高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）82 第六章微分中值定理及其应用 s38 函数图像的讨论

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第六章数学分析$6函数图像的讨论微分中值定理及其应用在中学里学过一些简单函数的作图，采用的主要方法是描点法·这种方法比较粗糙，一般不能精确反映函数的基本特性如单调区问，极值点，凸性，拐点）·在这一节中，将综合运用学过的微分学知识，并结合周期性、奇偶性等初等数学知识，比较完整地介绍函数的作图方法

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S6函数图像的讨论第二十四讲函数图像的讨论数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

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S6函数图像的讨论函数作图基本步骤：(i)确定函数的定义域，并讨论奇偶性、周期性：(ii)找出函数图象的特殊点，比如与两坐标轴的交点，以及函数的不连续点、不可导点；(iii)确定函数的单调性区间、极值点、凸性区间、拐点；(iv）找出渐近线：(v）综合上述结果,列表并作图后退前进退出目录数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

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$6函数图像的讨论例1描绘函数(x-3)+4y-4xy=0的图形(x -3)2解首先y=其定义域为(-80,1),(1,+80)4(x -1)原方程两边对x求导得(1)2(x-3)+4y-4y-4xy= 0,J'=±=3-2 _ (x-3)(x+1)4(x -1)2(x -1)(1)两边对x求导得2+4j"-8y"-4xy"=02J"=1-4y"2(x-1)(x-1)3令y'=0得x=-1,3.数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

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S6函数图像的讨论列表判别曲线形态13-1(1,3)(-1,1)(-80,-1)(3, + 8)xy'++0一0++Ls0-2y凹增凹减无定义凸减凸增极小值极大值求渐近线Qlimy=8，：x=1为垂直渐近线；1x-→111y文因lim即a=44.x- x(x-3)22(x -3)(x + 1)V(x-1)34(x -1)4(x -1)2数学分第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

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S6函数图像的讨论(x-3)?1-5x + 9limiinb = lim()xlx-→00 4(x - 1)44(x -1)x-→00X-→005415因此有斜渐近线44x02求特殊点91y44(x -3)2V=4(x - 1)数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

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$6函数图像的讨论根据上面讨论，绘出函数的图形：13(1,3)-1(-1,1)(-80,-1)(3, + 0)x0-2y凹增凹减无定义凸增凸减极大值极小值铅直渐近线x=115y斜渐近线(x-3)2y=-x44y=4(x- 1)x02-2 -1特殊点195x0123--y1y=1x-s44(x -3)2x=1y:4(x -1)数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

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$6函数图像的讨论例2 作出函数=(x-1)x3的图像解 f(x)的定义域：xE(-oo，+o).522-15x -2t3.f'(x)x333/x102110x + 2Jx+Xx一999x/x2由f(x)=0,解得x=;x=0时，f(x)不存在51由f"(x)=0,解得x =x= 0时，f"(x)不存在5数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

࣐ڀՂҾࣂؓӢЗҚڲ्Ҹॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hӠݤ֢ҥࣩ੥੝ 2 3 ֻ2 ֌ࠪ࠭ᮠ yx x ( 1) . Ⲵമۿ 䀓 fx x ( ) ( , ). Ⲵᇊѹฏ˖ f f 3 1 3 2 3 2 3 5 ( ) f c x x x , 3 5 2 3 x x 3 4 3 1 9 2 9 10 ( ) f cc x x x . 9 10 2 3 x x x 2 ( ) 0, ; 5 ⭡ fx x c 䀓ᗇ x 0ᰦˈf c(x)нᆈ൘. 1 ( ) 0, ; 5 ⭡ fx x cc 䀓ᗇ x 0ᰦˈf cc(x)нᆈ൘.

56函数图像的讨论列表判别曲线形态2221-1(0,318:i小)x,+8)555-不f'(x)0++++存在不f"(x)0++++-存在拐点极大极小凸增f(x)凸减凸增凹增(-小5(-)值值55233/20为极小值，(--())为拐点.253f(0)=0为极大值，数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

࣐ڀՂҾࣂؓӢЗҚڲ्Ҹॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hӠݤ֢ҥࣩ੥੝ x 1 (, ) 5 f 1 5 1 ( ,0) 5 0 2 (0, ) 5 2 5 2 (, ) 5 f f x c( ) + ++ н ᆈ൘ 0 + f x cc( ) 0 + н ᆈ൘ ++ + f x( ) ࠩ໎ ᤀ⛩ 1 1 ,( ) 5 5 ( ) f ࠨ ໎ᶱབྷ ٬ ߿ࠨ ᶱሿ ໎ࠨ ٬ ᴢ㓯ᖒᘱ࡛ࡔ㺘ࡇ 2 3 3 20 , 5 25 f § · ¨ ¸ © ¹ Ѫᶱሿ٬ 2 1 61 3 5 55 § § · · ¨ ¨ ¸ ¸ © © ¹ ¹ ˈ Ѫᤀ ⛩ f (0) 0 Ѫᶱབྷ٬ˈ

S6函数图像的讨论函数图像如下：0.5-1-0.5-0.200.511.5 x0.5-1-1.5数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

࣐ڀՂҾࣂؓӢЗҚڲ्Ҹॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hӠݤ֢ҥࣩ੥੝ -1 -0.5 -0.2 0.5 1 1.5 -1.5 -1 -0.5 O 0.5 x y ࠭ᮠമۿྲл˖

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