高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）12 第二章 数列极限 s03数列的性质1

第二章数学分析s2收敛数列的性质数列极限本节首先考察收敛数列这个新概念有哪些优良性质，然后学习怎样运用这些性质

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S2收敛数列的性质第三讲数列的性质1数学分析第二章数列极限高等教育出版社

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唯一性有界性迫敛性保不等式性保号性s2收敛数列的性质定理2.2（唯一性）若{α收敛，则它只有一个极限证设a是{a的一个极限.下面证明对于任何定数b≠a,b不能是(a的极限.若a，b都是（an的极限，则对于任何正数ε>0,N,当 n>N 时，有(1)Ian-alN,时，有后退前进目录退出数学分析第二章数列极限L店高等教育出版社

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追敛性唯一性有界性保不等式性2收敛数列的性质保号性(2)Ian -blN时(1),(2)同时成立,从而有[a-bl≤la,-al+la,-bl<2.因ε是任意的，所以a=b。(1)Ian-al<ε;数学分析第二章数列极限高等教育出版社

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唯一性有界性迫敛性保不等式性S2收敛数列的性质保号性定理2.3（有界性）若数列{α,收敛，且是有界数列。即存在M>0，使得lan≤M,n=1,2,.。证 设 lim a,=a,对于正数ε=l,N,n>N时，有n→8lan-a|<l,即a-1<a,<a+1.若令 M =maxi Ia, l,laz l,..,la l,la-1],|a+1l}则对一切正整数 n，都有Ianl≤ M.注数列(-1)"}是有界的，但却不收敛。这就说明有界只是数列收敛的必要条件，而不是充分条件数学分析第二章数列极限高等教育出版社

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唯一性有界性迫敛性保不等式性S2收敛数列的性质保号性定理2.4（保号性）设 lim a,=a,对于任意两个实数 b,c,bN 时,b0,N,当n>N时b≤a-<a,<a+≤c,即b<a,<c.数学分析第二章数列极限高等教育出版社

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S2收敛数列的性质a?或c=注若a>0(或a<0)，我们可取 b=22dC则a.(或a07<0V1122这也是称该定理为保号性定理的原因数学分析第二章数列极限高等教育出版社

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迫敛性唯一性有界性保不等式性52收敛数列的性质保号性10.lim例1 证明n!n>(1/ε)n=0，所以由证对任意正数ε，因为limn!n->00定理2.4，3N>0,当n>N时(1/s)"1即00数学分析第二章数列极限高等教育出版社

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唯一性有界性迫敛性保不等式性s2收敛数列的性质保号性定理2.5（保不等式）设a,{b,}均为收敛数列，如果存在正数N。当 n>N,时,有a,≤b,，则J lim a,≤ limbn0n→80证 设 lima,=a, limb,=b.若b<a,n→8n8a-b2xba数学分析第二章数列极限高等教育出版社

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追敛性唯一性有界性保不等式性2收敛数列的性质保号性a-b取ε=由保号性定理,存在 N>N,当n>N时2a+ba-ba-ba+bb.a2222故a,>bn，导致矛盾.所以 a≤b.注若将定理2.5中的条件a,≤b,改为an<bn也只能得到lima,≤limb,.这就是说，即使条件n-00n-0结论却不一定是严格不等式是严格不等式，<,，但 lim二= lim二=0.例如，虽然n-nn-数学分析第二章数列极限1高等教育出版社

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