 0      证 令 () () ，对 在[ , 上用 Rolle 定理即得证。 x Fx ef x  F a b] 【思考】设 f 在[ , a b]上可导，且 f a() () 0  f b  ，证明：  R ，   (,) a b ， 使得  f f () ()     中国矿业大学数学学院 2

华师大数学分析（第五版）讲义第六章微分中值定理及其应用[作辅助函数F(x)=e-αxf(x)]例3设f在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，f(0)=f(1)=0，且存在xE(0,1)使得f(x)>x，证明：3e(0,1)使得f'()=1证令F(x)=f(x)-x，F(0)=0,F(1)=-1,F(x)>0，由根的存在定理,35(xo,1)，使得F()=0。在[0,]上对F用Rolle定理，(0,5)C(0,1)，使得F()=0, 即f(5)=1。【二】拉格朗日定理定理2（拉格朗日(Lagrange)中值定理）若函数f满足如下条件：(i)于在闭区间[a,b]上连续；(ii)丁在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)上至少存在一点≤，使得1(s)= (6)-1()(2)b-a显然，特别当f(a)=f(b)时，本定理的结论(2)即为罗尔定理的结论(1).这表明罗尔定理是拉格朗日定理的一个特殊情形。其几何意义见图。证作辅助函数F()=()-[(a)+(6)-(a)(b-ay= f(a)+ (b)-T(@(b-oy=f(x)C03中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第六章 微分中值定理及其应用 [作辅助函数 () ()] x Fx e f x   例 3 设 f 在[0,1] 上连续，在 上可导， (0,1) f f (0) (1) 0   ，且存在 x0 (0,1) 使得 0 ( ) 0 f x  x ，证明：  (0,1) 使得 f () 1   证 令 Fx f x x () ()   ， 0 F F Fx (0) 0, (1) 1, ( ) 0    ，由根的存在定理， 1 0    ( ,1) x ，使得 1 F() 0   。在 1 [0, ]  上对 用F Rolle 定理， 1    (0, ) (0,1)  ，使得 F() 0   ，即 f () 1   。 【二】 拉格朗日定理 定理 2（拉格朗日(Lagrange)中值定理） 若函数 f 满足如下条件： (i) f 在闭区间 ,ba 上连续； (ii) f 在开区间 内可导，  ,ba 则在 ,ba 上至少存在一点 ，使得       ab afbf f      .   2 显然，特别当     bfaf 时，本定理的结论(2)即为罗尔定理的结论(1)．这表明罗尔定 理是拉格朗日定理的一个特殊情形．其几何意义见图。 证 作辅助函数          fb fa Fx f x fa x a b a            中国矿业大学数学学院 3 a  b y  f x( ) () () () ( ) fb fa y fa x a b a      O

华师大数学分析（第五版)讲义第六章微分中值定理及其应用显然，F(a)=F(b)(=0)，且F在[a,b]上满足罗尔定理的另两个条件。故存在e(a,b),使F(5)= I(s)- (b)-(a)=0b-a移项后即得到所要证明的（2）式。【注】拉格朗日公式还有下面几种等价表示形式：(3)f(b)-f(a)=f'()(b-a),ab也成立，（5）式对h<0也成立。推论1若函数f在区间I上可导，且f(x)=0,xeI，则f为I上一个常量函数证Vx,I(xx)，在[x,x]上用Lag，(x,x)，使得f(x)-f(x)= f(≤)(x2 -x)=0这就证得f(x)=f(x2)，说明f为I上的常量函数。推论2若函数f和g均在区间「上可导，且f(x)=g(x)，，xeI，则在区间I上f(x)与g(x)只相差某一常数，即f(x)=g(x)+c(c为某一常数).元例4证明：arcsinx+arccosx=,xe[-1,1]211证(arcsinx+arccosx)0,xE(-1,1)Vi-x?1-Yarcsinx+arccosx=c,xe(-11)元:取x=0，得c=直接验证所证等式对x=±1也成立。2例5[教材例2]证明：arctanb-arctana≤b-a，其中a<b。证记f(x)=arctanx，用Lag，e(a,b)，使得4中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第六章 微分中值定理及其应用 显然，Fa Fb        0 ，且 F 在 ,ba 上满足罗尔定理的另两个条件．故存在  ba ),( 使 () () () () 0 fb fa F f b a         移项后即得到所要证明的（2）式。 【注】拉格朗日公式还有下面几种等价表示形式： f ( ) ( ) ( )( ), b fa f b a a        b （3） fb fa f a b a b a ( ) ( ) ( ( ))( ),0 1          （4） f a h f a f a hh ( ) ( ) ( ) ,0         1 )5( 其中（4）式对 也成立，（  ba 5）式对h  0 也成立。 推论 1 若函数 在区间 f I 上可导，且   ,0)(  Ixxf ，则 为f I 上一个常量函数． 证 12 1 2   x , ( x Ix x ) ，在 x1 2 , x  上用 Lag， 1 2  (, ) x x ，使得 2 1 21 fx fx f x x ( ) ( ) ( )( ) 0       这就证得 1 2 f () () x fx  ，说明 为f I 上的常量函数。 推论 2 若函数 f 和 g 均在区间 I 上可导，且    xgxf ),()( ，  Ix ，则在区间 I 上 xf )( 与 只相差某一常数，即 xg )(  )()(  cxgxf ( c 为某一常数)． 例 4 证明：arcsin arccos , [ 1,1] 2 x xx     证   2 2 1 1 arcsin arccos 0, ( 1,1) 1 1 xx x x x         arcsin arccos , ( 1,1) x x cx    取 ，得 x  0 2 c   。直接验证所证等式对 x  1也成立。 例 5 [教材例 2]证明：arctan arctan b ab    a ，其中 a b  。 证 记 f ( ) arctan x  x ，用 Lag， (,) a b ，使得 中国矿业大学数学学院 4

华师大数学分析（第五版）讲义第六章微分中值定理及其应用1f(b)-f(a)= f'()(b-a):(b-a)≤b-a1+22例6证明对一切h>-1.h≠0成立不等式h0时，由10，则e(a,b),使得f"(E)=0证法1不妨假设f(α)>0,f(b)>0，则由导数定义和极限保号性可知，存在X,x, (a,b),x, f(a)= 0, f(x)< f(b)=0而f(x)在[a,b]上连续，故由介值定理可知存在ce(x,x)，使得f(c)=05中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第六章 微分中值定理及其应用 2 1 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 f b fa f b a b a b a           例 6 证明对一切 hh  0,1 成立不等式   h h 1  )1ln(  hh 证 设  xxf )1ln()( ，由 Lag 得 f h f f hh ( ) (0) ( ) ,0 1        即 ln(1 ) ,0 1. 1 h h h        当 h >0 时，由1 1   h h 1 得 1 1 h h h h h      当 时，由  1 h  0 0 1    h h 1 1  得 1 1 h h h h h      【注】特别地 1 1 ln(1 ) n n 1 1 n     由此可证明（作为思考）：数列 1 1 1 l 2 n x n n n      单调递减且有下界0 ，从而极限存在，这个极限叫做 Euler 常数  0.5772 . 例 7 设 f 在[ , a b]上二阶可导。若 fa fb f af b ( ) ( ) 0, ( ) ( ) 0      ，则  (,) a b ， 使得 f ( )   0 证法 1 不妨假设 fa fb   ( ) 0, ( ) 0  ，则由导数定义和极限保号性可知，存在 2  1 2 1 x , ( , ), x ab x   x ，使得 1 2 fx fa fx fb ( ) ( ) 0, ( ) ( ) 0   而 f ( ) x 在[ , a b]上连续，故由介值定理可知存在 1 2 c xx (, ) ，使得 f c() 0  中国矿业大学数学学院 5

华师大数学分析（第五版)讲义第六章微分中值定理及其应用对函数f在[a,c],[c,b]上用由罗尔定理，存在5,e(a,c),5E(c,b)，使得f'(5)= f'(52)= 0对函数f在[5,5]再用罗尔定理，存在e(a,b)，使得f"(E)=0证法2不妨设f(a)>0,f(b)>0，显然f(x)丰0，不妨设f(c)>0，a0, f(n)0, f'(n)0。证明3e(a,b)，使得f"()0,c-a>0,故f()>0。f(x)在[c,b]上用Lag定理，日52E(c,b)，使得f(b)- f(c)= f(52)(b-c)由于f(b)=0,f(c)>0,b-c>0,故f"(≤2)<0。因a<5<c<52<b，f(x)在[5,5]上可导，f(x)在[5,5]上再用Lag定理，35e(51,52)C(a,b)，使得6中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第六章 微分中值定理及其应用 对函数 f 在[ , ac cb ],[ , ]上用由罗尔定理，存在 1 2  ( , ), ( , ) ac cb   ，使得 1 2 f f () () 0      对函数 f  在 1 2 [, ]   再用罗尔定理，存在 (,) a b ，使得 f () 0   证法 2 不妨设 fa fb   ( ) 0, ( ) 0   ，显然 f x() 0  ，不妨设 ， 。 f c() 0  acb   由 Lag 定理， f ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0, b fc f b c f c           b 又，对 f ( ) x 在[ , a ],[ , ]  b 上用根的存在定理 1 1 fa f f a   ( ) 0, ( ) 0 ( ) 0,         2 2 f   ( ) 0, ( ) 0 ( ) 0, bf f         b 对 f ( ) x 在 1 2 [, ]   上用 Rolle 定理 1 2 f ( ) 0, ( , ) ( , )       a b 证法 3（由导数介值定理证明，见下面例 16） 例 8 [习题 6.1：9] 设 f 在[ , a b]上二阶可导， fa fb () () 0   ，并存在一点 使得 。证明 c ab (,) f c() 0    ( , a b) ，使得 f ( )   0 。 证 f ( ) x 在[ , a c]上用 Lag 定理， 1  (,) a c ，使得 1 f ( ) ( ) ( )( ) c fa f c a      由于 fa fc c a ( ) 0, ( ) 0, 0    ，故 1 f () 0   。 f ( ) x 在[ , c b]上用 Lag 定理， 2    (, ) c b ，使得 2 f ( ) ( ) ( )( ) b fc f b c      由于 fb fc b c ( ) 0, ( ) 0, 0    ，故 2 f ()0   。 因 1 2 a c      b ， f ( ) x 在 1 2 [, ]   上可导， f ( ) x 在 1 2 [, ]   上再用 Lag 定理， 1 2    ( , ) (,)   a b ，使得 中国矿业大学数学学院 6

华师大数学分析(第五版)讲义第六章微分中值定理及其应用f()-f'(5)=f"()(52-5)得f"(5)<0。【三】导数极限定理定理3（右侧导数极限定理）设函数f在点x。的某右邻域[xo,x+)上连续，在(xo,+)上可导，若导函数f(x)在点x的右极限f(x+0)=limf(x)存在，则f在点x。的右导数一定存在，且f(x)= f(x +0)(6)证任取xE(x,x+9)，f(x)在[xo,x]上满足拉格朗日定理条件，则存在e(xo,x)，使得(x)- f(0) = f'(c)(7)X-Xo当x→时，→x，（7）式两边取极限得(0) lim ()-() m ()- m (2)= (0 +0)-→x-xo1-→10-x0【注】是x的函数=(x)，这里用了变量替换法（即复合函数极限定理1)，其中三个条件是：(1）lim f(u)存在，(2)lim ≤(x)=xo，（3）三(x)±xou→xo1→0类似可得“左侧导数极限定理”。右（左）侧导数极限定理，统称为单侧导数极限定理。（与教材不同，在分段函数求导时，实际上用的是单侧）推论1（导数极限定理）设f在U(x）上连续，在U（）上可导，若limf(x)存在，则f(xo）一定存在，且f(xo)=limf(x)证由lim f(x)=f(x+0)=f(x-0)，又f(x)= f'(x +0), f'(x)= f'(x-0)7中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第六章 微分中值定理及其应用 fff    ( ) ( ) ()  21 2       1  得 f () 0   。 【三】 导数极限定理 定理 3 （右侧导数极限定理） 设函数 在点 的某右邻域 f 0 x 0 0 [, ) x x  上连续，在 0 0 (, ) x x  上可导，若导函数 f ( ) x 在点 的右极限 0 x 0 lim ( ) x x 0 f ( 0) x f       x 存在，则 在 点 的右导数一定存在，且 f 0 x 0 0 fx fx ( ) ( 0)      . (6) 证 任取 x 0 0 (, ) x x  ， 在xf )( [ ] 0 , xx 上满足拉格朗日定理条件，则存在 0  ( ,) x x ， 使得 0 0 () ( ) ( ) fx fx f x x      (7) 当 0 x x   时， 0   x ，（7）式两边取极限得 0 0 0 0 0 0 () ( ) ( ) lim lim ( ) lim ( ) ( 0) o x x x x x fx fx f x f f fx x x                  【注】 是 x 的函数   ( ) x ，这里用了变量替换法（即复合函数极限定理 1），其中三 个条件是： （1） 0 lim ( ) u x f u    存在，（2） 0 0 lim ( ) x x  x x    ，（3） 0  ( ) x  x 类似可得“左侧导数极限定理”。 右（左）侧导数极限定理，统称为单侧导数极限定理。 （与教材不同，在分段函数求导时，实际上用的是单侧） 推论 1（导数极限定理）设 f 在 上连续，在 上可导，若 0 U x( ) 0 U x( )  0 lim ( ) x x f x   存在， 则 0 f ( ) x 一定存在，且 0 f x ( )  li 0 m ( ) x x f x   证 由 ，又 0 0 0 lim ( ) ( 0) ( 0) x x fx fx fx       00 00 fx fx fx fx ( ) ( 0), ( ) ( 0)       中国矿业大学数学学院 7

华师大数学分析（第五版）讲义第六章微分中值定理及其应用所以 f(xo)= f'(x)=lim f(x),即 f'(x)= lim f(x)。推论2导函数的间断点一定是第二类的。证设f在U(x）可导，f（x土O)都存在，由单侧导数极限定理f*(x)= f'(x +0), f(x)= f(x-0)又f(x)= f(x)= f(x)，所以f'(x +0)= f(x -0)= f'(x)说明x必是f(x)的连续点。推论3设f在(a,b)上可导，如果f在(a,b)上单调，则f在(a,b)上必连续。证由单调函数只可能有第一类间断点，又f不存在第一类间断点，所以连续。【注】limf(x）不存在书f（x）不存在。→1x sin-X*011例如：(x):xf'(x)=2xsin-(x±0)-COS-0,x=0limf(x)不存在，但f"(O)=0例9[教材例3]求分段函数x+sinx2,x≤0,f(x)=x>0In(1 + x),的导数。解首先易得[1+2xcosx2, x0.1+x由于f在点x=0连续，且f(0-0)= lim(1+2xcos x)=1, f'(0+0)= lim0*1+x所以limf(x)=1.依据导数极限定理推知f在x=0处可导，且f(0)=1例10求a,b使得8中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第六章 微分中值定理及其应用 所以 0 0 0 ( ) ( ) lim ( ) x x f x fx f        x ，即 0 0 ( ) lim ( ) x x f x f     x 。 推论 2 导函数的间断点一定是第二类的。 证 设 f 在 可导， 0 U x( ) 0 f x ( 0  ) 都存在，由单侧导数极限定理 00 00 fx fx fx fx ( ) ( 0), ( ) ( 0)       又 0 0 () () ()0 f x fx fx      ，所以 0 0 ( 0) ( 0) ( 0 f   x fx f     x ) 说明 0 x 必是 f ( ) x 的连续点。 推论 3 设 f 在( , a b)上可导，如果 f  在 上单调，则 (,) a b f  在 上必连续。 (,) a b 证 由单调函数只可能有第一类间断点，又 f  不存在第一类间断点，所以 f  连续。 【注】 0 lim ( ) x x f x   不存在 0 f ( ) x 不存在。 例如： 2 1 sin , 0 ( ) 0, 0 x x f x x x         ， 1 1 fx x x ( ) 2 sin cos ,( 0) x x     0 lim ( ) x f x   不存在，但 f (0) 0  例 9 [教材例 3] 求分段函数 2 sin , 0, ( ) ln(1 ), 0 x xx f x x x         的导数。 解 首先易得 2 1 2 cos , 0, ( ) 1 , 0 1 xxx f x x x  .           由于 f 在点 连续，且 x  0 2 0 0 1 (0 0) lim(1 2 cos ) 1, (0 0) lim 1, x x 1 f x x f x             所以 .1)(lim 依据导数极限定理推知 在 0    xf x f x  0处可导,且 f   .1)0( 例 10 求 使得 a b, 中国矿业大学数学学院 8

华师大数学分析（第五版）讲义第六章微分中值定理及其应用[In(a+x), x>0f(x)=e'+b,x≤0在点x=0处可导，并求f(O)。解f在点x=0处连续，f(0+0)=f(0-0)=f(0)=1+b=lna1x>0f'(x)={a+xer,x<0,J(0-0) =1= f(0)=-, f(0)=1f(0+0)=-了在点x=0处可导，(0)=(0)==1aa=1,b=-1, f(0)=1【四】单调函数定理4设f(x）在区间上可导，则f(x）在1上递增（递减）的充要条件是f'(x)≥0 (≤0)证若f为增函数，则对每一x。EI，当x≠x。时，有J(x) - f(x0) ≥ 0.X-Xo令x→x，即得f(x。)≥0.反之,若f(x)在区间1上恒有f(x)≥0,则对任意x,x2EI(设x<x2），应用拉格朗日定理，存在e（x,x)c，使得f(x2)- f(x)= f'(E)(x, -x)≥0由此证得f在上为增函数，定理5若函数f在(a,b)上可导，则f在(a,b)上严格递增（严格递减）的充要条件是：()对一切xe(a,b)，有f(x)≥0(f(x)≤0);9中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第六章 微分中值定理及其应用 ln( ), 0 ( ) , 0 x ax x f x eb x         在点 处可导，并求 。 x  0 f (0) 解 f 在点 处连续， x  0 f (0 0) (0 0) (0) 1 ln       ffb a 1 , 0 ( ) , 0 x x f x a x e x           1 1 f f ff (0 0) , (0 0) 1 (0) , (0) 1 a a            f 在点 处可导， x  0 1 f f (0) (0) 1 a        ab f 1, 1, (0) 1    【四】 单调函数 定理 4 设 在区间 xf )( I 上可导,则 在xf )( I 上递增（递减）的充要条件是  xf  0)( ( 0 ). 证 若 为增函数 f ,则对每一  Ix0 ,当 0  xx 时,有 .0 )()( 0 0    xx xfxf 令 ，即得 0  xx .0)( xf 0  反之,若 在区间 xf )( I 上恒有  xf  0)( ,则对任意  Ixx 21 , (设 < )，应用拉格朗日 定理，存在 1 x 2 x ),  Ix2  (x  1 ，使得 .0))(()()( 2  1     xxfxfxf 12  由此证得 在f I 上为增函数． 定理 5 若函数 在( )上可导，则 在( )上严格递增（严格递减）的充要条件 是： f ,ba f ,ba (i) 对一切 ，有  bax ),(  xf  0)( (  xf  0)( )； 中国矿业大学数学学院 9

华师大数学分析（第五版)讲义第六章微分中值定理及其应用(i）在(a,b)的任何子区间上f(x)丰0。证若f在(a,b)上严格递增，由f(x)≥0，(i)成立。现在用反证法证明(ii)成立。如果在某个子区间Ic(a,b)上，f(x)=0，则f(x)=c(xEI)，这与f在(a,b)上严格递增矛盾。反之，由(i)知，在(a,b)上递增。如不是严格增，即x,(a,b),0(f(x)a，有f(a)<f(x)，取a<x<x<x，则f(x)<f(x),令x→at= f(a)≤f(x)从而f(a)≤f(x)<f(xo)。例11讨论下面函数在R上的单调性：(1) f(x)=x; (2) f(x)=x+sinx解（1）f(x)=3x2≥0,f(x)=0的点只有一个x=0，故f严格增。(2）f(x)=1+cosx≥0，f(x)=0的点为x=2k元+元(k=0,±1,±2,.)，这些点不构成区间，所以故f严格增。例12[教材例4]设f(x)=x3-x：试讨论函数f的单调区间解由于f(x) = 3x2 -1=(V3x+1)(/3x -1)11f(x)=0=x=“万方·因此10中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第六章 微分中值定理及其应用 (ii) 在( ) ,ba 的任何子区间上 f x () 0  。 证 若 在f ( ) ,ba 上严格递增，由  xf  0)( ，(i)成立。现在用反证法证明(ii)成立。如果 在某个子区间 I  ( , a b) 上， f x ( )  0，则 f ( ) x cx I  ( )  ，这与 在( )上严格递增矛 盾。 f ,ba 反之，由(i)知， f 在( ) ,ba 上递增。如不是严格增，即 1 2 1 2 x , ( , ), x ab x x   2 ，使得 1 f () () x fx  。从而 1 2 f ( ) x c   ( [ , ]) x xx ，因此 1 2 f ( ) x x xx  0( [ , ])  ，这与条件(ii)矛 盾。 推论 设函数在区间 I 上可导，若    xfxf  )0)((0)( ，则 f 在 I 上严格递增(严格递 减)． 引理 （教材中的注） f 在( , a b)上严格增，在点 x  a 右连续，则 f 在[ , 上也严格 增。 a b) 证 只需证 0   x a ，有 0 f () ( ) a fx  ，取 1 axx x    0，则 1 f ( ) ( ), x fx  令 1 x a fa fx () ( )    从而 1 0 f () ( ) ( ) a fx fx   。 例 11 讨论下面函数在 R 上的单调性： （1） 3 f ( ) x x  ；（2） f ( ) sin x x   x 解 （1） 2 fx x ( ) 3 0,   f x () 0  的点只有一个 x  0 ，故 f 严格增。 （2） fx x ( ) 1 cos 0   ， f x () 0  的点为 xk k  2 ( 0, 1, 2,      ) ，这 些点不构成区间，所以故 f 严格增。 例 12 [教材例 4]设  xxxf ．试讨论函数 的单调区间． 3 )( f 解 由于 ),13)(13(13)( 2  xxf xx  1 1 () 0 , 3 3 fx x     ，因此 中国矿业大学数学学院 10