高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）76 第六章 微分中值定理及其应用 s32 函数的最大值和最小值

极值判别最大值与最小值s4函数的极值与最大（小）值第十八讲函数的最大值和最小值数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

§4 函数的极值与最大（小）值 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 极值判别 最大值与最小值 函数的最大值和最小值 第十八讲 最大值与最小值

极值判别$4函数的极值与最大（小）值最大值与最小值最大值与最小值由连续函数的性质，若f(x)在[a,b]上连续，那么一定有最大、最小值，这为求函数的最大(小值提供了理论上的保证因为极大(小)值是局部的最大(小)值，故若函数在区间内部(不是端点)取得最大(小)值，那么这个值一定是极大(小)值。这也就告诉我们：最大(小)值只可能在极值点、区间端点和不可导点之中取得数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

§4 函数的极值与最大（小）值 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 极值判别 最大值与最小值 最大值与最小值 由连续函数的性质, 若 f (x) 在 [a, b] 上连续, 那 只可能在极值点、区间端点和不可导点之中取得. 一定是极大(小)值. 区间内部(不是端点)取得最大(小)值, 那么这个值 因为极大(小)值是局部的最大(小)值, 值提供了理论上的保证. 么一定有最大、最小值, 这为求函数的最大(小) 这也就告诉我们: 最大(小)值 最大值与最小值 故若函数在

极值判别最大值与最小值s4函数的极值与最大（小）值下面具体介绍求函数最大(小)值的方法(1)求出f(x)在(a,b)上的稳定点：(2)求出(a,b)上f(x)不存在的点;(3)设(1)和(2)的点为 Xi,X2，,Xn.由前面的分析可知,f(x)在[a,b]上有最大值 M = max(f(a),f(x),.,f(xn),f(b))最小值 m=min(f(a), f(x)),.,f(xn),f(b))数学分析第六章行微分中值定理及其应用高等教育出版社

§4 函数的极值与最大（小）值 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 极值判别 最大值与最小值 (1) ( ) ( , ) 求出 f x ab 在 上的稳定点； (2) ( , ) ( ) 求出 ab f x 上 ′ 不存在的点； 下面具体介绍求函数最大(小)值的方法. (3) 设(1)和(2)的点为 , , , . x1 x2  xn 可知 f (x) 在 [a, b]上有 最大值 M fa fx fx fb = max ( ), ( ), , ( ), ( ) , { 1  n } 最小值 m fa fx fx fb = min ( ), ( ), , ( ), ( ) . { 1  n } 由前面的分析 最大值与最小值

极值判别最大值与最小值s4函数的极值与最大（小）值例5求函数f(x)=2x3-9x2 +12x」在区间１5上的最大、最小值。42￥5解f(x)在上连续，故最大(小)值存在42f(x) = x(2x2 - 9x + 12)-x(2x2 - 9x + 12) ,045x(2x2 -9x +12) ,0<x≤-2数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

§4 函数的极值与最大（小）值 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 极值判别 最大值与最小值 例 5 ( ) | 2 9 12 | 3 2 求函数 f x = x − x + x 在区间 1 5 , 4 2   −    上的最大、最小值. 解 1 5 ( ) ( ) . 4 2 f x   −    在 ， 上连续，故最大 小 值存在 fx x x x 2 ( ) (2 9 12) = −+ 2 2 1 (2 9 12) , 0 4 , 5 (2 9 12) , 0 2 xx x x xx x x  − − + −≤≤  =   − + <≤  最大值与最小值

极值判别最大值与最小值S4函数的极值与最大（小）值-6x2 + 18x -12所以l f'(x)=6x2 -18x +120-6(x -1)(x - 2) ,-=X?A56(x-1)(x -2) , 0 < x≤2容易计算 f'(0-0)=-12,f'(0+0)=12,并且f(x)在x=0连续，由导数极限定理可得-12 = f'(0) f(0) = 12,故在x=0 不可导这样就得到不可导点为0,稳定点为1,2数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

§4 函数的极值与最大（小）值 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 极值判别 最大值与最小值 所以 x x f x x x 2 2 6 18 12 ( ) 6 18 12 −+ − ′ =   − + 1 6( 1)( 2) , 0 4 . 5 6( 1)( 2) , 0 2 xx x xx x  − − − −≤ <  =   − − <≤  在 x = 0 连续， 故在 x = 0 不可导. − 12 = ′(0) ≠ ′(0) = 12, − + f f 容易计算 f f ′ ′ (0 0) 12, (0 0) 12, − =− + = 并且 f x( ) 由导数极限定理可得 最大值与最小值 这样就得到不可导点为 0, 稳定点为 1, 2

极值判别最大值与最小值s4函数的极值与最大（小）值因为f(0) = 0,f(2) = 4,f(1) = 5,5.5=-4/-5=5,最小值为f(0)= 0.所以 最大值为f(1)0=12-x(2x2 -9x +12) :0<<4f(x) =50<x≤x(2x2 -9x +12):2数学分析第六章行微分中值定理及其应用高等教育出版社

§4 函数的极值与最大（小）值 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 极值判别 最大值与最小值 所以 f f 5 (1) 5, 2   = =     最大值为 最小值为 f (0) 0. = f (0) = 0, f (1) = 5, f (2) = 4, 1 115 , 4 31 f     − =   5 5, 2 f     =   最大值与最小值 因为 2 2 1 (2 9 12) , 0 4 ( ) , 5 (2 9 12) , 0 2 xx x x f x xx x x  − − + −≤≤  =   − + <≤ 

极值判别最大值与最小值s4函数的极值与最大（小）值例6证明不等式：2*≥1+x2，0≤x≤1.证 设f(x)=2×-1-x2.要证f(x)≥0,也就是要证f(x)的最小值非负。f'(x) = 2* In2 - 2x, f"(x) = 2*(ln2)2 - 2.因为在(0,1)内f"(x)< 0,这就说明f(x)在(0,1)上无极小值点．所以最小值只能在端点取到，故m = min(f(0), f(1)) = 0于是证得 2*≥1+x2，x E[0,1].(见下图)数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

§4 函数的极值与最大（小）值 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 极值判别 最大值与最小值 上无极小值点. 例 6 证明不等式： 2 2 1 , 0 1. x ≥+ ≤ ≤ x x 证 证 f (x) 的最小值非负. 因为在(0, 1) ( ) 0, 内f x ′′ < m ff = min{ (0), (1)} 0. = 于是证得 2 2 1 , [0, 1]. x ≥+ ∈ x x (见下图) 2 () 2 1 . x 设 fx x = −− 要证 f x() 0 ≥ ，也就是要 ( ) 2 ln2 2 , x fx x ′ = − 2 ( ) 2 (ln2) 2. x f x ′′ = − 最大值与最小值 所以最小值只能在端点取到, 故 这就说明f x( ) (0, 1) 在

极值判别最大值与最小值s4函数的极值与最大（小）值y0.150.1y= 2*-1-x0.05x0数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

§4 函数的极值与最大（小）值 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 极值判别 最大值与最小值 y 1 0.05 0.1 0.15 O x 2 2 1 x y x = −− 最大值与最小值

极值判别最大值与最小值s4函数的极值与最大（小）值axX例7如图所示，剪去正方形四角同样大小的小正方形后制成一个无盖的盒子，问剪去的小正方形的边长为何值时，盒子的容积最大解设正方形的边长为a，每一个小正方形的边长为x，则盒子的容积为V(x) = x(a-2x), xe[0, 因为 V(x)=(a- 2x)(a-6x) =12x数学分析第六章行微分中值定理及其应用高等教育出版社

§4 函数的极值与最大（小）值 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 极值判别 最大值与最小值 解 设正方形的边长为 a, 每一个小正方形的边长 2 2 ( ) ( 2 ) , 0, . a V x xa x x =− ∈    因为 Vx a xa x ′( ) ( 2 )( 6 ) =− − 为 x，则盒子的容积为 最大值与最小值 例 7 如图所示, 剪去正方形 a x x 时, 盒子的容积最大. 去的小正方形的边长为何值 制成一个无盖的盒子, 问剪 四角同样大小的小正方形后 12 , 2 6 a a x x    =− −      

极值判别最大值与最小值s4函数的极值与最大（小）值aa是端点)．又所以稳定点为x-(x=三26aV<062a3知V为极大值27上仅有唯一的极值，那么这个因为V(x)在012极（大）值一定是最大值a的所以问题的解为:在四个角上截取边长为62a3小正方形后，得到最大容积为的无盖盒子27数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

§4 函数的极值与最大（小）值 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 极值判别 最大值与最小值 极(大)值一定是最大值. () 0 2 a V x       因为 在 ， 上仅有唯一的极值, 最大值与最小值 那么这个 6 a 所以稳定点为 x = 4 0, 6 a V a   ′′  =− <   又 3 2 . 6 27 a a V     =   知 为极大值 ( ). 2 a x = 是端点 2 2 ( ) ( 2 ) , 0, . a V x xa x x =− ∈    小正方形后，得到最大容积为 Vx a xa x ′( ) ( 2 )( 6 ) =− − 的无盖盒子. 3 2 27 a 所以问题的解为:在四个角上截取边长为 的6 a