高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）55 第五章 导数和微分 s11 高阶导数，莱布尼茨公式

第五章数学分析S4高阶导数导数和微分当我们研究导函数的变化率时就产生了高阶导数.如物体运动规律为S=S(t），它的运动速度是V=s(t），而速度在时刻t的变化率就是物体在时刻t的加速度a(t)=v'(t)=s"(t)

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$4高阶导数第十一讲高阶导数概念莱布尼茨公式数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

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$4高阶导数高阶导数的概念定义1如果f(x)的导函数,f'(x)在点x可导,则称 f(x)在点 x的导数为函数f(x)在点x.的二阶导数记作f"(x)．此时也称 f(x）在点 x二阶可导如果f(x)在区间I上每一点都二阶可导，则得到一个定义在 I上的二阶导函数,记作f"(x)，xEI.仿照上述定义，可以用f的n-1阶导函数定义f的n阶导函数.二阶及二阶以上导数称为高阶导数数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hள୘ݤج ԯ➗к䘠ᇊѹ, ਟԕ⭘ f Ⲵ n –1 䱦ሬ࠭ᮠᇊѹ f ؓТ 0 0 ൘⛩ x fx x ⲴሬᮠѪ࠭ᮠ () , ൘⛩ ⲴҼ䱦ሬᮠ 0 䇠֌ f x cc( ). ྲ᷌ f (x) ൘४䰤 I к⇿а⛩䜭Ҽ䱦ਟሬ, ࡉᗇࡠ ྲ᷌ f x( ) Ⲵሬ࠭ᮠ f x c( ) ൘⛩ ਟሬ, 0 x Ⲵ n 䱦ሬ࠭ᮠ. ањᇊѹ൘ I кⲴҼ䱦ሬ࠭ᮠ, ࡉ 〠f x c( ) 0 ↔ᰦҏ〠 fx x () . ൘⛩ Ҽ䱦ਟሬ Ҽ䱦৺Ҽ䱦ԕкሬᮠ〠Ѫ儈䱦ሬᮠ. ھࠢङރحஉ௤ 䇠֌ f cc(x), x  I.

$4高阶导数函数f在点xo处的n阶导数记作d" f(x)d"yf(")(x), J(m)x=Xox=Xox=Xodx"dx"n阶导函数记作d"fd"yf"(x)(或f("), y),dx"dx"d"y这里也可写作"，即对y进行了n次dx"nd求导运算（看作一个算符）dx数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hள୘ݤج n 䱦ሬ࠭ᮠ䇠֌ 0 ࠭ᮠ fx n ൘⛩ ༴Ⲵ 䱦ሬᮠ䇠֌ d d (), d d n n n y y x x 䘉䟼 ҏਟ߉֌ d dx ≲ሬ䘀㇇Ā ā ( ) 0 ( ), n f x 0 ( ) , n x x y 0 d , d n n x x y x 0 d () . d n n x x f x x () () ( )( ), n n fx f ᡆ   , n y d , d n n y x d . d n n f x ণሩ y 䘋㹼Ҷn ⅑ ( ⴻ֌ањ㇇ㅖ ).

s4高阶导数例1求下列函数的各阶导数：(1)y=x"(n为正整数);(2) y=e*；(3) y=lnx;解(1) y"= nx"-l, y"= n(n-1)x"-2,.j(") = n!, J(m) =0(m>n).(2) y'=e*, y"=e*,对一切nEN+,(e*)(n)=e11.21(3)Vtt,xy(m) _ (-1)"-(n-1)!x"数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hள୘ݤج ֻ1 ≲лࡇ࠭ᮠⲴ਴䱦ሬᮠ: (1) y x (nѪ↓ᮤᮠ); n (2) e ; (3) ln x y yx ˗ ( ) !, n y n 䀓 (1) , 1 c n y nx (2) e , x yc 2 y nn x cc ( 1) , ,  n " ( ) N ,(e ) e . + xn x ሩа࠷ n 1 (3) , y x c . ( 1) ( 1)! 1 ( ) n n n x n y    , 1 2 x ycc  , 1 2 3 x y ccc ", ( ) 0 ( ). m y mn ! e , x ycc

s4高阶导数(4) y = sinx, y = cosx;元对 y= sinx, 有 y'= cosx = sin(x +2= sin (x + 2.y" = cos (x +=)22Ty(n) = sin(x+n.ne2T同理(cosx)(n) = cos(x+n.ne2数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hள୘ݤج ( ) + ʌ sin ( ), N . 2 n y xn n   ਼⨶ ( ) + ʌ (cos ) cos ( ), N . 2 n x xn n   ʌ cos ( ) 2 y x cc  ሩ y x sin , ᴹ y x c cos (4) sin , cos ; y xy x ʌ sin ( 2 ), , 2 x  " ʌ sin( ) , 2 x 

$4高阶导数莱布尼茨公式高阶导数运算法则（可用数学归纳法验证）：加法 (u±v)(n) =u(n) +v(n),(1)乘法 (uv)(n) = u("),(0) +C,u(n-1),(1) +..+nu.(n-k),(k)ZckuChu(n-k),(k) +...+ u(0),(n) (2)Duk=0其中 u()=u, v(0)=v.公式（2）称为莱布尼茨公式莱布尼茨（Leibniz,G.W.1646-1716，德国数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hள୘ݤج (0) (0) ަѝ u uv v , . ޜᔿ (2) 〠Ѫ㧡ᐳቬ㥘ޜᔿ. ࣐) . ( ) ⌅1) (n) (n) (n) u r v u  v ҈⌅ ( ) ( ) (0) 1 ( 1) (1) () C uv u v u v nn n  n  "  ¦ ( )() 0 C , (2) n k nk k n k u v ( ) ( ) (0) ( ) Ck nk k n nu v uv  " 儈䱦ሬᮠ䘀㇇⌅ࡉ ) ਟ⭘ᮠᆖᖂ㓣⌅傼䇱 )˖ ڔҸ਺ؿੀ٢ 㧡ᐳቬ㥘( Leibniz,G.W. 1646-1716, ᗧഭ )

64高阶导数例2求y=e*cosx的三阶导数解— y'=e*cosx-e* sinx =e* cosx+e* cos(x+=元元cos(x +)+e* cos(x+ 2. 元y" = e* cosx +e* cos(x+=)+e222元元= e* cosx + 2e* cos(x ++e* cos(x + 2.22元元y" = e* cosx+e* cos(x +=)+2e* cos(x +-)22元元T)+etx cos(x +2.)+e* cos(x +3.-+2e* cos(x + 2. -1222A= e* cosx + 3e* cos(x +2元1x cos(x +3.+3e* cos(x + 2.et22数学分析第五章早导数和微分高等教育出版社

Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hள୘ݤج ֻ2 e cos . x ≲ y x Ⲵй䱦ሬᮠ 䀓а ʌ e cos e cos( ) 2 x x y xx cc   ʌ ʌ e cos( ) e cos( 2 ) 2 2 x x  x x    ʌ ʌ e cos 2e cos( ) e cos( 2 ); 2 2 xx x xx x     ʌ e cos e cos( ) 2 x x y xx ccc   ʌ 2e cos( 2 ) 2 x  x  e cos e sin x x y xx c  ʌ e cos e cos( ); 2 x x x x   ʌ 2e cos( ) 2 x  x  ʌ ʌ e cos( 2 ) e cos( 3 ) 2 2 x x  x x    ʌ e cos 3e cos( ) 2 x x x x   ʌ ʌ 3e cos( 2 ) e cos( 3 ). 2 2 x x  x x   

$4高阶导数解二 直接用莱布尼茨公式(2)求出 J".解三 y'=e*cosx-e*sinx1= V2.e*sinxcosx12/2= ~2 .e* cos(x+ );y" = 2e*cos(x + 2. );y"" = 2/2 e*cos(x +3.元)y= ecosx数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hள୘ݤج 䀓Ҽ ⴤ᧕⭘㧡ᐳቬ㥘ޜᔿ (2) . ≲ࠪ y ccc ʌ 2e cos( 2 ); 4 x y x cc  ʌ 2 2 e cos( 3 ) . 4 x y x ccc  䀓й e cos e sin x x y xx c  ʌ 2 e cos( ); 4 x x  1 1 2 e cos sin 2 2 x x x § ·  ¨ ¸ © ¹ e cos x y x

s4高阶导数rx≥0的高阶导数，例3讨论分段函数f(x)=-x2, x0时,f'(x)= 2x, f"(x) = 2, f(m)(x)=0 (n ≥3);当x<0时，f(x) = -2x, f"(x) = -2, f(n)(x) =0 (n ≥3);当x=0时,用左、右导数定义可得f'(0) = f'(0) = f'(0) = 0,由于 f"(0)= 2，f"(0)=-2，因此 f"(0)不存在数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hள୘ݤج 䀓 ࠶࠭⇥ᮠ㾱࠶⇥䇘䇪: ֻ3 䇘䇪࠶࠭⇥ᮠ Ⲵ儈䱦ሬᮠ. 2 2 , 0, ( ) , 0, x x f x x x ­° t ® °¯  ᖃ x  0 ᰦ, f c(x) 2x, ᖃ x > 0ᰦ, f x cc( ) 2,   ( ) 0 ( 3); n fx n { t f c(x) 2x, f x cc( ) 2,    ( ) 0 ( 3); n fx n { t fff (0) (0) (0) 0,   c c c ᖃ x 0 ᰦ, ⭘ᐖǃਣሬᮠᇊѹਟᗇ ⭡Ҿ f f (0) 2, (0) 2,   cc cc  ഐ↔ f cc(0) нᆈ൘.