高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）78 第六章 微分中值定理及其应用 s34 函数的凸性，詹森不等式

第六章数学分析$5函数的凸性与拐点微分中值定理及其应用

§5 函数的凸性与拐点 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用

55函数的凸性与拐点第二十讲函数的凸性，詹森不等式数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 函数的凸性，詹森 不等式 第二十讲

55函数的凸性与拐点从两个熟悉的函数 =x2与=x的图像来看凸性的不同：yyxV=三XB4ABox0xy=x(y=√x)上任取两点A,B，弦 AB 恒在曲线段 XB 的上方(下方).后退前进目录退出数学分析第六章行微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 从两个熟悉的函数 2 yx y x = = 与 的图像来看 凸性的不同： 2 y x y x = = ( )上任取两点A B, , 弦 恒在曲线 AB 段 » AB 的上方(下方) . 2 y x = A B x y O • • A B y x = x y O 后退 前进 目录 退出

55函数的凸性与拐点定义1设f为区间I上的函数.若对于I上的任意两点xi,x, 和任意实数(0,1),总有f(axi +(1-a)x,)≤ af(x)+(1-a)f(x,), (1)则称f为I上的一个凸函数.反之如果总有f(ax, +(1-a)x2)≥ af(x)+(1-a)f(x,), (2)则称f为I上的一个凹函数如(1)和(2)式中的不等号改为严格不等号，则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 定义1 如(1)和(2)式中的不等号改为严格不等号, 则相应 设 f 为区间 I上的函数. 1 2 x x, 和任意实数 λ ∈(0, 1),总有 1 21 2 f x x fx fx ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ), (1) λ λλ λ +− ≤ +− 则称 f 为 I上的一个凸函数. 则称 f 为 I 上的一个凹函数. 1 21 2 f x x fx fx ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ), (2) λ λλ λ +− ≥ +− 的函数称为严格凸函数和严格凹函数. 反之如果总有 若对于 I 上的任意两点

55函数的凸性与拐点由此可得=x2在(-0,+)上为严格的凸函数，y=√x为[0,+80)上的严格凹函数很明显，若,f(x)为(严格)的凸函数,那么-f(x)就为(严格)凹函数，反之亦然数学分析第六章行微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 2 由此可得 在 ， 上为严格的凸函数， y x = −∞ + ∞ ( ) 很明显，若 f (x)为(严格)的凸函数, 那么– f (x)就 y x = 为 [0 . ，+ ∞)上的严格凹函数 为(严格) 凹函数，反之亦然

S5函数的凸性与拐点引理f(x)为区间 I上的凸函数的充要条件是：对于I中的任意三点x <x,<x,有f(x2)-f(x) f(x) - f(x2)(3)X2 -XiX3-X2X3-X2证（必要性）设=，于是Xs-XiyX2 = ax +(1- 2)xg.因为f(x)为I上的凸函数，所以f(x,)= f(ax +(1-a)xg)≤ af(x)+(1-a)f(xg)of xiX3xX2福X3 - X2f(x)+-xf(xg)X3-XiX3 -Xi从而有数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 21 3 xx x = +− λ λ (1 ) . 从而有 因为 f (x)为 I 上的凸函数，所以 21 3 fx f x x ( ) ( (1 ) ) = +− λ λ 1 3 ≤ +− λ λ fx fx ( ) (1 ) ( ) 3 2 2 1 1 3 31 31 ( ) ( ). x x x x fx fx xx xx − − = + − − 3 2 3 1 , x x x x λ − = 证（必要性）设 − 于是 O x1 x2 x3 y x • • • 引理 f (x)为区间 I上的凸函数的充要条件是： 123 对于I xxx 中的任意三点 < < , 有 2 1 3 2 2 1 3 2 () () () () . (3) fx fx fx fx xx xx − − ≤ − −

S5函数的凸性与拐点(x -x)f(x2)≤(xs -x2)f(x) +(x2 -x)f(x)即(x, -x2)f(x2)+(x, -x)f(x2)≤(x -x2)f(x)+(x2 -x)f(x)整理后即为(3)式(充分性）对于任意 x,< x3,(0,1).设x2 = ax +(1- a)x3,则f(x,)-f(x) f(x)- f(x,)X2 -XiX3 -X2由于必要性的证明是可逆的，从而得到f(ax, +(1-a)xg)≤ af(x)+(1-a)f(xg),所以f为I上的凸函数数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 整理后即为 (3) 式. 21 3 xx x = +− λ λ (1 ) , （充分性）对于任意 1 3 x x < ∈ , (0, 1). λ 设 2 1 3 2 2 1 3 2 () () () () . fx fx fx fx xx xx − − ≤ − − 则 31 2 32 1 21 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), x x fx x x fx x x fx − ≤− +− 即 32 2 21 2 ( )( ) ( )( ) x x fx x x fx − +− 32 1 21 3 ≤− +− ( ) ( ) ( ) ( ), x x fx x x fx 2 1 3 2 21 32 () () () () . (3) fx fx fx fx xx xx − − ≤ − − 由于必要性的证明是可逆的，从而得到 1 31 3 f x x fx fx ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ), λ λλ λ +− ≤ +− 所以 f 为 I 上的凸函数

S5函数的凸性与拐点同理可证f为I上的凸函数的充要条件是：对于I中的任意三点x<x2<x ,有()-(x)(xg)-() ≤()-(x)。 (4)X2 -XiX3 -XiX3 -X2山注(4)式与(1)式是等价f(xg)的.所以有些教材将(4)f(x)式作为凸函数的定义f(x)XiX20X3x对于凹函数，请大家自行写出相应的定理数学分析第六章行微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 同理可证 f 为 I 上的凸函数的充要条件是： 123 I 中的任意三点 xxx < < ,有 2 1 3 1 21 31 fx fx () () fx fx () () xx xx − − ≤ − − 注 (4) 式与 (1) 式是等价 式作为凸函数的定义. 对于 1 x 2 x 3 x y x 1 f x( ) 2 f x( ) 3 f x( ) O 的. 所以有些教材将 (4) 对于凹函数，请大家自行写出相应的定理. 3 2 3 2 () () . (4) fx fx x x − ≤ −

55函数的凸性与拐点由数学归纳法不难证明：f为I上的凸函数充要条件是：任给 xj,,x,EI,0<a,<l,i=1,2,,n,,+++，=1，必有f(arxi +...+anxn)≤a f(x)+...+an f(xn)这是著名的詹森不等式詹森（Jensen,J.L.1859-1925,丹麦数学分析第六章行微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 1 2 1 λλ λ + ++ =  n ，必有 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ). n n n n f x x fx fx λ λλ λ ++ ≤ ++   1 , , , 0 1, n i 条件是：任给 x xI  ∈ << λ i n = ⋅⋅⋅ 1,2, , , 这是著名的詹森不等式 . 由数学归纳法不难证明：f 为 I 上的凸函数充要 詹森( Jensen,J.L. 1859-1925,丹麦 )

55函数的凸性与拐点特别取，=，有X+x,+...+x[f(x)+ f(x2)+...+ f(xn)]n即:(×)(x)(5)ni=l(5)式是凸函数最常用的不等式下面举例说明凸函数的内在性质，数学分析第六章 微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 (5) 式是凸函数最常用的不等式 . 即： 1 1 1 1 ( ) (5) n n i i i i f x fx n n = =   ≤     ∑ ∑ 下面举例说明凸函数的内在性质. 1 , i n 特别取 λ = 有 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ), n n xx x f fx fx fx n n   + ++ ≤ + ++          