高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）71 第六章 微分中值定理及其应用 s27 带有拉格朗日余项的泰勒公式

带有拉格朗日型余在近似计63泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式项的泰勒公式算中的应用第十三讲带有拉格朗日余项的泰勒公式数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §3 泰勒公式 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式 在近似计 算中的应用 第十三讲 带有拉格朗日余项的 泰勒公式 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式

在近似计带有拉格朗日型余63泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式项的泰勒公式算中的应用带有拉格朗日型余项的泰勒公式前面讲的带有佩亚诺型余项的泰勒公式实际上是有限增量公式的一个推广，它只是定性地告诉我们用泰勒多项式去替代函数，其误差为o((x -x,)").下面给出一个定量形式的泰勒公式数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §3 泰勒公式 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式 在近似计 算中的应用 前面讲的带有佩亚诺型余项的泰勒公式实际上是 0 (( ) ) . n ox x − 下面给出一个定量形式的泰勒公式. 们用泰勒多项式去替代函数, 其误差为 有限增量公式的一个推广, 带有拉格朗日型余项的泰勒公式 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式 它只是定性地告诉我

在近似计带有拉格朗日型余63泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式项的泰勒公式算中的应用定理6.10（泰勒定理）若函数,f(x)在[a,b]上存在直到n阶连续导函数在(a, b)内存在(n+1)阶导数,则对Vx,x, E[a,b],存在(a,b),使f'(xf(x) = f(x)+1!2!(5)f(n) (xo)(x-x,)"+,(5)n!(n+1)!f(n+1)()或者 f(x)=T,(x)-ntx(n + 1)!其中T,(x)是f(x)在点x的n阶泰勒多项式数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §3 泰勒公式 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式 在近似计 算中的应用 定理6.10（泰勒定理） 若函数 f (x) 在[a,b]上存在直 在(a,b)内存在(n+1)阶导数, 0 0 2 00 0 () () () ( ) ( ) ( ) 1! 2! fx f x fx fx x x x x ′ ′′ = + −+ − ( ) ( 1) 0 1 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) , (5) ! ( 1)! n n n n f x f x x x x n n ξ + + ++ − + − +  或者 ( 1) 1 0 ( ) () () ( ) . ( 1)! n n n f fx T x x x n ξ + + =+ − + 其中Tn (x) 是 f (x) 在点 x0 的 n阶泰勒多项式. 到n 阶连续导函数, 0 则对∀ ∈ xx ab , [ , ], 存在ξ ∈( , ), a b 使 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式

在近似计带有拉格朗日型余93泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式项的泰勒公式算中的应用证 设 G(t)=(x-t)n+1f'(t(tF(t) = f(x)-[f(t)1!2!(t)t)":n!只要证明(n+)()G(x)F(x,) = f(x)- T,(x)(n+ 1)!不妨设 x>x，则F(t),G(t)在[x,xl上连续，在(xo,x)上可导,且G'(t) = -(n+1)(x -t)" + 0 , t e[xo,x)tF'(t) =x-t)" , F(x) = G(x) = 0.n!数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §3 泰勒公式 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式 在近似计 算中的应用 证 设 2 () () () ( ) [ () ( ) ( ) 1! 2! ft f t Ft f x ft x t x t ′ ′′ = − + −+ − ( ) ]; ! ( ) ( ) n n x t n f t ++ − ( ) ( ) , +1 = − n G t x t ( , ) x0 x 上可导, 且 0 ( ) ( 1)( ) 0 , [ , ). n Gt n x t t x x ′ =− + − ≠ ∈ 不妨设 , x > x0 上连续, 0 则Ft Gt x x ( ), ( ) [ , ] 在 在 0 ( ) () () Fx fx T x = − n 只要证明 ( 1)( ) () ( ) , ! n n f t F t x t n + ′ =− − Fx Gx ( ) ( ) 0. = = 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式 ( 1) 0 ( ) ( ). ( 1)! n f G x n ξ + = +

在近似计带有拉格朗日型余63泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式项的泰勒公式算中的应用由柯西中值定理F(x) _ F(x)-F(x)F'()G(x)G'()G(x)-G(x)f(n+1)(3)e(x,,x)c(a,b)(n+1)!于是得到(5)n+1f(x) = T,(x)x-(n +1)!我们称24()1+R,(x) = f(x)-T,(x)(n+1)!为f(x)在点x的n阶拉格朗日型余项数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §3 泰勒公式 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式 在近似计 算中的应用 由柯西中值定理 ( 1) 0 ( ) , ( , ) ( , ), ( 1)! n f x x ab n ξ ξ + = ∈⊂ + 于是得到 ( 1) 1 0 ( ) () () ( ) . ( 1)! n n n f fx T x x x n ξ + + =+ − + 我们称 0 0 0 0 ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) () () Fx Fx Fx F Gx Gx Gx G ξ ξ − ′ = = − ′ 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式 0 ( ) ( 1)( ) 0 , [ , ). n Gt n x t t x x ′ =− + − ≠ ∈ ( 1)( ) () ( ) , ! n n f t F t x t n + 为 f (x′ ) 在点=− − x0 的 n 阶拉格朗日型余项 Fx Gx ( ) ( ) 0. = =. ( 1) 1 0 ( ) () () () ( ) ( 1)! n n n n f R x fx T x x x n ξ + + =− = − +

在近似计带有拉格朗日型余63泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式项的泰勒公式算中的应用f'(xo"(x.f(x) = f(x)1!2!()(x.n+1(5)xn!(n+1)!称为f(x)在点 xo的带有拉格朗日型余项的 n 阶泰勒公式请比较公式(5)与拉格朗日中值定理因介于x与x 之间,故存在正数(0<<1),使得 =x,+(x一x)，所以R,(x)又可写成F(n+I (x + 0(x - x,))+R,(x)(n + 1)!数学分析第六章行微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §3 泰勒公式 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式 在近似计 算中的应用 称为 f (x) 在点 x0 的带有拉格朗日型余项的 n 阶 请比较公式 (5) 与拉格朗日中值定理. 泰勒公式. 故存在正数θ θ (0 1) , < < 使得 ( ) , ξ = x0 + θ x − x0 所以R (x) n 又可写成 ( 1) 0 0 1 0 ( ( )) ( ) ( ) . ( 1)! n n n f x xx R x x x n θ + + − + = − + 因 0 ξ 介于 x x 与 之间, 0 0 2 00 0 () () () ( ) ( ) ( ) 1! 2! fx f x fx fx x x x x ′ ′′ = + −+ − ( ) ( 1) 0 1 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) (5) ! ( 1)! n n n n f x f x x x x n n ξ + + ++ − + − +  带有拉格朗日型余 项的泰勒公式

在近似计带有拉格朗日型余63泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式项的泰勒公式算中的应用当x=0时,公式(5)成为f'(0)f"(0)f(x) = f(0)x1!2!(n+1)(0)(0x)n+1(6)n!(n + 1)!公式（6)称为带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式公式(3与公式（5)都是泰勒公式，并且前面部分均为泰勒多项式，而不同的是 R,(x)的表达形式不一样．读者在应用时，需根据不同情况选择合适形式的余项.数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §3 泰勒公式 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式 在近似计 算中的应用 当 x0 = 0时, 公式 (5) 成为 2 (0) (0) ( ) (0) 1! 2! f f fx f x x ′ ′′ =+ + + ( ) ( 1) 1 (0) ( ) . (6) ! ( 1)! n n n n f fx x x n n θ + + + + + 公式 (6) 称为带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式. 样. 为泰勒多项式, 公式 (3) 与公式 (5) 都是泰勒公式, 并且前面部分均 余项. 而不同的是 Rn(x) 的表达形式不一 读者在应用时,需根据不同情况选择合适形式的 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式

在近似计带有拉格朗日型余93泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式项的泰勒公式算中的应用例1中六个公式的余项均为佩亚诺型的,现在将它们改写为带有拉格朗日型余项的公式：extre.n+1(i) e*=1+x+X2!(n + 1)!n!(0<0<1, xE(-0,+80))tst2m-1m-(ii)sinx=x3!(2m-1)!cosx2m+l+(-1)"(0<0<1, x E(-80,+8))(2m + 1)!tamt1x"m(iii)-1cosx =2!4!(2m)!cosx2m+2+(-1)m+1, (0<0<1,x E(-00,+00))(2m + 2)!数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §3 泰勒公式 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式 在近似计 算中的应用 例1 中六个公式的余项均为佩亚诺型的, 现在将 它们改写为带有拉格朗日型余项的公式: 2 e 1 e 1 , 2! ! ( 1) ( ! i) n x x n x x x x n n θ + =+ + + + + +  ( 0 1 , ( , ) ). < < ∈ −∞ +∞ θ x 3 2 1 1 sin ( 1) 3! ( 1 ! i ) 2 ( i ) m x x m x x m − − =− + +− −  cos 2 1 ( 1) , ( 0 1 , ( , ) ). (2 1)! m m x x x m θ θ + + − < < ∈ −∞ +∞ + 2 4 2 cos 1 ( 1) 2! 4! (2 )! (iii) m xx x m x m = − + + +−  , (2 2)! cos ( 1) +1 2 +2 + + − m m x m θx ( 0 1 , ( , ) ). < < ∈ −∞ +∞ θ x 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式

在近似计带有拉格朗日型余63泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式项的泰勒公式算中的应用to(-J)n-1 x"(iv) In(1+ x) = 23nt+!+(-1)"(n+1)(1+0x)++ (0-1).α(α-1)(v) (1+x)~ =1+αx +2!α(α-1)...(α- n+1)+n!α(α -1)...(α - n)α-n-1 .n+1(1 + 0x)α-(n + 1)!(0-1)数学分析第六章行微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §3 泰勒公式 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式 在近似计 算中的应用 2 3 1 ln(1 ) ( 1) 3 (iv) 2 n xx x n x x n − + = − + + +−  1 1 ( 1) , ( 1)(1 ) n n n x n x θ + + + − + + ( 0 1 , 1 ). − θ x 2 ( 1) ( (1 ) 1 2! v) xx x α α α α − + =+ + + n x n n ! ( − 1) ( − + 1) + α α  α ( 0 1 , 1 ). − θ x 1 1 ( 1) ( )(1 ) , ( 1)! n n n x x n αα α α θ − − −− + + + +  带有拉格朗日型余 项的泰勒公式

在近似计带有拉格朗日型余63泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式项的泰勒公式算中的应用t+112.+xn.(vi)1+x+x+(1- 0x)n+21-x(0-1).这里仅对公式(i)进行验证，其余5个请读者自证设 f(x)= cosx,则. k = 0,1, 2, ...f(k)(x) = cos(x +k . 2于是f(0) = 1, f'(0) = 0, f"(0) = -1, f"(0) = 0,f(2m)(0) =(-1)", f(2m+1)(0) = 0,2ty.2mcosOxxx(-1)m+12m+2-1cosx =2!4!(2m)!(2m+ 2)!数学分析第六章微分中值定理及其应用?高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §3 泰勒公式 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式 在近似计 算中的应用 1 2 2 1 1 , 1 (1 ) (vi) n n n x xx x x θ x + + =+ + + + + − −  ( 0 1 , 1 ). − θ x 这里仅对公式 (iii) 进行验证, 其余 5 个请读者自证. 于是 ff f f (0) 1, (0) 0, (0) 1, (0) 0, = = =− = ′ ′′ ′′′  设 fx x ( ) cos , = 则 ( ) k = 0, 1, 2, .  π ( ) cos( ) , 2 k f x xk = +⋅ (0) ( 1) , ( 2m ) m f = − (0) 0, ( 2 1) = m+ f  带有拉格朗日型余 项的泰勒公式 2 4 2 1 cos 2 2 cos 1 ( 1) ( 1) 2! 4! (2 )! (2 2)! m xx x mm m x x x m m + + θ = − + + +− +− + 