高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）64 第六章 微分中值定理及其应用 s20 柯西中值定理

不定式极限62柯西中值定理和不定式极限柯西中值定理第六讲柯西中值定理数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §2 柯西中值定理和不定式极限 柯西中值定理 不定式极限 柯西中值定理 第六讲

第六章数学分析s2 柯西中值定理和不微分中值定理及其应用定式极限柯西中值定理一、柯西中值定理是比拉格朗日定理更一般的中值定理，本二、不定式极限节用宅来解决求不定式极限的问题，*点击以上标题可直接前往对应内容

柯西中值定理 一、柯西中值定理 是比拉格朗日定理更 一般的中值定理，本 节用它来解决求不定 式极限的问题. §2 柯西中值定理和不 定式极限 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 二、不定式极限 *点击以上标题可直接前往对应内容

柯西中值定理不定式极限S2柯西中值定理和不定式极限柯西中值定理定理6.6（柯西中值定理）设函数f(x),g(x)在区间[a,b] 上满足：(i)f(x),g(x) 在闭区间[a, b] 上连续;(ii) f(x),g(x)在开区间 (a, b)上可导;(ii) f2(x)+ g'2(x) > 0 ;(iv) g(a) ± g(b) ,则在开区间(a,b)内必定(至少)存在一点弓,使得f'() _ f(b)-f(a)g'()g(b) -g(a)数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §2 柯西中值定理和不定式极限 柯西中值定理 不定式极限 定理6.6（柯西中值定理） 设函数 f x( ), g(x)在区间 [a , b] 上满足: (i) f (x) , g(x) 在闭区间 [a, b] 上连续; (iii) ( ) ( ) 0 ; 2 2 f ′ x + g′ x > (iv) g(a) ≠ g(b) . 则在开区间 (a , b)内必定 (至少) 存在一点 ξ , 柯西中值定理 (ii) f (x) , g(x) 在开区间 (a, b) 上可导; ′ − = ′ − () () () . () () () f fb fa g gb ga ξ ξ 柯西中值定理 柯西中值定理 使得

柯西中值定理不定式极限S2柯西中值定理和不定式极限几何意义首先将f，g这两个函数视为以x为参数的方程u=g(x), v= f(x)它在O-uv平面上表示一段曲线．由拉格朗日定理的几何意义，存在一点（对应于参数）的导数VdyvP(g(), f()恰好等于曲线duB(g(b), f(b)Ix=5端点弦AB的斜率：k,= f(b)-f(a)A(g(a) , f(a)g(b) -g(a)0u数学分析第六章行微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §2 柯西中值定理和不定式极限 柯西中值定理 不定式极限 几何意义 首先将 f , g 这两个函数视为以 x 为参数的方程 u = g(x), v = f (x). 它在 O- uv 平面上表示一段曲线. 恰好等于曲线 d d x v u =ξ 存在一点 ( 对应于参数 ) ξ 的导数 () () . () () AB fb fa k gb ga − = − 由拉格朗日定理 的几何意义, 柯西中值定理 P(g(ξ ), f (ξ )) B(g(b), f (b)) Aga f a ( ( ) , ( )) O u v • • • 端点弦 AB 的斜率:

柯西中值定理不定式极限S2柯西中值定理和不定式极限证作辅助函数f(b) -f(a)F(x)= f(x)- f(a)(g(x)-g(a)g(b) - g(a)显然,F(x)满足罗尔定理的条件，所以存在点e(a,b),使得 F'()=0,即F'(s)-f(b)-f(a)g'() = 0.g(b) -g(a)可以肯定g'()0 (否则 f()也为零,与条件(ii)矛盾),f'() -f(b)- f(a)所以g'()g(b)-g(a)数学分析第六章行微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §2 柯西中值定理和不定式极限 柯西中值定理 不定式极限 证 作辅助函数 () () () () () ( ( ) ( )). () () fb fa F x f x f a gx ga gb ga − = −− − − 显然, F(x)满足罗尔定理的条件, ξ ∈(a , b), 使得 ( ) = 0, F′ ξ 0 () () ( ) () . () () fb fa f g gb ga ξ ξ − ′ ′ − = − 可以肯定g f ′ ′ ( ) 0 ( ( ) ξ ξ ≠ 否则 也为零,与条件 (iii) () () () . () () () f fb fa g gb ga ξ ξ ′ − = ′ − 所以 所以存在点 柯西中值定理 即 矛盾)

柯西中值定理不定式极限62柯西中值定理和不定式极限例1 设函数 f 在区间[a, bl(a>0)上连续,在(a, b)上可导,则存在E(a,b),使得bf(b) - f(a) =≤ f'()In-af(b) - f(a) _f'()分析所证式子可变形为YsInb-In a证 设g(x)= Inx,显然f(x), g(x) 在[a, bl 上满足柯西中值定理的条件，于是存在E(a,b),使得f(b) - f(a) f'()1.Inb -ln aS变形后即得所需的等式数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §2 柯西中值定理和不定式极限 柯西中值定理 不定式极限 例1 设函数 f 在区间 [a, b](a > 0) 上连续, 在(a, b) ( ) ( ) ( )ln . b fb fa f a − = ξ ξ′ g(x) = ln x, 显然 f (x), g(x) 在 [a, b] 上满足 于是存在 ξ ∈(a , b), 使得 1 () () () , ln ln fb fa f b a ξ ξ − ′ = − 变形后即得所需的等式. 上可导, 则存在 ξ ∈(a , b), 使得 证 设 柯西中值定理的条件, 柯西中值定理 1 () () () . ln ln fb fa f b a ξ − ′ ξ = − 分析 所证式子可变形为

柯西中值定理不定式极限62柯西中值定理和不定式极限例2 设 f 在区间 (0,1) 上可导，lim/x f'(x)= Ax-0则f在(0,1]上一致连续分析 由条件，在区间[8,1],,>0上一致连续,所以，只须证明F在区间(0,8],,>0 上一致连续证设 M =| AI+1, 因为 lim Vxf'(x)= A,38,(0<8, <1), 当0 <x<8,时, Vxf'(x)≤M在[x,以](0,S,]上，对Vx和f(x)运用柯西中值定理3e(x,y),f(x)- f(y)= 2NEf'(5) ≤2M.Vx-Vy数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §2 柯西中值定理和不定式极限 柯西中值定理 不定式极限 例2 设 f 在区间 (0, 1] 上可导, 则 f 在 (0, 1] 上一致连续. 0 lim ( ) x xf x A → + ′ = 分析 由条件， f 在区间 上一致连续, 1 1 [ ,1], 0 δ δ > 所以, 只须证明 f 在区间 上一致连续. 1 1 (0, ], 0 δ δ > xf x M ′() . ≤ 证 设 M A = + | | 1, 因为 0 lim ( ) , x xf x A → + ′ = 当 1 0 , < < x δ 时 1 在[ , ] (0, ] x y ⊂ δ 上， 1 1 ∃ << δ δ (0 1)， 对 x fx 和 ( )运用柯西中值定理， fx fy () () x y − − = 2 () ξ ξ f ′ ≤ 2 . M ∃ ∈ξ ( , ), x y

柯西中值定理不定式极限62柯西中值定理和不定式极限于是得I f(x)- f(y) <≤2M Vx-~ylVx在[0,81上一致连续，从而f在（0,8]上一致连续又f在[8,1]上一致连续，因此f在(0,1]上一致连续f(x)- f(y)≤2M.Vx-vy数学分析第六章行微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §2 柯西中值定理和不定式极限 柯西中值定理 不定式极限 于是得 | ( ) ( )| 2 fx fy M x y −≤ − . 从而 f 在 1 (0, ] δ 上一致连续. 1 x在[0, ] δ 上一致连续， 又 f 在 1 [ ,1] δ 上一致连续，因此 f 在 (0,1]上一致连续. fx fy () () x y − − ≤ 2 . M 柯西中值定理