高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）50 第五章导数和微分 s06 导数的四则运算

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高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）50 第五章导数和微分 s06 导数的四则运算

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第五章数学分析S2求导法则导数和微分一、导数的四则运算导数很有用，但二、反函数的导数全凭定义来计算导数是不方便的为此要建立一些三、复合函数的导数有效的求导法则，使导数四、基本求导法则与公式运算变得较为简便*点击以上标题可直接前往对应内容

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S2求导法则导数的四则运算反函数的导数复合函数的导数基本求导法则与公式第六讲导数的四则运算数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

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导数的四则运算S2求导法则反函数的导数复合函数的导数基本求导法则与公式导数的加减法与乘法运算定理5.4若函数u(x),v(x)在点x可导，则函数f(x)=u(x)±v(x)在点 xo也可导,且(1)(u(x)± v(x)) |x=xo= u(xo)± v(xo).定理5.5若函数 u(x),v(x)在点 x可导,则函数f(x)=u(x)v(x) 在点x也可导,且(u(x)v(x))(2)[x=xo = u(x0)v(xo) + u(x)v(x0).数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

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导数的四则运算反函数的导数S2求导法则复合函数的导数基本求导法则与公式推论若u(x)在点x可导,c是常数，则(3)(cu(x) x=xo = cu'(xo).定理5.5可推广到任意有限个函数相乘的情形，如(uvw)'=u'vw+uvw+uvw'注意：(uv）￥u，千万不要把导数乘积公式(2)记错了。下面证明乘积公式（2)数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

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导数的四则运算S2求导法则反函数的导数复合函数的导数基本求导法则与公式证(2）按定义可得u(xo +△x)v(xo +△x) -u(xo)v(xo)f(xo)= lim -Ax4x-0u(xo + △x)v(xo + △x)-u(xo)v(xo + Ax)= lim△x△x→0(u(xo)v(xo + △x) -u(xo)v(xo)Axu(xo + △x)-u(xo)limv(xo +△x)Ax4x-→0v(xo + △x)- v(xo)+ lim u(xo)△x4x-→0= u'(xo) v(xo) + u(xo) v'(xo) .数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

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导数的四则运算反函数的导数复合函数的导数52求导法则基本求导法则与公式例1求 f(x)=agx"+a,xn-l+...+an-ix+an的导数解 f'(x) =(a,x") +(axn-l)'+...+(an-ix)'+(an)"= nagx"-1 +(n -1)a,x"-2 +... + an-1'因此,对于多项式f而言，f总是比f低一个幂次例2 求 j= sinxlnx 在 x="处的导数.2解由公式(2)，得y' = (sinx)'ln x + sin x(lnx)'= cosxlnx +-sinx,x2V元2元数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

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导数的四则运算反函数的导数S2求导法则复合函数的导数基本求导法则与公式导数的除法运算定理5.6若函数文 u(x),v(x) 在点xo可导，v(x)≠0,u(x)在点x也可导，且则 f(x)=v(x)u'(xo)v(xo)-u(xo)v(xo)u(x)(4)v2(xo)v(x)X=Xou(x)除法看似复杂，但只要注意到v(x)v(x)事情就简单了。数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

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导数的四则运算62求导法则反函数的导数复合函数的导数基本求导法则与公式1证设 g(x)则 f(x) =u(x)g(x). 对g(x),有v(x)11v(xo +△x) v(xo)g(xo +△x) - g(xo)Ax△x1v(xo +△x) -v(xo)Axv(xo + △x) ·v(xo)由于v(x)在点 x可导，v(x)±0，因此)(x)g(x0) = lim g(xo +Ax)-g(xo),△xv(xo)Dx->0v'(xo)1(5)亦即v(x0)v(x)X=X0数学分析第五章导数和微分0高等教育出版社

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S2求导法则导数的四则运算反函数的导数复合函数的导数基本求导法则与公式对 f(x)=u(x)g(x)应用公式(2) 和 (5), 得1f'(xo) = u'(xo)Xov(x)v(xo)x=Xu'(xo)'(xo)u(xov2(x0)v(xo)u(xo)v(xo) -u(xo)v'(xo)v(xo)u'(xo)v(xo) - u(xo)v'(xo)u(x)即v(x)v2(xo)x=xo数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

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62求导法则导数的四则运算反函数的导数复合函数的导数基本求导法则与公式例3求下列函数的导数：(i）x-n，n 是正整数;(ii) tanx, cotx:(iii) secx, cscx.hrn-1(x")"解(i)(x-")-n--nx2n2nxxcosx - sinx(cosx)sinxsinx(ii) (tanx) =2cosxcos'x1cos-x +sinxS=secx.22cos" xcos"x数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

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