中国矿业大学：《数值计算方法》课程试题库（共十份，无答案）

《计算方法》试题库计算方法教研组

《计算方法》 试 题 库 计算方法教研组

试题一、填空题：（40分）1、近似值x*=0.231关于真值x=0.229有位有有效数字，绝对误差限为(4-1042、设A=-1-1则A的LU分解为A-0-143、建立计算求V近似值的选代格式阶。收敛速度为(P)(1)0514、线性方程组的最小二乘解为12(1 0)35、两点Gauss公式求积分f(x)dx代数精度4)(56、设A=则 cond(A)。=(422B=05则p(B)=(0077、当n=2时，用复化梯形公式计算IdxY8、满足数据表x213的分段线性插值多项式y4-15P(x)=二、(10分)方程x2=0.9x-8.5=0在[3,4]中有一实根，（1）若用二分法求此根，若要使得误差不超过0.01，应将其二分几次？(2）给出求此根的牛顿选代格式，并计算3步。（小数点后保留3位）三、（10分）求一经过原点的抛物线，使其按最小二乘原理拟合下表中的数据：23410.1.51.82.0

试题一 一、 填空题：（40 分) 1、近似值 0 231 * x  . 关于真值 x  0 229 . 有 位有有效数字，绝对误差限为 。 2、设 4 1 0 1 4 1 0 1 4 A                ，则 A 的 LU 分解为 A= 。 3、建立计算求 3 近似值的迭代格式 ，收敛速度为 阶。 4、线性方程组 1 2 1 0 1 5 1 1 2 1 0 3 x                          的最小二乘解为 。 5、 两点 Gauss 公式求积分 1 0 f x dx ( )   ，代数精 度 。 6、设 5 4 4 3 A        ，则 cond A( )  ； 2 2 3 0 5 1 0 0 7 B              ，则 ( ) B  。 7、当 n=2 时，用复化梯形公式计算 3 1 1 I dx x    。 8、满足数据表 的 分 段 线 性 插 值 多 项 式 P x( )  。 二、 (10 分)方程 2 x x    0 9 8 5 0 . . 在[3,4]中有一实根， (1) 若用二分法求此根，若要使得误差不超过 0.01，应将其二分几次？ (2) 给出求此根的牛顿迭代格式，并计算 3 步。（小数点后保留 3 位） 三、(10 分)求一经过原点的抛物线，使其按最小二乘原理拟合下表中的数据： 1 2 3 4 0. 1.5 1.8 2.0 x 1 2 3 y 1 4 5

并求平方误差8（运算结果小数点后保留4位）。211(x)则111四、(12分)已知方程组x112.(1X讨论用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法是否收敛，若收敛写出迭代格式。五、(8分)请推导出常微分方程数值求解的Euler法，并用其求解如下初值问题：(步长h=0.1)[y'=6-3y,0<x≤3y(0) = 3

并求平方误差 2  (运算结果小数点后保留 4 位)。 四、(12 分)已知方程组 1 2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 x x x                                讨论用 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法是否收敛，若收敛写出迭代格式。 五、(8 分)请推导出常微分方程数值求解的 Euler 法，并用其求解如下初值问题：(步长 h=0.1) 6 3 0 3 0 3 , ( ) y y x y         

试题二一、填空题（共32分）1.设文=3.1415为精确值x的一个近似值，如果x-对≤0.006，则又的相对误差限为，文的有效数字位数为2.设x为方程f(x)=0的根，对于选代求根公式x+1=p(x），若送代函数p(x）满足则，则是局部线性收敛的；若选迭代函数β(x)满足是局部平方收敛的。3.解线性方程组Ax=L的选代格式x(k+1=Mx从+g收敛的充分必要条件为04.设A=，求A,=，,Cond(A)。=_, P(A)=03阶。5.n+1个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为[y'=x-ey的Euler公式为6.求微分方程初值问题，其绝对稳定区间[(x0)= y%为二、（10分）设f(x)=x2-0.9x-8.5=0，求其正根的隔根区间，建立收敛的选代格式，并判断收敛速度。三、（20分）（1）用LU分解法解下列线性方程组0210S3-017712(2）已知方程组1/12anx①写出此方程组的雅可比迭代法公式

试题二 一、填空题（共 32 分） 1. 设 3.1415 ~ x  为精确值 x 的一个近似值，如果 0.006 ~ x  x  ，则 x ~ 的相对误差限为 _， x ~ 的有效数字位数为_ _。 2. 设 * x 为方程 f x( ) 0  的根，对于迭代求根公式 ( ) k 1 k x  x  ，若迭代函数 (x) 满 足 ，则是局部线性收敛的；若迭代函数 (x) 满足 ，则 是局部平方收敛的。 3. 解 线 性 方程组 Ax b  的迭代格式 ( 1) ( ) k k x Mx g    收敛的 充分必要 条 件 为 。 4. 设 0 1 3 0 A        ，求 1 A  ，Cond A( )  = ， ( ) A = 。 5. n 1 个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为 阶。 6. 求微分方程初值问题  0 0  y x ey y x y         的 Euler 公式为 ，其绝对稳定区间 为 。 二、（10 分）设 2 f x x x ( ) 0.9 8.5 0     ，求其正根的隔根区间，建立收敛的迭代格式， 并判断收敛速度。 三、（20 分）(1) 用 LU 分解法解下列线性方程组 1 2 3 4 1 0 2 0 5 0 1 0 1 3 1 2 4 3 17 0 1 0 3 7 x x x x                                        (2) 已知方程组 1 2 3 2 1 1 2 2 2 1 2 1 a x a x a x                                ○1 写出此方程组的雅可比迭代法公式

②证明当a>4时，雅可比选代法收敛。四、（10分）用基函数方法求满足下列条件的三次插值多项式H（x）x01y01y'-39五、（18分）（1）用辛普森公式和n=2的复化梯形公式分别计算积分1=e"dx，并估计两种方法的误差。(2）试用两点高斯-勒让德公式计算积分I=dx。0.61+x[y= f(x,y)的差分格式为六、（10分）已知求解微分方程初值问题( y(xo)= yohJa/=y+Lf(x，y,)+f(xn+1,J)]，求其局部截断误差的首项，并指出阶数。2

○2 证明当 a  4 时，雅可比迭代法收敛。 四、（10 分）用基函数方法求满足下列条件的三次插值多项式 3 H x( ) x 0 1 y 0 1 y / 3 9 五、（18 分）(1) 用辛普森公式和 n  2 的复化梯形公式分别计算积分 1 0 x I e dx   ，并估计 两种方法的误差。 (2) 试用两点高斯-勒让德公式计算积分 1 2 0.6 1 1 I dx x    。 六 、（ 10 分 ） 已 知 求 解 微 分 方 程 初 值 问 题       0 0 ( ) ( , ) y x y y f x y 的 差分格式 为 1 1 1 [ ( , ) ( , )] 2 n n n n n n h y y f x y f x y       ，求其局部截断误差的首项，并指出阶数

试题三一、填空题（共30分）的近似值的相对误差限不超过0.1×10-2，则近似值应取1.为使x位有效数字。2.根据数值计算原则，对于x<<1的x，计算1-cosx时，应将其变形为(111042. 设A=则其LU分解为A=LU=(2 -213.对任意初始向量x()eR"，选代序列x(k+1)=Mx(k)+g(其中MeR"，gER")收敛的充要条件是，x=4.设x=(3,4,-12)，求向量范数x=(V2/22/2), Al =5.设A求矩阵范数A,=/2/2-~2/2)阶。6.n个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为7.已知函数y=f(x)的数据表为R用复化梯形公式计算f(x)dx ~_，用Simpson公式计算(x)dx二、（16分）应用牛顿法于方程x3-α=0，导出求立方根a的送代公式，并讨论其收敛性；用此公式求/115的值（送代两次）。[3x]-2x, =1三、（14分）对于线性方程组2x, -x =1-2x +x +4x =3（1）利用高斯消去法求解方程组；（2）写出Jacobi迭代公式，并证明其收敛性：(3）以x(0)=(0,0,0)为初值，计算x(),x(2)

试题三 一、填空题（共 30 分） 1. 为使 1 3 x  的近似值的相对误差限不超过 2 0.1 10  ，则近似值应取 位有效数字。 2. 根据数值计算原则，对于 x  1 的 x ，计算 1 cos  x 时，应将其变形为 。 2. 设 1 1 1 0 4 1 2 2 1 A              ，则其 LU 分解为                     A  LU  。 3. 对任意初始向量 0 n x R  ，迭代序列 x Mx g k k   ( 1) ( ) (其中 n n M R   ， n g R  ) 收敛的充要条件是 。 4. 设 (3,4, 12)T x   ，求向量范数 2 x  ， x   。 5. 设 2 2 2 2 2 2 2 2 A           ，求矩阵范数 1 A  ， 2 A  。 6. n 个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为 阶。 7. 已知函数 y  f (x) 的数据表为 x 1 2 3 y 1.2 1.5 1.6 用复化梯形公式计算   3 1 f (x)dx _ _，用 Simpson 公式计算   3 1 f (x)dx _ 。 二、（16 分）应用牛顿法于方程 3 x a   0 ，导出求立方根 3 a 的迭代公式，并讨论其收敛 性；用此公式求 3 115 的值（迭代两次）。 三、（14 分）对于线性方程组 1 3 2 3 1 2 3 3 2 1 2 1 2 4 3 x x x x x x x             （1）利用高斯消去法求解方程组； （2）写出 Jacobi 迭代公式，并证明其收敛性； （3）以 (0) (0,0,0)T x  为初值，计算 (1) (2) x x,

四、（14分）已知f（x)在[-1,0]上三阶连续可导，用基函数方法求满足下列条件的二次埃尔米特插值多项式x-10y02y3假设f(x)=x+ax2+bx+c为三次多项式，用H(x)的插值余项求f(x)的准确表达式。五、（14分）（1）用最小二乘法求一形如f(x)=a+bx的经验公式拟合以下数据：2x-201-1J2412.13.9x+x=1（2）利用最小二乘原理求下面不相容方程的近似解人x-x=3。[X +2x, = 4113六、（12分）对于积分『。f(x)dx，若取节点xo=1X2=2考=44（1）试推导一个插值型求积公式；（2）指明求积公式所具有的代数精度；（3）用所求公式计算厂。xdx

四、（14 分）已知 f x( ) 在[-1,0]上三阶连续可导，用基函数方法求满足下列条件的二次埃尔 米特插值多项式 x 1 0 y 0 2 y / 3 假设 3 2 f x x ax bx c ( )     为三次多项式，用 2 H x( ) 的插值余项求 f x( ) 的准确表达式。 五、（14 分）（1）用最小二乘法求一形如 2 f x a bx ( )   的经验公式拟合以下数据： x 2 1 0 1 2 y 4 2 1 2.1 3.9 （2）利用最小二乘原理求下面不相容方程的近似解 1 2 1 2 1 2 1 3 2 4 x x x x x x            。 六、（12 分）对于积分 1 0 f x dx ( )  ，若取节点 0 2 3 1 1 3 , , 4 2 4 x x x    （1）试推导一个插值型求积公式； （2）指明求积公式所具有的代数精度； （3）用所求公式计算 1 2 0 x dx 

试题四一、填空题（共35分）1.在数值计算中，为了使计算结果更精确，我们需要注意的五个原则(214)442. 设A=则其LU分解为A=LU(6512)3. 已知x=(1,-2,0),A，则[x =, A=244.三次多项式样条函数S(x)在每个内节点x(i=1,2.,n-1)上具有阶连续导数。5.已知函数y=f(x)的数据表为31.61.5用复化梯形公式计算[f(x)dx用Simpson公式计算f(x)dx~6.方程y+2y=x的Euler公式为[ x +x =17.下列不相容方程组x-=3的最小二乘解为：x +2x, =4二、(15分)(1)验证方程x-x-1=0在[1，1.5]内有一实根。(2）建立求上述问题的Newton迭代格式，并求出收敛速度。三、（12分）用基函数方法求满足下列条件的二次埃尔米特插值多项式x-10y02y3

试题四 一、填空题（共 35 分） 1. 在数值计算中，为了使计算结果更精确，我们需要注意的五个原则 ， ， ， ， 。 2. 设 2 1 4 4 4 1 6 5 12 A            ，则其 LU 分解为                     A  LU  。 3. 已知   1 5 1 2 0 2 4 T x , , ,A          , 则 2 x  ， A   。 4. 三次多项式样条函数 S x( ) 在每个内节点 ( 1,2, , 1) i x i n   上具有 阶连续导数。 5. 已知函数 y  f (x) 的数据表为 x 1 2 3 y 1.2 1.5 1.6 用复化梯形公式计算   3 1 f (x)dx ， 用 Simpson 公式计算   3 1 f (x)dx 。 6. 方程 y  2y  x ' 的 Euler 公式为 。 7. 下列不相容方程组 1 2 1 2 1 2 1 3 2 4 x x x x x x            的最小二乘解为： 。 二、（15 分） (1) 验证方程 3 x x   1 0 在[1，1.5]内有一实根。 (2) 建立求上述问题的 Newton 迭代格式，并求出收敛速度。 三、（12 分）用基函数方法求满足下列条件的二次埃尔米特插值多项式 x 1 0 y 0 2 y / 3

四、（14分）0.99100方程组Ax=b的精确解为x=已知A=0.9990.98-100(1)计算条件数cond(A)。(100.5)(1)和文(2) 取 =分别计算残向量=b-Ax(i=1,2)，结果说-99.5(0)明了什么？五、（12分）考察用雅可比迭代法是否收敛？若收敛写出迭代格式。[x +2x2 - 2x; =1x +x+x, =12x +2x, +x,=1六、（12分）确定求积公式f(x)dx=A,f(O)+Af()+A,F(O)，使其代数精度尽可能高，并说明有几次代数精度

四、（14 分） 已知 1 0.99 0.99 0.98 A        ， 1 1 b        ,方程组 Ax b  的精确解为 100 100 x         ， (1) 计算条件数 cond A( ) (2) 取 1 1 0 x        和 2 100.5 99.5 x         ，分别计算残向量 ( 1,2) i i r b Ax i    ，结果说 明了什么？ 五、（12 分） 考察用雅可比迭代法是否收敛？若收敛写出迭代格式。 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 1 1 2 2 1 x x x x x x x x x               六、（12 分） 确定求积公式 1 1 2 3 0 f x dx A f A f A f ( ) (0) (1) (0)      ，使其代数精度尽可能高，并说 明有几次代数精度

试题五、填空题（共34分）1.设x=0.320是某个数四舍五入的近似值，其有效数字的位数为相对误差限为2.方程f(x)=x十x-1=0在区间[0,1]内有一根，用二分法进行一步后根所在区间为，用牛顿法求此根的迭代格式为[=(,的欧拉公式中,3.求初值问题(y(x0)= yo4.用辛普森公式计算1=[dx可得S=J01+x(0 2)5.设A=则Cond(A)。=P(A)=(30)6.解线性方程组Ax=b的选代格式x(k+)=M()+g收敛的充分必要条件为107.数值求积公式！f(x)dx=ZAf（x）是插值型的充要条件是其代数精=度x=1x2=2的最小二乘解为8.不相容方程组[x +x, = 4二、（20分）1.用LU分解法解下列线性方程组x-x+=-45x -4x +3x, =-12[2x + x2 +x = 11a21X2.已知方程组2a12alx1（1）写出此方程组的雅可比迭代法公式。（2）证明当a>4，雅可比法收敛。三、（10分）用基函数方法求满足下列条件的四次插值多项式H(x)01x-1

试题五 一、填空题（共 34 分） 1. 设 0 320 * x .  是某个数四舍五入的近似值，其有效数字的位数为 ；相对误差限 为 。 2. 方程   3 f x x x    ＋ 1 0 在区间 [0,1] 内有一根，用二分法进行一步后根所在区间 为 ，用牛顿法求此根的迭代格式为 。 3. 求初值问题    0 0  y f x y, y x y        的欧拉公式中 。 4. 用辛普森公式计算    1 0 1 1 dx x I 可得 S = 。 5. 设 0 2 3 0 A        ，则 Cond A( )  = ， ( ) A = 。 6. 解线性方程组 Ax b  的迭代格式 ( 1) ( ) k k x Mx g    收敛的充分必要条件 为 。 7. 数值求积公式 10 b k k a k 0 f ( x )dx A f ( x )    是插值型的充要条件是其代数精 度 。 8. 不相容方程组 1 2 1 2 1 2 4 x x x x          的最小二乘解为 。 二、（20 分） 1. 用 LU 分解法解下列线性方程组 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 5 4 3 12 2 11 x x x x x x x x x                 2. 已知方程组 1 2 3 2 1 1 2 2 2 1 2 1 a x a x a x                                （1）写出此方程组的雅可比迭代法公式。 （2）证明当 a  4 ，雅可比法收敛。 三、（10 分）用基函数方法求满足下列条件的四次插值多项式 H x 4 ( ) x 1 0 1