中国矿业大学：《数值分析》课程教学课件（讲稿，研究生）第一章 绪论（主讲：韩超）

口为什么学习数值计算方法？许多科学研究与工程设计问题最终都归结为一个数学问题它就是一个数学模型，通过求解这个数学模型，并对所获得的数据分析，达到科学的真缔与工程的完美；但是数学模型可能非常复杂，求出它的准确解几乎不可能因此寻求它的近似解就非常重要，如何得到它的近似解（包括解析的和数值的）？近似（值）是一个普遍现象，从日常生活到科学研究、工程设计无处不在，对一些复杂的（自然或社会）现象以及工程设计问题我们完全可以用近似数据去解释去完善；数值仿真已经成为科学研究与工程设计中非常重要的方法或手段。现代计算机的发展为大量复杂数学模型的求解奠定了基础：使得数值计算技术的发展获得了巨大的支撑；求近似数据的关键途径就是学习或研究数学问题的“计算方法”或“数值分析”，也称为“科学与工程计算

许多科学研究与工程设计问题最终都归结为一个数学问题， 它就是一个数学模型，通过求解这个数学模型，并对所获得 的数据分析，达到科学的真缔与工程的完美； 但是数学模型可能非常复杂，求出它的准确解几乎不可能， 因此寻求它的近似解就非常重要，如何得到它的近似解（包 括解析的和数值的）？ 近似（值）是一个普遍现象，从日常生活到科学研究、工程 设计无处不在，对一些复杂的（自然或社会）现象以及工程 设计问题我们完全可以用近似数据去解释去完善；数值仿真 已经成为科学研究与工程设计中非常重要的方法或手段。 现代计算机的发展为大量复杂数学模型的求解奠定了基础， 使得数值计算技术的发展获得了巨大的支撑； 求近似数据的关键途径就是学习或研究数学问题的“计算方 法”或“数值分析”，也称为“科学与工程计算” 。  为什么学习数值计算方法？

口解决实际问题的理想化过程实际问题数学模型数值算法各种假设、物理原理等设计算法如：天气预报如：概率统计模型如：线性方程组算法产品设计等微分方程模型等数值积分算法等（可视化给定输入（程序设计数值结果数值仿真运行、 编译数据可能是一就是模拟如：FORTRAN,实际问题大堆数据执行算法C语言,MATLAB程序等

                                各种假设、物理原理等 设计算法 实际问题 数学模型 数值算法 如：天气预报 如：概率统计模型 如：线性方程组算法 产品设计等 微分方程模型等 数值积分算法等                                             语言 程序等 如： ， 程序设计 执行算法 数据 给定输入 大堆数据 可能是一 数值结果 实际问题 就是模拟 可视化 数值仿真 运行 编译 C MATLAB FORTRAN ,  解决实际问题的理想化过程

第一章绪论81 课程研究的内容和构造算法的主要途径S2误差83有效算法要具备的条件84灵敏度分析85向量范数与矩阵范数

第一章 绪 论 §1 课程研究的内容和构造算法的主要途径 §2 误差 §3 有效算法要具备的条件 §4 灵敏度分析 §5 向量范数与矩阵范数

81研究内容和构造算法的主要途径研究数学问题数值解的计算方法研究对象：即研究算法的。1哪些数学问题？大型线性方程组Ax-b求解；矩阵A的特征值和特征向量计算非线性方程 f(x)=0 的求解(求根）积分 f(x)dx 计算;常微分方程初值问题求解；函数逼近等

§1 研究内容和构造算法的主要途径 研究数学问题数值解的计算方法， 即研究算法的。 1 哪些数学问题？  大型线性方程组Ax=b求解;  矩阵A的特征值和特征向量计算;  非线性方程 的求解(求根);  积分 计算;  常微分方程初值问题求解;  函数逼近等 f x( ) 0  ( ) b a f x dx  一 研究对象：

2研究数值解的必要性[y' = 1-2xy例1常微分方程初值问题y(0) = 0其解析解(精确解)为： y(x)=e-Te dt要求计算 y(1),y(1.5)等近似值。3构造算法的主要思想迭代法以直线代替曲线（非线性问题线性化）化整为零（离散化）外推法（加速）

2 研究数值解的必要性 例1 常微分方程初值问题 1 2 (0) 0 y xy y        其解析解(精确解)为: 2 2 0 ( ) x x t y x e e dt    要求计算 y y (1), (1.5) 等近似值。 3 构造算法的主要思想  迭代法  以直线代替曲线（非线性问题线性化）  化整为零（离散化）  外推法（加速）

二数值计算原则好算法的三个标准快准省计算步骤少，收敛速度快数值稳定性好，计算结果可靠性高节省计算机内存(大型稀疏矩阵问题

二 数值计算原则 好算法的三个标准： 快 — 计算步骤少，收敛速度快 准 — 数值稳定性好，计算结果可靠性高 省 — 节省计算机内存(大型稀疏矩阵问题)

1.快：计算步骤少，收敛速度快例2多项式求值的Hornor算法(秦九韶算法P7)P,(x) = a,x" + an-ix"-- +...+ a,x+ ao给定x的值，计算 P,(x)的值。≤算法1：按自然顺序计算加法次数=nn(n + 1)乘法次数= n+(n-1)+...+1= "2α算法2：嵌套算法（Hornor,秦九韶）P,(x) =(a,x + an-1)x + an-2)x +... + a,)x + ao乘法次数一加法次数一n

1. 快:计算步骤少，收敛速度快 例2 多项式求值的Hornor算法(秦九韶算法P7) 1 1 1 0 ( ) n n P x a x a x a x a n n n        给定x的值，计算 P x n ( ) 的值。 算法1：按自然顺序计算 乘法次数＝ ( 1) ( 1) 1 2 n n n n       加法次数＝ n 算法2: 嵌套算法（Hornor,秦九韶） 乘法次数＝加法次数＝ n 1 2 1 0 ( ) ((( ) ) ) P x a x a x a x a x a n n n n        

ai1xi + a12x2 + ..: + ainxn = bia21X1 + a22x2 + :::+ a2nxn = b2例3解线性方程组aniXi +an2x2 +:.:+ annxn = bn≤算法l：Cramer法则D;,(i - 1,2,,n), D -E(-1) a1j,'2i-- mj,.xiD乘除法次数A = n!(n-l)(n+1)+ n如n =20,A20 ~ 9.7×1020，假设计算机 1 秒钟进行1 亿=108次乘除法，共需时：9.7 ×1020～30(万年)ti=10°×60 ×60 × 24 ×365

                   n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 例3 解线性方程组 算法1: Cramer法则 乘除法次数An ＝ ,(i 1,2, ,n), D D x i i       njn D a j a j a 1 2 1 2 ( 1)  n!(n  1)(n  1)  n 20, 9.7 10 , 20 如n  A20   假设计算机１秒钟进行 １亿=108次乘除法，共需时： . t       20 1 8 9 7 10 10 60 60 24 365  30 (万年)

算法2：Gauss消去法乘除法次数：An=n +n2A20 = 3060耗时：t,=3×10～ (秒)例4 如FFT(快速傅立叶变换ab+ac =a(b+c)； 零乘一个数省去例5 计算积分的梯形公式与Simpson公式非线性方程求根，Newton法比一分法快

算法2: Gauss消去法 乘除法次数： An n n n 3 1 3 1 3 2    A20  3060 耗时： t    5 2 3 10 (秒) 例5 计算积分的梯形公式与Simpson公式； 非线性方程求根，Newton法比二分法快。 例4 如FFT(快速傅立叶变换) ab  ac  a(b  c); 零乘一个数省去

2.准：数值稳定性好，计算结果可靠性高例6 求根 x2－56x+1=0，假设计算机有尾数为5位783 = 27.98256± /783×4=28 ± 783α算法1:xi.2 =2韦达定理：x, = 28 + V783 = 55.982设ax2 + bx + c = 0(a ± 0)x, = 28 - V783 = 0.018bC则xi + X2 =Xix20a区算法2:x, = 28 + ~783 = 55.982110.0178630Xz =28 + ~78355.982注：x2 = 0.0178628

2. 准:数值稳定性好，计算结果可靠性高 例6 求根 ，假设计算机有尾数为5位， 2 x x    56 1 0 算法1: 1 x    28 783 55.982 算法2: 783 27.982  1,2 56 783 4 28 783 2 x      2 x    28 783 0.018 1 x    28 783 55.982 2 1 1 0.017863 28 783 55.982 x     注：x2 *  0.0178628 a c x x a b x x ax bx c a         1 2 1 2 2 , 0( 0), 则 设 韦达定理：