高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）2 第一章 实数集与函数 s02实数的基本性质2

实数的大实数的四则运s1实数实数的十进制小数表示实数的阿基米德性算小第二讲实数的基本性质 2数学分析第一章实数集与函数高等教育出版社

数学分析 第一章 实数集与函数 高等教育出版社 §1 实数 实数的十进制小数表示 实数的大 小 实数的四则运 算 实数的阿基米德性 第二讲 实数的基本性质 2

买数的大实数的四则运$1实数实数的阿基米德性实数的十进制小数表示算实数的阿基米德性实数具有阿基米德性：Va,beR+， neN+，使得 nb>a.理由如下：设a=ag.aja,..an..", a, = ke N,则a≤k+1a.数学分析第一章实数集与函数高等教育出版社

数学分析 第一章 实数集与函数 高等教育出版社 §1 实数 实数的十进制小数表示 实数的大 小 实数的四则运 算 实数的阿基米德性 实数的阿基米德性 实数具有阿基米德性: +   a b, R , 理由如下： 0 1 2 . , n a a a a a  1 10 . 1    k 则 a k 设 b  b0 .b1b2 bn  , bp 为第一个不为零的正整数, 10 ,  1  p k 令 n 10 . 1 nb a k   则  设 实数的阿基米德性  n N , + 使得 nb a  . a k 0   N

实数的大实数的四则运s1实数实数的十进制小数表示实数的阿基米德性算小1=0,则3nN+，使得n证 令a=1，由阿基米德性,EneN+1使nb>1,即<b.n阿基米德（Archimedes287B.C.一212B.C.，希腊）数学分析第一章实数集与函数高等教育出版社

数学分析 第一章 实数集与函数 高等教育出版社 §1 实数 实数的十进制小数表示 实数的大 小 实数的四则运 算 实数的阿基米德性 例1 + 1 b n b 0, N , . n 若     则 使得 1 b. n  证 令a  1,  n N , + 阿基米德 ( Archimedes, 287B.C.－212B.C. , 希腊 ) 实数的阿基米德性 使nb  1，即由阿基米德性

与数轴上的点买数的绝对值马s1实数实数的稠密性对应三角形不等式实数的稠密性1.任意两个不相等的实数a与b之间，必有另一个a+b实数C.例如c：22.任意两个不相等的实数a与b之间，既有有理数又有无理数证 若a<b，则由例1，存在nεN+,使-(b-Y数学分析第一章实数集与函数高等教育出版社

数学分析 第一章 实数集与函数 高等教育出版社 §1 实数 实数的稠密性 与数轴上的点 一一对应 实数的绝对值与 三角形不等式 实数的稠密性 数又有无理数. . 2 a b c  例如  证 若 a b  ， ( ). 2 1 1 b a n   实数的稠密性 2.任意两个不相等的实数 a 与 b 之间， 必有另一个 实数 c . 1.任意两个不相等的实数 a 与 b 之间， 既有有理 则由例 1，存在 n N , + 使

买数的绝对值与与数轴上的点s1实数实数的稠密性对应三角形不等式Tk+1设k是满足≤α的最大的正整数,即>annk+ 2k+1k+1 k+2是则于是，a0,ab,令 ε=a-b>0,则a=b+ε,证与a<b+ε矛盾数学分析第一章实数集与函数高等教育出版社

数学分析 第一章 实数集与函数 高等教育出版社 §1 实数 实数的稠密性 与数轴上的点 一一对应 实数的绝对值与 三角形不等式 设 k 是满足 k n  a 的最大的正整数， . 1 a n k  即  则 是 n k n k 2 ,  1  , 1 2 , b n k n k a     于是  例2 若a,b R,对   0，a  b  ，则a  b. 证 倘若a b  ， 则 a  b   , 与a  b   矛盾. 的无理数. 1 π 4 k a b n n 而 是 与 之间  a b 与 之间的有理数,  实数的稠密性 令     a b 0

与数轴上的点实数的绝对值s1实数实数的稠密性对应三角形不等式实数与数轴上的点一一对应实数集R与数轴上的点可建立一一对应关系1．这种对应关系，粗略地可这样描述设 P是数轴上的一点(不妨设在0的右边)，若P在整数n与n+1之间，则 a=n.把(n,n+1l十等分，若点P在第i个区间，,则a,=i.类似可得到a,，n=2,3,….这时,令点p对应于a..a.a....an....反之，任何一实数也对应数轴上一点2.实数集与数轴上点的一一对应关系反映了实数的完备性，我们将在后面有关章节中作进一步讨论数学分析第一章实数集与函数高等教育出版社

数学分析 第一章 实数集与函数 高等教育出版社 §1 实数 实数的稠密性 与数轴上的点 一一对应 实数的绝对值与 三角形不等式 实数与数轴上的点一一对应 0 1 2 . . n a a a a 实数集 R与数轴上的点可建立一一对应关系. 1. 这种对应关系， 设 P 是数轴上的一点( 0 ), 不妨设在 的右边 整数 n n 与  1之间， 把( , 1] , n n  十等分 , 2, 3, . n 类似可得到 a n  这时, 令点 p 对应于 反之, 任何一实数也对应数轴上一点. 2.实数集与数轴上点的一一对应关系反映了实数的 完备性, 若 P 在 与数轴上的点 一一对应 0 则 a n  . 1 若点 P i 在第 个区间，则 a i  . 我们将在后面有关章节中作进一步讨论. 粗略地可这样描述：

与数轴上的点实数的绝对值与$1实数实数的稠密性三角形不等式对应实数的绝对值与三角形不等式1.实数a的绝对值lal定义为a≥0,a,[a|=a<0.-a,2.实数的绝对值性质当且仅当a=0时lal=0(1) [a|=|-a|≥0;(2) -la[≤a≤|a / (3)la<h-h<a<h, la<h-h≤a≤h.数学分析第一章实数集与函数高等教育出版社

数学分析 第一章 实数集与函数 高等教育出版社 §1 实数 实数的稠密性 与数轴上的点 一一对应 实数的绝对值与 三角形不等式 实数的绝对值与三角形不等式 2. 实数的绝对值性质: (1) | | | | 0; a a    (2)  | a | a | a | . (3)| a | h  h  a  h, | a | h  h  a  h. , 0, | | , 0. a a a a a       1. 实数 a 的绝对值| a | 定义为 实数的绝对值与 三角形不等式 当且仅当 a  0 | | 0. a  时

买数的绝对值与与数轴上的点s1实数实数的稠密性对应三角形不等式(4)[a|-[b|≤|a+b[≤|a[+|bl(三角形不等式)(5) lab |= /a //b/.a-b(6)(b ± 0)Ibl3.三角形不等式la|-b|≤|a+bl≤la|+lb的证明由-[a<a≤a],-[b<b≤bl得-(la/+bD≤a+b≤a|+|bl,即|a+b[|a / +/b].又la=a-b+ba-bl+lbl, 即la|-[ba+bl数学分析第一章实数集与函数高等教育出版社

数学分析 第一章 实数集与函数 高等教育出版社 §1 实数 实数的稠密性 与数轴上的点 一一对应 实数的绝对值与 三角形不等式 (4)| a |  | b |  | a  b |  | a |  | b | (三角形不等式). (5)| ab |  | a | | b | . | | (6) ( 0). | | a a b b b   3. 三角形不等式 | a |  | b |  | a  b |  | a |  | b | 的证明： 由 | a | a | a |,  | b | b | b |得  (| a |  | b |)  a  b | a |  | b |, 即| a  b || a |  | b | . 又 | a || a  b  b || a  b |  | b |, 即| a |  | b || a  b | . 实数的绝对值与 三角形不等式