高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）35 第四章 函数的连续性 s02函数的间断点

区间上的S1连续性概念函数在一点的连续性间断点的分类连续函数第二讲函数的间断点数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

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区间上的51连续性概念间断点的分类函数在一点的连续性连续函数间断点的分类定义4设函数f在x。的某(空心)邻域(U°x))内有定义若f在点x无定义，或者在点x有定义但却在该点不连续，那么称点x为函数的一个间断点或不连续点，由此，根据函数极限与连续之间的联系，如果f在点xo不连续，则必出现下面两种情况之一数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

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区间上的51连续性概念间断点的分类函数在一点的连续性连续函数(i)f在点x无定义或者在点x的极限不存在;(i)f在点x。有定义且极限存在,但极限值却不等于f(xo).根据上面的分析，我们对间断点进行如下分类：1.可去间断点:若limf(x)=A存在，而f在点xX无定义，或者有定义但f(x)≠ A，则称x,是f的一个可去间断点，数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

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区间上的S1连续性概念函数在一点的连续性间断点的分类连续函数2.跳跃间断点：若 lim f(x)= A，lim f(x)=Bx→xox>x都存在,但 A≠B,则称点x,为的一个跳跃间断点.可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点注xo是f的跳跃间断点与函数f在点xo是否有定义无关3．第二类间断点：若f在点xo的左、右极限至少有一个不存在，则称x。是f的一个第二类间断点数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

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区间上的51连续性概念间断点的分类函数在一点的连续性连续函数(1x±0例1 试证函数 f(x)=在x=0处不连续0x=0并且 x=0 是f(x)的一个可去间断点证因为ylim f(x) =1± f(0),r01所以x=0是f(x)的x一个可去间断点，0数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

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f x ( )


ⱘϔϾৃএ䯈ᮁ⚍
1 x y O 0 lim ( ) 1 (0), x fx f o z Ӣ६ࣩ䎯ݮ୎

区间上的91连续性概念函数在一点的连续性间断点的分类连续函数注 1.对于任意函数g(x)，若它在x=x。处连续，那么函数g(x),x+xoF(x) :A,x=xo在 A≠g(x)时，x恒为F(x)的一个可去间断点2.若点xo是f(x)的可去间断点,只要重新定义f(x)在点x的值为limf(x)，那么它就在点x.连续xx数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

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区间上的61连续性概念函数在一点的连续性间断点的分类连续函数例2讨论函数1x±0,el/x +1'f(x)=30,x=0在x=0处是否连续？若不连续，是什么类型的间断点？11解 因为lim f(x) = limlim= 0 = f(0),1J→+ e' +1x-→0*x-0ex +111limlim f(x) = lim=1±f(0),1e"+1x-0J--0x0ex +1所以f(x)在x=0处右连续而不左连续，从而不连续由于其左、右极限都存在，因此是跳跃间断点，数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

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区间上的51连续性概念函数在一点的连续性间断点的分类连续函数的哪一类间断例3试问x=0是函数f(x)=sin=x点?解?因为由归结原则可知，11与 lim sinlim sin-x-→0+x→0xx均不存在，所以x=0是f(x)的一个第二类间断点数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

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区间上的51连续性概念函数在一点的连续性间断点的分类连续函数区间上的连续函数若函数f在区间I上的每一点都连续，则称f为I上的连续函数．对于闭区间或半闭区间的端点函数在该点连续是指相应的左连续或右连续例如，=c,=xn(n为正整数)以及=sinx都是R上的连续函数；而函数 =~1-x2是区间[-1,1]上的连续函数，在x=-1,x=1处的连续分别指右连续和左连续数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

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区间上的91连续性概念函数在一点的连续性间断点的分类连续函数如果函数f在[a,bl上的不连续点都是第一类的并且不连续点只有有限个，那么称f是[a,b]上的一个按段连续函数.从几何上看，按段连续曲线就是由若干个小区间上的连续曲线合并而成(当然可能要添加或改变某些分段点处的值)数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

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