高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）81 第六章 微分中值定理及其应用 s37 习题课五

习题课55函数的凸性与拐点第二十三讲习题课（五）数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 习题课 习题课（五） 第二十三讲

习题课55函数的凸性与拐点重要内容回顾1.函数凸性的定义及其等价的定义：2.凸函数的性质：3.可导函数凸性的等价条件：4.詹森不等式：5.曲线的拐点，数学分析第六章行微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 习题课 重要内容回顾 3. 可导函数凸性的等价条件； 1. 函数凸性的定义及其等价的定义； 4. 詹森不等式； 5. 曲线的拐点. 2. 凸函数的性质；

习题课65函数的凸性与拐点补充例题例1 证明伯努利(Bernoulli)不等式：(1+x)~≤1+αx, x>-1, 0-1, α>1.并且当且仅当x=0时等号成立.证 令 f(x)=(1+x)~, : f(x)=α(1+x)-1f"(x) = α(α -1)(1 + x)α-2.当x>-1, 0-1时有f(x)≤ f(O) + f'(O)x即(1+ x)~ ≤1+αx.数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 习题课 补充例题 例1 (1 ) 1 , 1, 0 1; x xx α + ≤ + >− − > α α 并且当且仅当 x = 0 时等号成立. 1 fx x ( ) (1 )α α −  ′ = + ， 2 f x( ) ( 1)(1 ) . x α α α − ′′ = −+ 当 x >− −1 时有 fx f f x ( ) (0) (0) , ≤ + ′ (1 ) 1 . x x α 即 + ≤+α 凹函数

习题课S5函数的凸性与拐点例2设f(x)是开区间I上的凸函数，则对任意闭区间[a,b]CI，f(x)满足利普希茨(Lipschitz)条件，即L> 0, 对Vx',x" [a,b], 有If(x") - f(x) 0).数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 习题课 例2 设 fx I ( )是开区间 上的凸函数，则对任意闭区间 证 a a x x bb ′ ′ ′′ ′ ∀ ∈ L x x ab 0, , [ , ], 对 ′ ′′ 有 设 x x ′ ′′

习题课55函数的凸性与拐点2T例3证明不等式sin元x≤x(1-x), x e[0,1]2元证 令f(x)= sin元xx(1- x), x e [0,122元则 f'(x)= 元cos元x元x2f"(x) = -元’ sin元x + π2 ≥ 0.所以f(x)是[0,1]上的连续凸函数，其最大值在端点取得,因此 f(x)≤maxif(O),f(1)) = 0, x E[0,1]即sin元x≤x(1-x), x e[0,1]2本题也可用单调性证明数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 习题课 例3 2 π sinπ (1 ), [0,1]. 2 证明不等式 x x xx ≤−∈ 证 令 2 π ( ) sinπ (1 ), [0,1], 2 fx x x x x = − −∈ 则 2 π 2 ( ) πcosπ π , 2 fx x x ′ = −+ 2 2 fx x ′′( ) =− + π sinπ π ≥ 0. 所以 f x( ) [0,1] 是 上的连续凸函数，其最大值在端点 取得，因此 fx f f x ( ) max{ (0), (1)} 0, [0,1] ≤ = ∈ ， 即 2 π sinπ (1 ), [0,1]. 2 x x xx ≤−∈ 本题也可用单调性证明

习题课55函数的凸性与拐点n例4 利用凸性证明当x,>0,且x,=1时，有i=1(*+)≥(+nn艺-f(x;)≥ fXini-1i=1i=1证 将需要证明的不等式改写为(n2 + 1)?(+)n++nnnn≥x;+1Zx;一n i=llil提醒我们想到利用詹森不等式，为此令()=(x+), (x>0).数学分析第六章行微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 习题课 例4 证 利用凸性证明当 有 1 0, 1 n i i i x x = > = 且∑ 时， 提醒我们想到利用詹森不等式， 2 2 2 1 1 ( 1) . n i i i n x = x n   +   + ≥   ∑ 2 2 2 2 1 1 1 ( 1) n i i i n x n n x =   +   + ≥   ∑ 2 1 = n n     +   2 1 1 1 = n n     +   2 1 1 1 1 1 n n i i i i x x n = n =   = +     ∑ ∑ 将需要证明的不等式改写为 为此令 2 1 fx x x ( ) , ( 0). x   =+ >     1 1 1 1 ( ) n n i i i i fx f x n n = =   ≥       ∑ ∑

习题课55函数的凸性与拐点6有f"(x)= 2+>0，所以,f(x)是(0,+)上的凸函数x4故对任意的x,>0,x;=1, ,, =二(i= 1,2,),有?Mi=1(x)≥[nni=1三因此MZ[x+)≥(x+/-/×x=(+nnnli=1即n2 +1)nZI一x, +=ni=1数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 习题课 有 4 6 f x( ) 2+ 0, x ′′ = > 所以 f x( ) (0, ) 是 +∞ 上的凸函数， 2 1 fx x x ( ) , ( 0). x   =+ >     故对任意的 1 1 0, 1 ( 1,2, ), n i ii i xx i n λ = > = == ∑ ，  有 1 1 1 1 ( ) n n i i i i fx f x n n = =   ≥     ∑ ∑ 2 1 1 1 n i i i x n x =     + ≥   ∑ 因此 2 1 1 1 1 1 n n i i i i x x n = n =   +     ∑ ∑ 2 1 = n n     +   即 2 2 2 1 1 ( 1) . n i i i n x = x n   +   + ≥   ∑

习题课55函数的凸性与拐点例5 利用詹森不等式证明：对Va,>0,i=1,2,·n,有n≤aa,a,≤&+a,++a,++++..++n10,则f"(x)=2x所以f(x)是(0,+oo)上严格凹函数，故对 Vx,>0,",2,=1，由詹森不等式，得2,E(0,1),nn≥Za, Inx; =In(x1"x,nZIn2a.x;营7i=1i12即Zx; ≥x1x,(*)ri=1数学分析第六章 微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 习题课 例5 证 1 2 1 2 1 2 11 1 . n n n n aa a n aa a aa a n +++ ≤ ≤ +++    由詹森不等式，得 利用詹森不等式证明: 对 0, 1,2, , i ∀> = ai n  有 令 fx x x ( ) ln , 0, = > 2 1 f x( ) 0, x 则 ′′ =− x 1 (0,1), 1 n i i i λ λ= ∈ = ∑ ， 1 1 ln ln n n ii i i i i λ λ x x = =   ≥     ∑ ∑ 1 2 1 2 ln( ), n n xx x λ λ  λ = 即 1 2 1 2 1 . (*) n n i i n i x xx x λ λ λ λ  = ∑ ≥

习题课S5函数的凸性与拐点令 x;=ai， 2,=二,代入(*)式，得到a, +a, +..an ≥"a,a,a,.n，2=二,代入(*)式，又得到再令x=1I±+#aa.an1两边取倒数，即有n..a.a.a.1+1+.+aian等号成立当且仅当α=az=三0数学分析第六章 微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 习题课 1 2 1 2 1 . (*) n n i i n i x xx x λ λ λ λ = ∑ ≥ L 令 1 , , (*) i ii x a n = = λ 代入 式，得到 1 2 1 2 . n n n aa a aa a n +++ ≥   再令 1 1 , , (*) i i i x a n = = λ 代入 式，又得到 1 2 11 1 1 2 11 1 , n n aa a n n aa a +++ ≥   两边取倒数，即有 1 2 1 2 11 1 . n n n aa a n ≤ aa a +++   等号成立当且仅当 1 2 . n aa a = = = 

习题课55函数的凸性与拐点总结不等式的证明可用：1.中值定理；2.函数的单调性；3.极大极小值、最大最小值；4.凸性、詹森不等式数学分析第六章行微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 习题课 2. 函数的单调性； 总结 不等式的证明可用： 3. 极大极小值、最大最小值； 4. 凸性、詹森不等式. 1. 中值定理；