高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）59 第六章 微分中值定理及其应用 s15 罗尔定理

函数单调性的判别S1拉格朗日定理和函数的单调性罗尔定理与拉格朗日定理第一讲罗尔定理数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 罗尔定理与拉格朗日定理 函数单调性的判别 罗尔定理 第一讲 罗尔定理与拉格朗日定理

第六章数学分析S1拉格朗日定理和微分中值定理及其应用函数的单调性中值定理是联一、罗尔定理与拉格朗系厂与f的桥梁.有了日定理中值定理，就可以根据厂在区间上的性质来二、函数单调性的判别得到f在该区间上的整体性质.*点击以上标题可直接前往对应内容

一、罗尔定理与拉格朗 日定理 中值定理是联 系 与 f 的桥梁.有了 中值定理, 就可以根据 在区间上的性质来 得到 f 在该区间上的 整体性质. §1 拉格朗日定理和 函数的单调性 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 二、函数单调性的判别 f ′ f ′ *点击以上标题可直接前往对应内容

函数单调性的判别S1拉格朗日定理和函数的单调性罗尔定理与拉格朗日定理罗尔定理定理6.1（罗尔中值定理）设函数f(x)在区间[a,b]上满足：(i)在闭区间[a, bl上连续：(ii)在开区间(a, b)上可导;(iii) f(a) = f(b)那么在开区间(a,b)内必定(至少)存在一点，使f'() = 0.数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 罗尔定理与拉格朗日定理 函数单调性的判别 定理6.1（罗尔中值定理） 设函数 f (x)在区间[a,b]上满足： 罗尔定理 那么在开区间(a, b)内必定(至少)存在一点ξ, 使 f ′( ) 0. ξ = (i) 在闭区间 [a, b] 上连续; (ii) 在开区间 (a, b) 上可导; 罗尔定理与拉格朗日定理 (iii) fa fb ( ) ( ). =

罗尔定理与拉格朗日定理函数单调性的判别S1拉格朗日定理和函数的单调性(1)几何意义据右图，因为1f(a) =f(b),B所以线段AB是水平A的.由几何直观可以0x看出，曲线上至少有S52ab一点处的切线也是水平的.数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 罗尔定理与拉格朗日定理 函数单调性的判别 (1) 几何意义 据右图, x y a b A B ξ 1 ξ 2 O 平的. 一点处的切线也是水 看出, 曲线上至少有 由几何直观可以 所以线段 AB 是水平 因为 f (a) = f (b), 的. 罗尔定理与拉格朗日定理

罗尔定理与拉格朗日定理函数单调性的判别S1拉格朗日定理和函数的单调性(2) 条件分析定理中的三个条件都很重要，缺少一个，结论就不一定成立.y0≤x<1,x,(a) 函数 f(x)=0,x=1在[0,1]上满足条件 (i) 和x0(iii)，但条件(i)不满足,该函数在（0,1)上的导数恒为1．结论不成立数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 罗尔定理与拉格朗日定理 函数单调性的判别 (2) 条件分析 O x y 定理中的三个条件都很重要，缺少一个,结论就不 , 0 1, (a) ( ) 0, 1 x x f x x  ≤ < =   = 函数 在 [0, 1] 上满足条件 (ii) 和 一定成立. 数在 (0, 1) 上的导数恒为1. (iii), 但条件 (i) 不满足,该函 罗尔定理与拉格朗日定理 结论不成立

罗尔定理与拉格朗日定理函数单调性的判别S1拉格朗日定理和函数的单调性L(b) f(x)=lxl,xe[-1, 1]满足条件(i)和 (iii)，但条件(ii) 却遭到破坏（f 在 x = 0x01-1处不可导)结论也不成立V(c) f(x) = x, x E[0, 1] 满足条件(i)和 (ii)，但条件(iii)却遭到破坏，该函数在(0,1)01x内的导数恒为1．结论也不成立数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 罗尔定理与拉格朗日定理 函数单调性的判别 (b) f (x) = | x |, x ∈[−1, 1] 满足条件 (i) 和 (iii), 条件 (i) 和 (ii), (c) f (x) = x, x ∈[0, 1] 满足 O x y 1 O y − 1 1 x 处不可导). (ii) 却遭到破坏 ( f 在 x = 0 内的导数恒为1. 却遭到破坏, 但条件 结论也不成立. 但条件 (iii) 该函数在 (0, 1) 结论也不成立. 罗尔定理与拉格朗日定理

罗尔定理与拉格朗日定理函数单调性的判别S1拉格朗日定理和函数的单调性V注 函数 f(x)=xD(x)在区间[-1,2]上三个3条件都不满足，却仍有2f'(0)=0.这说明罗尔定理的三个条件是充分01-12 x条件，而不是必要条件下面证明定理数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 罗尔定理与拉格朗日定理 函数单调性的判别 2 注 函数 f x xDx () () = -1 O 1 2 1 2 3 4 x y 在区间[ 1, 2] − 上三个 条件都不满足, f ′(0)=0. 理的三个条件是充分 条件, 而不是必要条件. 却仍有 这说明罗尔定 下面证明定理 罗尔定理与拉格朗日定理

函数单调性的判别罗尔定理与拉格朗日定理S1拉格朗日定理和函数的单调性定理6.1（罗尔中值定理）设函数f(x)在区间[a,bl上满足：(i)在闭区间[a,bl上连续(ii) 在开区间 (a, b) 上可导； (ii) f(a)= f(b)则在开区间(a, b)内至少存在一点，使f() = 0.证因为f(x)在[a,b] 上连续，所以由连续函数的最大最小值定理，f(x)在[a,b] 上能取得最大值 M 和最小值m.下面分两种情形加以讨论数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 罗尔定理与拉格朗日定理 函数单调性的判别 因为 f (x) 在 [a, b] 上连续, 小值 m . f (x) 在 [a, b] 上能取得最大值 M 和最 所以由连续函数的最大、 最小值定理, 下面分两种情形加以讨论. 设函数 f (x)在区间[a,b]上满足： 则在开区间(a, b)内至少存在一点ξ, 使 f ′( ) 0. ξ = (i) 在闭区间 [a, b] 上连续; (ii) 在开区间 (a, b) 上可导; (iii) fa fb ( ) ( ). = 定理6.1（罗尔中值定理） 证

罗尔定理与拉格朗日定理函数单调性的判别S1拉格朗日定理和函数的单调性情形1 M= m.此时 f(x)恒为常数,它的导函数恒等于零，此时可在（a,b)内随意取一点，就有f'()=0.情形2m<M.既然最大、最小值不等，从而最大值与最小值至少有一个不在端点取到：不妨设最大值不在端点取到，故存在E(a,b),使得f() = M.因为在区间内部取到的最大值一定是极大值，所以由费马定理,得 f()=0.数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 罗尔定理与拉格朗日定理 函数单调性的判别 情形1 M = m. f ′(ξ) = 0 . 此时可在 (a, b) 内随意取一点 ξ , 就有 此时 f (x) 恒为常数,它的导函数恒 等于零, 情形2 m < M. f (ξ ) = M. 大值不在端点取到, ξ ∈( , ), a b 使得 值与最小值至少有一个不在端点取到. 既然最大、最小值不等, 从而最大 不妨设最 故存在 因为在区间内部取到的最大值一定是极大值, 所以 由费马定理,得 f ′(ξ ) = 0. 罗尔定理与拉格朗日定理

罗尔定理与拉格朗日定理函数单调性的判别S1拉格朗日定理和函数的单调性例1 设p(x)是一个多项式,且方程p(x)= 0 没有实根,则方程p(x)= 0 至多有一个实根，且这个根的重数为1.证 设 p(x)有两个实根 xi,X2, Xi<X2,由于p(x)是多项式，所以p(x)在[x,x,]上满足罗尔定理的条件,从而存在ε(xi,x,),使得 p()=0,这与条件矛盾.又若 p(x)有一个 k 次重根 xo，则p(x)=(x - xo)* pi(x), k ≥ 2.因为p(x) = k(x- x)k- pi(x)+(x - x) p(x)所以 p(xo)= 0,矛盾.数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 罗尔定理与拉格朗日定理 函数单调性的判别 p′(ξ ) = 0, 这与条件矛盾. 例1 设 p(x) 是一个多项式, 且方程 p'(x) = 0 没有实 证 ( ) , , , 设 p x 有两个实根 x1 x2 x1 < x2 由于p x( )是 重数为 1 . 根, 则方程 p(x) = 0 至多有一个实根，且这个根的 多项式, 1 2 所以 px x x () [ , ] 在 上满足罗尔定理的条件， 1 2 从而存在ξ ∈( , ), x x 使得 又若 p(x) 有一个 k 次重根 x0 , 则 ( ) ( ) ( ), 2. p x = x − x0 p1 x k ≥ k 1 0 1 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), k k p x kx x p x x x p x − 因为 ′ ′ = − +− ( ) 0, 所以 p′ x0 = 矛盾. 罗尔定理与拉格朗日定理