高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）70 第六章 微分中值定理及其应用 s26 麦克劳林公式的例

带有拉格朗日型余在近似计63泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式项的泰勒公式算中的应用第十二讲麦克劳林公式的例数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §3 泰勒公式 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式 在近似计 算中的应用 麦克劳林公式的例 第十二讲 带有佩亚诺型余项的泰勒公式

在近似计带有拉格朗日型余63泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式项的泰勒公式算中的应用例1验证下列公式：nx1. ex2!1!n!s2m-1xm-2. sinx = x3!(2m-1)!2mx2m-3. cosx =ox2!(2m)!3+h4. ln(1 + x) =23n数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §3 泰勒公式 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式 在近似计 算中的应用 例1 验证下列公式: 2 e 1 ( ); 1! 2! 1. ! n x n xx x o x n =+ + + + +  3 2 1 1 2 sin ( 1) ( ); 3! (2 1 . ) 2 ! m x x m m x x o x m − − = − + +− + −  2 2 2 1 cos 1 ( 1) ( ); 2! (2 )! 3. m x x m m x o x m + = − + +− +  2 3 1 ln(1 ) ( 1) ( ); 2 3 4. n xx x n n x x o x n − + = − + + +− +  带有佩亚诺型余项的泰勒公式

在近似计带有拉格朗日型余63泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式项的泰勒公式算中的应用α(α-1)5. (1+x)° =1+αx+2!α(α-1)..(α-n+1)x" + o((x"n!6.1+x+x2+...+x"+o(x")1-x以上这些公式均为最基本的泰勒公式(麦克劳林公式)，请务必牢记下面验证1和6，其余请读者自已验证数学分析第六章行微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §3 泰勒公式 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式 在近似计 算中的应用 1 2 6. 1 ( ). 1 n n x x x ox x =+ + + + + −  以上这些公式均为最基本的泰勒公式(麦克劳林公 2 ( 1) 5 (1 ) 1 2! . xx x α α α α − + =+ + + +  ( ); ! ( 1) ( 1) n n x o x n n + α α −  α − + 式), 请务必牢记. 下面验证 1 和 6, 其余请读者自己验证. 带有佩亚诺型余项的泰勒公式

在近似计带有拉格朗日型余63泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式项的泰勒公式算中的应用验证 1 因为 f(k)(x)=e*，所以f(0) = f'(0) = ... = f(n)(0) = 1.于是e的n阶麦克劳林公式为thx1-42!1!n!trx2!1!n!f'(0)(0)f(x) = f(0)1!n!数学分析第六章德微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §3 泰勒公式 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式 在近似计 算中的应用 于是e x的 n 阶麦克劳林公式为 ( ). 1! 2! ! e 1 2 n n x o x n x x x = + + ++ + 验证 1 因为 ( ) e , (k ) x f x = 所以 (0) (0) (0) 1. ( ) = ′ = = = n f f  f 2 e 1 ( ); 1! 2! 1. ! n x n xx x o x n =+ + + + +  带有佩亚诺型余项的泰勒公式 ( ) (0) (0) ( ) (0) ( ) 1! ! n n n f f f x f x x ox n ′ = + ++ + 

在近似计带有拉格朗日型余63泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式项的泰勒公式算中的应用1!1则 g'(x) :一验证 6 设g(x)(1-x)21-x2!n!ng"(x) :(1 - x)n+1 )(1-x)3故g(0) = 1, g(0) = 1!, g"(0) = 2!, ...,g(n)(0) = n!.于是在x=0的n阶麦克劳林公式为1-x11+x+x?+...+ x" +o(x")1-x11+x+x2+...+x" +o(x")1-x数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §3 泰勒公式 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式 在近似计 算中的应用 2 1! () , (1 ) g x x ′ = − 3 2! () , , (1 ) g x  x ′′ = − 故 1 0 1 x n x = − 于是 在 的 阶麦克劳林公式为 ( ) 1 ! () , (1 ) n n n g x x + = − 1 ( ). 1 1 2 n n x x x o x x = + + + + + −  验证 6 设 1 () , 1 g x x = − 则 g(0) = 1, g′(0) = 1!, g′′(0) = 2!, ( ) , (0) !. n  g n = 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 1 2 1 ( ). 1  n n x x x ox x =+ + + + + −

在近似计带有拉格朗日型余93泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式算中的应用项的泰勒公式.2的麦克劳林公式,并求f(98)(0)例2 求 f(x)=e与 f(99)(0) .thx解 由例1，e*=1+1!2!n!于是2n4xxe02".n!22.2!2的麦克劳林由定理6.9的注2,可知上式就是e2公式，由泰勒系数公式可知x和x"的系数为(-1)491(0)= 0.249.49!99!98!98!于是得到f(98)) (0) = 08) (0) =249.49!数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §3 泰勒公式 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式 在近似计 算中的应用 例2 求 2 2 () e x f x − = 的麦克劳林公式, 并求 (0) (98) f 解 由例1， 2 e 1 ( ), 1! 2! !  n x n xx x o x n =+ + + + + 于是 2 2 2 4 2 2 2 e 1 ( 1) ( ). 2 2 2! 2 ! x n n n n xx x o x n − = − + + +− + ⋅ ⋅  (0) . (99) 与 f 49 (98) 49 1 ( 1) (0) , 98! 2 49! f − = ⋅ 由定理 6.9 的注 2, 可知上式就是 2 2 e x − 的麦克劳林 公式, 1 (99)(0) 0 , 99! f = 于是得到 (98) (99) 49 98! (0) , (0) 0. 2 49! f f = − = ⋅ 由泰勒系数公式可知 98 99 x x 和 的系数为 带有佩亚诺型余项的泰勒公式

在近似计带有拉格朗日型余63泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式算中的应用项的泰勒公式例3求是在点x=1的泰勒公式1解利用=1+x+x?+...+x"+o(x")1-x1111+(x-1) 1-[-(x-1))x=1-(x-1)+(x -1)2 +..+(-1)"(x -1)" +o((x -1)")下面这个例题是说明如何利用泰勒公式来求极限数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §3 泰勒公式 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式 在近似计 算中的应用 x 1 例3 求 在点 x = 1的泰勒公式. 解 1 ( 1) 1 1 + − = x x 2 =− − + − + 1 ( 1) ( 1) x x  ( 1) ( 1) (( 1) ). nn n +− − + − x ox 1 [ ( 1)] 1 − − − = x 下面这个例题是说明如何利用泰勒公式来求极限. 1 2 1 ( ). 1 n n x x x ox x 利用 =+ + + + + −  带有佩亚诺型余项的泰勒公式

在近似计带有拉格朗日型余93泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式项的泰勒公式算中的应用-e-x -sinx3 +1In(1 - x2例4 求 limtx-0t解 因为 In(1-x)=-x2+0(x) =-x2 + 0(x3)-2e- =1- x* +0(x),sinx3 = x3 +o(x3)所以In(1-x")-e-* - sin x3 +1limsx-→01+x2 - x3 +1+0(x3)X=limtsx-→0-x +0(x)-1= limtsx-→0本题虽然可用洛必达法则来求，但上法比较简单。数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §3 泰勒公式 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式 在近似计 算中的应用 例4 求 2 2 3 3 0 ln(1 ) e sin 1 lim . x x x x x − → −− − + 解 因为 4 22 4 ln(1 ) ( ) 2 x − =− − + x x ox 2 2 3 e 1 ( ), x x ox − =− + 33 3 sin ( ), x x ox = + 所以 2 2 3 3 0 ln(1 ) e sin 1 lim x x x x x − → −− − + 3 3 3 0 ( ) lim x x ox → x − + = 本题虽然可用洛必达法则来求, 但上法比较简单 . 2 23 3 3 0 1 1 () = lim x x x x ox → x − −+ − ++ 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 2 3 =− + x ox( ), = −1