高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）58 第五章 导数和微分 s14 习题课三

习题课S4高阶导数，S5微分第十四讲习题课(三)数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

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习题课S4高阶导数，S5微分重要内容回顾1.高阶导数，莱布尼茨公式2.参变量函数的二阶导数：3.微分，一阶微分形式的不变性：4.高阶微分；5.微分在近似计算中的应用数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

hள୘ݤجuhڲӢ Эங੿ Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ ୍੽ӄؠ֛ு 1. 儈䱦ሬᮠˈ㧡ᐳቬ㥘ޜᔿ˗ 2. ৲ਈ䟿࠭ᮠⲴҼ䱦ሬᮠ˗ 4. 儈䱦ᗞ࠶˗ 3. ᗞ࠶ˈа䱦ᗞ࠶ᖒᔿⲴнਈᙗ˗ 5. ᗞ࠶൘䘁լ䇑㇇ѝⲴᓄ⭘.

习题课S4高阶导数，$5微分补充例题例1 设 = f(x)是x=p(y)的反函数,x=(y) 二阶d'f可导，求dx?1df解dxp'(y)d'fdddx?dxo'(y)dx@'(y)dy1-β"(y)-β"(y)[0'()]" p'(y)-[g'(y)]"数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

hள୘ݤجuhڲӢ Эங੿ Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ ੭ҭ҆ொ ֻ1 䇮 y fx x y () () , ᱟ M Ⲵ৽࠭ᮠ 2 2 d . d f x ≲ x y M( ) Ҽ䱦 ਟሬˈ 䀓 d 1 = , d () f x y Mc 2 2 d d d d f x x § · ¨ ¸ © ¹ d 1 d () y y M § · ¨ ¸ c © ¹ > @ 2 ( ) ( ) y y M M  cc c > @ 3 ( ) . ( ) y y M M  cc c 1 Mc( ) y d d y x 1 Mc( ) y

习题课S4高阶导数，$5微分例2 设 f(t)二阶可导,f'(t)≠0.求参变量函数x= f'(t)d’y的二阶导数dxy=tf'(t)- f(t)dy -y'(t) -f'(t)+tf"(t)-f'(t)解dxx'(t)f"(t)= t,d'yddtdx?dxdxdi1f"(t)数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

hள୘ݤجuhڲӢ Эங੿ Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ ֻ2 䇮 ft f t ( ) , ( ) 0. Ҽ䱦ਟሬ c z 2 2 ( ) d . () () d x ft y y tf t f t x ­ c ® ¯ c  ⲴҼ䱦ሬᮠ ≲৲ਈ䟿࠭ᮠ 䀓 d d y x   2 2 d d d d y t x x   d d t t 1 . f t( ) cc d d t x ( ) = ( ) y t x t c c () () () = ( ) f t tf t f t f t c  cc  c cc = tˈ

习题课54高阶导数，55微分例3计算=x2sinx的80次导数(x2sinx)(80)解：（x2)"=0，所以，利用莱布尼茨公式(x2 sinx)(80) = x(sinx)(80) +Cco (x)(sinx)(79)+Cg (x")"(sin x)(78)= x2 sinx -160xcosx -3160.2·sin x= (x2 -6320)sin x -160x cosx(sinx)(4) = sinx; (sinx)" = -cosx;注意到：(sinx)" = -sin x;数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

hள୘ݤجuhڲӢ Эங੿ Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ ֻ3 2 2 (80) 䇑㇇ yx x x x sin 80 ( sin ) . Ⲵ ⅑ሬᮠ 䀓 2 (80) 2 (80) ( sin ) (sin ) xx x x 2 ' ( ) 0, x ccc ᡰԕˈ࡙⭘㧡ᐳቬ㥘ޜᔿ 2 2 (78) 80 Cx x ( ) (sin ) cc 1 2 (79) 80 Cx x ( ) (sin ) c 160 cos x x 2 x x sin 3160 2 sin x 160 cos x x 2 ( 6320)sin x x  ⌘᜿ࡠ) ˖4) (sin ) sin ; x x (sin ) cos ; x x ccc  (sin ) sin ; x x cc 

习题课S4高阶导数，S5微分例4 设y=arcsinx，计算y(n(O)解直接求是困难的，关键是找到递推关系1得到V1-x2=1.两边再求导-x-x?- y'= 0.V1-x?整理后有(1-x)y"-xy= 0.两边用莱布尼茨公式求n阶导数，得(1 - x°)y(n+2) - 2nxy(n+1) - n(n -1)y(n)-(xy(n+1) + ny(") = 0,或 (1-x")y(n+2) -(2n+1)xy(n+1) -n'y(n)=0.数学分析第五章桌导数和微分高等教育出版社

hள୘ݤجuhڲӢ Эங੿ Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ ֻ4 ( ) arcsin , (0). n 䇮 y xy 䇑㇇ 䀓 2 1 , 1 y x c  ⴤ᧕≲ᱟഠ䳮Ⲵˈ 2 ᗇࡠ y x c 1 1.  .㌫ޣ䙂᧘ࡠ᢮䭞ᱟޣ є䗩޽≳ሬ 2 2 1 0. 1 x y xy x cc   c  ᮤ⨶ਾᴹ 2 (1 ) 0.  x y xy cc  c є䗩⭘㧡ᐳቬ㥘ޜᔿ≲ n 䱦ሬᮠˈᗇ 2 ( 2) ( 1) ( ) (1 ) 2 ( 1) nn n x y nxy n n y       ( 1) ( ) ( )0 n n xy ny    ˈ 2 ( 2) ( 1) 2 ( ) (1 ) (2 1) =0. n nn x y n xy n y   ᡆ    

习题课S4高阶导数，$5微分以 x = 0 代入 y(n+2)(0) -n y(n)(0)=0.由 y(0)=0,递推得到J(2k)(0) = 0 (k = 0,1, 2,..);由 y'(0)=1,递推得到y"(0) = 12 =1, y(5) (0) = 32 .12y(7) (0) = 52 . 32 .12 =(5!)2,y(2k+1)(0) =[(2k+1)!!]*, (k =0,1,2, ...) .(1 -x*),(n+2) -(2n+ 1)xy(n+1) - n"y(m)=0.计算 y(n)(0) =(arcsinx)(n) (0)数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

hள୘ݤجuhڲӢ Эங੿ Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ ⭡ y(0) 0, 䙂᧘ᗇࡠ ⭡ y c(0) 1, 䙂᧘ᗇࡠ 2 y ccc(0) 1 =1 ˈ (5) 2 2 y (0) 3 1 ˈ (7) 2 2 2 y (0) 5 3 1 ԕ x = 0 ԓޕ ) 2) 2 ( ) (0) (0)=0. n n y ny   2 ( 2) ( 1) 2 ( ) (1 ) (2 1) =0. n nn x y n xy n y       2 =(5!!) ˈ"", > @ 2 (2 1) (0) (2 1)!! , k y k   ( 0,1, 2, ) . k ! () () (0) (arcsin ) (0). n n 䇑㇇ y x (2 ) (0) 0 ( 0,1, 2, ); k y k !

习题课S4高阶导数，S5微分例5 利用一阶微分形式的不变性计算 y=esin(ax+b)的导数和微分。 sin(ax+b) d sin(ax + b)解 dy=desin(ax+b)e= cos(ax + b)esi(ax+b) d(ax + b)= acos(ax +b)esin(a+b) dx.因此e sin(ax+b)y' = acos(ax + b)e数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

hள୘ݤجuhڲӢ Эங੿ Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ ֻ5 䀓 sin( ) d de ax b y  ㇇ᖒᔿⲴнਈᙗ䇑࠶а䱦ᗞ⭘࡙ ഐ↔ Ⲵሬᮠ઼ᗞ࠶. sin( ) e ax b y  sin( ) e dsin( ) ax b ax b   sin( ) cos( )e d( ) ax b ax b ax b    sin( ) cos( )e d . ax b a ax b x   sin( ) cos( )e . ax b y a ax b  c 

习题课S4高阶导数，S5微分例6设u=u(x)二阶可导，y=lnu，求d2y解法1按二阶微分定义u"u-u"?因为uy'=19nu所以12d'y= y"dx?Rdu=u'dx解法2按微分运算法则。d'y = d(d y) = d(du) =- dr +d(dn)u"u-u'?(u'dx) + {u"dx?dxR殊途同归！数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

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